《二次根式化简》教学设计1
16.1二次根式
第2课时
教学目标
知识与技能
1.理解(√a)2=a(a≥0)和2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.
2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究2=a(a ≥0),会用这个结论解决具体问题.
3.了解代数式的概念.
过程与方法
在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.
情感态度与价值观
通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.
教学重点与难点
【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简.
教学准备
【教师准备】教学所需的习题资料.
【学生准备】课前自学教材第3-4页的内容.
教学过程
一、新课导入 教师出示问题: 1.什么叫二次根式?
2.当a ≥0时,√a 叫什么?当a <0时,√a 有意义吗? 学生口答,老师点评.
通过前面的学习,我们知道了二次根式√a 具有双重非负性.今天我们主要 学习一些二次根式的其他性质.
[设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定 了基础. 二、构建新知
1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0)
[过渡语] 我们先来探究性质1: (√a )2=a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗? (√4)2,(√)2,(√13)2
,(√0)2.
学生口述,教师根据情况评价.
(√4)2表示4的算术平方根的平方;(√)2表示2的算术平方根的平方;(√13)2
表示13的算术平方根的平方;(√0)2表示0的算术平方根的平方.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
(√4)2= ;(√2)2= ;(√1
3)2
= ;(√0)2= . 学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据. 教师引导学生说出每一个式子的含义.
√4是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,√4是一个平方等于4的非负数,因此有(√4)2=4.√2是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,√2的非负数,因此有(√)2=2. √1
3
是1
3的算术平方
根,
根据算术平方根的意义, √13
是一个平方等于1
3
的非负数,因此有
(√1
3)2
=1
3.√0表示0的算术平方根,因此有(√0)2
=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规 律吗?
引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等 于这个非负数,即(√a )2=a (a ≥0).
根据等式的定义，可得：a = (√a )2 (a ≥0) 。利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写成一个数的
平方的形式。
(教材例2)计算:
(1)(√1.5)2;(2)(2√5)2.
学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.
〔解析〕 (1)直接运用(√a )2=a (a ≥0)化简即可.(2)运用幂的性质
(ab )2=a 2b 2.
解:(1)(√)2=1.5. (2)(2√2=22×(√2=4×5=20.
[解题策略] 把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计 算即可.
【变式训练】 计算:(-2√3)2.
〔解析〕 把原式的底数看成是-2与√3的积,先利用(mn )2=m 2n 2,再根据(√a )2=a (a ≥0)化简.
解:(-2√3)2=(-2)2(√3)2=4×3=12.
[知识拓展] 形如(x √a )2的关于二次根式的运算可结合(ab )2=a 2b 2得到 (x √a )2=x 2a.
[设计意图] 让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的 性质1,学会灵活运用.
2.二次根式的性质2:√a 2=a (a ≥0)
[过渡语] 我们再来探究一下性质2:2a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗?
√22,√0.12,
√(23
)2
,√02. 教师引导学生说出每一个式子的含义.
√22表示2的平方的算术平方根;√0.12表示0.1的平方的算术平方根; √(23)2
表示23
的平方的算术平方根;√02表示0的平方的算术平方根.
追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据. √22=
;√0.12=
;√(2
3)2
=
;√02= .
学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据. ∵4=22,∴√4=2,因此2=2;∵0.01=0.12,∴√0.01=0.1,因此
√0.12=0.1;∵49=(23
)2,∴ √49=2
3,因此 √(23)2=2
3
;∵0=02,∴√0=0,因此
√02=0.
讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规 律吗?
引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即√a 2=a (a ≥0).
根据等式的定义，可得：a = √a 2 (a ≥0)，利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“ ”的形式。
(教材例3)化简:
(1)√16; (2)√(-5)2
.
引导学生根据2a (a ≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以√16=2,再 计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以√(-5)2
=2. 学生独立完成,集体订正.
解:(1)√16=√42=4. (2)√(-5)2
=√52=5.
[知识拓展] (1)2中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,2一定有意义.(2)化简2,一定要弄明白被开方数的底数a 是正
数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即2a(a≥0);若a是负数, 则等于a的相反数-a,即√a2=-a(a<0).小组讨论:(√a)2和√a2有什么关系?
学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:(√a)2表示a的算术平方根的平方,(√a)2=a(a≥0);√a2表示a 的平方的算术平方根,√a2=|a|={a(a≥0),
-a(a<0).
[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.
3.代数式
提问:回顾我们学过的式子,如5、a、a+2b、-ab,这些式子
有哪些共同特征?
学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.
这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.
学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导. [设计意图] 学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力.
三、课堂小结
师生共同回顾本节课所学主要内容:
知识要点关键点注意事项
(√a)2=a(
任何非负数的算术平方根
的平方,其结果仍然是它本
身
被开方数a是非负数
a ≥0)
√a 2=|a |={a (a ≥0)-a (a <0)
任何实数的平方的算术平
方根是它的绝对值
底数a 可以是任何实数
代数式 用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫
代数式 ①式子中不能出现“=,≠,≥,
≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式
四、课堂检测
1.计算√(-3)2
的结果是 ( )
A.-3
B.3
C.-9
D.9
解析:√(-3)2
=|-3|=3.故选B .
2.下列各式:①m 2-3;② √5
a
(a >0);③a -1=6;④3x -5>0;⑤√25;⑥66.其中
代数式的个数是 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:③a -1=6是方程,不是代数式;④3x -5>0是一元一次不等式,也不 是代数式;其余都是代数式.故选C . 3. √(213)2
+ √(-213
)2
的值是 .
解析: √(213)2
+ √(-213)2
=213+213=423.故填423.
4.(1)当x 时,√(x -2)2
=2-x 成立;
(2)计算√(3-π)2
= .
解析:(1)当x -2≤0时,√(x -2)2
=2-x ,所以x ≤2;(2)因为3<π,所以
3-π<0,因此√(3-π)2
=π-3.
答案:(1)≤2 (2)π-3
5.计算:(1)√0.92;(2)(2√3)2;(3)(-2 √12)2
;(4)(-√)2.
解:(1)√0.92=0.9. (2)(2√3)2=22×(√3)2=12. (3)(-2√12)2
=(-2)2×(√12
)2
=2.
(4)(-√2=(-1)2×(√)2=15.
五、板书设计
16.1 二次根式
第2课时
1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0) 例1
2.二次根式的性质2:2=a (a ≥0) 例2
3.代数式
六、布置作业
【必做题】
教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.【选做题】
教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.
七、教学反思
成功之处：本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.
不足之处：在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.
再教设计：在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.