网络流模型总结

网络流模型总结

福州一中肖汉骏【引言】：

“许多问题可以先转化为网络流问题，再运用最大流算法加以解决。而发现问题本质，根据最大流算法的特点，设计与之相配的数学模型是运用最大流算法解决问题的重要步骤。”

“网络流在具体问题中的应用，最具挑战性的部分是模型的构造。这没用现成的模式可以套用，需要对各种网络流的性质了如指掌（比如点有容量、容量有上下限、多重边等等），并且归纳总结一些经验，发挥我们的创造性。”

注：本文大部分出自江涛老师讲稿及网络资料

图1.1

【理论部分】： 一、引入

如同我们可以把一个实际的道路地图抽象成一个有向图来计算两点之间的最短路径，我们也可以将一个有向图看作一个流网络来解决另一类型的问题。流网络比较适合用来模拟液体流经管道、电流在电路网络中的运动、信息网络中信息的传递等等类似的过程。

一个实例：运输网络

参看下图，给定一个有向图G=(V ,E)，把图中的边看作管道，每条边上有一个权值，表示该管道的流量上限。给定源点s 和汇点t ，现在假设在s 处有一个水源，t 处有一个蓄水池，问从s 到t 的最大水流量是多少，类似于这类的问题都可归结为网络流问题。

在流网络中，每条有向边可以被看导管。每根导管有一个固定的容量，代表物质流经这个导管的最大速率，例如一个管道每小时最多能流过200加仑液体或者一根电线最多能承载20安培的电流。流网络中的顶点可以看作是导管的连接处。除了源点和汇点之外，物质流进每个点的速率必须等于流出这个点的速率。如果我们把研究的物质特化为电流，这种“流的保持”属性就好像电路中的基尔霍夫电流定律一样。

二、网络流相关定义1

网络定义：

一个有向图 G=(V ，E)；

有两个特别的点：源点s 、汇点t ；

图中每条边(u,v)∈E ，有一个非负值的容量C(u,v) 记为 G=(V ，E ，C)，网络三要素：点、边、容量

可行流定义：

是网络G 上的一个“流”，即每条边上有个“流量”P(u,v)，要满足下面两个条件：

流的容量限制——弧：

),(),(0v u C v u P ≤≤ 对任意弧(u,v)---有向边

流的平衡限制——点：

除源点和汇点，对任意中间点有：流入u 的“流量”与流出u 的“流量”相等。即：

{,}(,)(,)0x V

x V

u V s t P x u P u x ∈∈?∈--=∑∑有

网络的割：

一个s-t 割是这样一个边的集合，把这些边从网络中删除之后，s 到t 就不可达了。或者，正式的说，一个割把顶点集合分成A,B 两个集合，其中s 在A 中,t 在B 中，而割中的边就是所有从A 出发，到达B 的所有边。

割的容量就是割中所有边的容量的和。正式的说，就是所有从A 到B 的边的容量的和。

网络的流量：

源点的净流出“流量” 或 汇点的净流入“流量”。即：

∑∑∑∑∈∈∈∈-=-V

x V

x V

x V

x x t P t x P s x P x s P ),(),(),(),(

注意，我们这里说的流量是一种速率，而不是指总量。联系上面所说的实例，下面是一个流量为1的可行流：

图2.2

标准图示法：

三、网络流相关定义2 下面我们用数学语言来进行相关概念的定义： 设G=(V ,E)是一个流网络，设c(u,v)>＝0表示从u 到v 的管道的流量上限。设s 为源，t 为汇。G 的流是一个函数f:V×V→R ，且满足下面三个特征：

处理最小费用最大流，则反向边的费用为正向边的费用的相反数。

四、解决最大流问题常用算法一览

1. 预览

寻找网络G 上可能的最大流量(和一个有最大流量的可行流方案)，即为网络G 上的最大流问题。它是网络流问题中最基本的问题，而网络流问题又可以归结为一类特殊的线性规划问题。

解决最大流问题的常用到Ford-Fulkerson 方法，之所以称其方法而不是算法，是因为在这种思想下包含着若干种时间复杂度不同的实现，其中较多地是使用Edmonds-Karp 算法。

与此相对，Push-relabel 算法采用了与Ford-Fulkerson 方法完全不同的思考角度，降低了渐进意义下的时间复杂度。而relabel-to-front 算法则是对Push-relabel 算法的改良和精炼，效率更佳。

可以看出，当给定的有向图比较稀疏时，三种算法的效率不会相差太多，但当网络稠密时，relabel-to-front 算法在效率上有着明显的优势。

图4.1

2. Ford-Fulkerson 方法

求解过程中的困惑：

[问题1]流量还可能增加吗？

[问题2]如果能增加，怎样改进？ 退流的概念——后向弧

仔细分析图4.1，我们发现，流量是可以增加的：

把一个流量弧(B,C)和(C,T)上的流退回到B 点，改道从B-D-E-T 走，就可以增加流量了，如下图：

图4.1不能“直接寻找增大流的路径”，是因为当初有些弧上的流选择不“恰当”，要“退流”。 一种直观的想法就是：调整或重新搜索“当初的选择”——难！

能不能保留以前的工作，而在这之上改进呢？经过专家们研究发现，加入退流思想——后向弧，就能再次“直接寻找增大流的路径”。

2) 增广路径(可改进路径)的定义

若P 是网络中连结源点s 和汇点t 的一条路，我们定义路的方向是从s 到t ，则路上的弧有两种：

前向弧——弧的方向与路的方向一致。前向弧的全体记为P+；

后向弧——弧的方向与路的方向相反。后向弧的全体记为P-； 设F 是一个可行流，P 是从s 到t 的一条路，若P 满足下列条件： 在P+的所有前向弧(u,v)上，0<=f(u,v)

本图中：S-A-C-B-D-E-T 为一增广路径。其中(C,B)为后向弧，其它为前向弧。

3) 增广路径上的改进算法

求路径可改进量；

}u)f (v, ),(),({min )(),(、后向弧前向弧v u f v u C P C P

v u f -=∈

修改增广路径上的流量；

4) 残留网络

由于要考虑前向、后向弧，分析、描述时不简洁，直接在图上看也不容易看出增广路径。 因此我们把已经有的流量从容量中分离出来表示，引入一个与原问题等价的残留网络。

其中，前向弧(黑色)上的容量为“剩余容量”=C(u,v)-f(u,v)；后向弧(红色)上的容量为“可

退流量”=f(v，u)。

在这张图上，我们找增广路径显的非常直观了!

结合增广路径，我们有如下定理：

最大流-最小割定理：如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。最大流值对应最小割。任何图中，从s到t的最大流等于所有(s,t)割的容量的最小值。

5)算法流程

一般的Ford-Fulkerson方法具有迭代性质，我们把顶点u和v之间的流记作f(u,v)。那么在最开始，我们对所有的u,v∈V置f(u,v)=0。在每次的迭代过程中，通过找到一条增广路径来使|f|增加。在这里，我们可以简单地认为所谓的“增广路径”就是一条可以传送比当前更多流的从源点s到汇点t的路径，一旦找到了这样的路径，我们就可以得到一个比原流流量更大的新流。重复这个过程，直到不存在增广路径为止，这就是Ford-Fulkerson方法的主要过程，可以用伪码表示如下：

FORD-FULKERSON-METHOD(G,s,t)

将流f初始化为0

while存在一条增广路径p

do顺沿p增加f

returnf

实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增广路径p。常见的有深度搜索dfs、宽度搜索bfs以及优先搜索pfs——即类似Dijkstra算法的标号法。Edmonds-Karp实现正是通过采用了bfs的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E2)。

3. 一般性的push-relabel算法

很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想，而且很多其他的相关问题，比如最小费用流问题，也可以用这种方法很好的解决。首先介绍的是一般性的push-relabel算法。

不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增广路径的方式，push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点，在这个过程中，它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质，而是以一个“先流”进行运作。这个先流同样是一个V×V→R的函数，满足容量限制和斜对称性，同时，它对所有的u∈V-{s}满足f(v,u)>=0。我们记e(u)=f(v,u)。如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。

为了步入正题，我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。设G=(V,E)是一个流网络，源点是s，汇点是t，f是G中的一个先流。如果函数h:V→N满足h(s)=|V|，

h(t)=0，而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1，那么称h是一个高度函数。

正如其名称一样，push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。一般性的push-relabel 算法就是通过往复执行这两种操作完成的：

GENERIC-PUSH-RELABEL(G)

先流初始化

while存在可以执行的push或relabel操作

选择一个可以执行的push或relabel操作执行

下面具体介绍一下这两个基本操作。

1)普通实现

通过证明，在一般性的push-relabel算法执行过程中，relabel操作的执行次数小于2|V|2，push操作的执行次数小于2|V||E|+4|V|3+4|E||V|2，而每个relabel操作的耗时在O(V)级，每个push的耗时在O(1)级，选择一个可以执行的操作也可以在O(1)内完成，因此，存在具体的实现使得一般性的push-relabel算法时间复杂度达到O(V2*E)。

2)relabel-to-front算法

通过引入邻接表和许可边的概念，relabel-to-front算法在push-relabel算法的基础上进一步提升了效率，使时间复杂度可以达到O(V3)，但是该算法的步骤和证明的过程比较繁琐，在这里就略去了，有兴趣的读者可以参考《算法导论》。

五、最大流问题的几种变形

1. 多源多汇问题

多源多汇问题的化归其实很容易想到——增设总源、总汇，很容易地转化为单源汇问题。

2. 点有容量问题

常用拆点法，一个点专门入边，另一个专门出边，入点向出点连一条边注明容量即可。

3. 多重边问题

多重边问题要具体分析，有的只要把容量累加即可，有的考虑到其它信息的不同（如费用等），或许还需要对边排序。若出现反向边，则定义2中的反向边容量不为0，须谨慎处理。

4. 无向图问题

若边可以随意指定方向，则可以通过枚举方向，或者用不断调整的思想解决。

六、最小费用最大流问题

可以证明，只要把最大流算法中的每次“找增广路径”改为“找费用最小的增广路径”即可。每次用SPFA寻找费用最小的增广路径，沿它改进。

还有一种找负权圈的算法。

七、有上下界的无源汇可行流问题

1. 定义

在一个有上下界的流网络G中，不设源和汇，但要求任意一个点i都满足流量平衡条件：∑

∑

∈

∈

=

E

v

i

E

i

u

v

i

f

i

u

f

)

,(

),

(

)

,(

),

(

且每条边(u,v)都满足容量限制B(u,v)≤f(u,v)≤C(u,v)的条件下，寻找一个可行流f，或指出这样的可行流不存在。不妨称这个问题为无源汇的可行流问题。

实例：变形一笔画问题：

在一个有向图，判断能不能一笔画访问所有的边，但有些弧上可以画多次。我们用容量C(u,v)表示弧(u,v)最多可以重复画的次数。

2. 分析

我们遇到了两个困难：

首先，从没有下界到有了下界，我们在求最大流时，不一定能保证下界，使之成为可行流；其次，没有了源、汇，以前的最大流算法就成了无的之矢，一定要有源和汇。但同时，无源汇也是一个契机，因为——

没了旧的源、汇，我们可以更加自由地按需要设立新的源、汇。从而使网络模型变成一个新的等价网络!

3. 必要性流的分离

1)基本思想

总体上看，下界是一条弧必需要满足的确定值，我们能不能把这个下界“分离”出去，从而使问题转为下界为0，也就是普通的最大流问题的可行流问题？

2)朴素想法

先观察一条路径情况

图7.4

如同例7.1直接把容量下界减掉怎样？

2,6 3,4

1

图7.5

3) 必要弧

显然，如果图7.5中的流想通过加上下界来对应地得到图7.4中的解是不可能的。因此，这里流的分离不能用简单减掉的方法，而应该把一个弧分离成两个弧。即加一个容量等于下界的必要弧，使可行流分离在这两个弧上。如下图：

图7.6

一个无源汇的可行流的方案一定是必要弧是满的。因此现在我们先要找一个把必要弧充满的可行流(当然也要满足上界限制)。

现在我们的目光焦点是必要弧，把他们集中起来：

由于必要弧都是要饱和的，显然与下面图是等价的。

图7.8

4. 问题的解决

进一步，去除X,Y 之间的连线，使Y 、X 分别成为新的源和汇。

4 1

2

3 3

图7.9

对这个网络求最大流，如果Y 到X 的最大流能为2+3+3，则显然有： 必要弧为满 满足容量上界限制 保持流平衡

至此，有上下界的无源汇可行流问题已经圆满解决。

八、有上下界的有源汇最大流问题

1. 定义

在一个有上下界的流网络G 中，设源和汇，要求其它任意一个点i 都满足流量平衡条件：

∑∑∈∈=E

v i E

i u v i f i u f ),(),(),(),(

且每条边(u ,v )都满足容量限制B (u ,v )≤f (u ,v )≤C (u ,v )的条件下，寻找一个可行且最大的流f ，或指出这样的可行流不存在。

实例：餐厅问题

2. 直观思想

1) 思路

对于有上下界的有源汇最大流问题，我们可以看成是在满足“必要”的下界情况时，求最大流(或最小费用等问题)。直观的一种思路就是：

求一个满足下界的流f1;

在f1基础上用寻找增广路径的方法，扩大流，直到没有增广路径； 实现的关键点在于：

问题1：怎样求满足下界而又不超过上界的一个流f1？ 问题2：怎样增大流f1，而又同时不破坏下界？

我们可以通过把有上下界的有源汇最大流问题，通过加条边(T,S)，容量+∞，改造成为有上下界的无源汇可行流问题，求出可行流，再还原成为原问题的可行流。

2) 加边(T,S) ，改造为无源汇可行流问题

通过加条边(T,S)，容量+∞，问题改造成为有上下界的无源汇可行流问题。

3) 分离、割开必要弧，改造为普通最大流问题

再来看看下例，先分离必要弧：

割开所有必要弧，加两个附加源Y和汇X：

至此：问题成功转化为求Y到X的普通最大流问题。

4)还原为无源汇可行流问题

当求出该模型的最大流为1+1+1+1+1=5时，我们再反过来做：把“进X”和“出Y”的对应边连上，则找到一个有上下界容量限制的无源汇可行流。再把弧(T,S)拿走，则问题1解决。

1/+∞

注意：原问题可行流存在无解情况，即附加网络3的最大流不能把源(或汇)相连的弧饱和。不同于普通最大流：因下界为0时，一定有解。

5)还原为有源汇最大流的原问题

在得到一个可行流f1之后，现在我们再来看看问题7.2。

我们再去掉边(T,S)，还原成有源汇最大流的原问题。

如果要求这时的最大流，则可在这个基础上，找增广路径来增大流，最终求得一个符合要求的最大流方案。

但是要注意的是，对必要弧，我们不能退流，因此相应的残留网络应对必要弧要单独处理，或直接暂时拿走。

另外，这种情况下的增广路径改进，不会影响必要弧——即：不破坏下界。

6) 流程

求容量有上下界最大流的直观思想：

3. 二分思想

1) 思路

周源同学在IOI2004国家集训队作业《一种简易的方法求解流量有上下界的网络中网络流问题》，是对上面方法的简单化。

简化的模型没有了上面的步骤A 和B ，避免了二次改造网络，使编程容易很多。当然，代价是要多次求最大流。

这个方法中用二分法，确定容量下界的最大值，即二分(T,S)可能的最大流。

另外，文中还提到：

“在一个容量有上下界的流网络G 中，求源点s 到汇点t 的一个可行的最小流。…类似，只是在加入弧(t ,s )后二分(t ,s )的容量上界C (t ,s )即可。”

可见这个简化的方法在竞赛中用途很广。

2) 流程

简化方法的基本思想：

至此，我们已经清楚地阐述了一个关于网络流方面的模型：对于“必要的流量”，用必要弧分离出来，用无源汇可行流模型求得其上的一个可行流方案。当然，如果无解，也可以判断出。

九、二部图的最大匹配与网络最大流的关系

有一定离散基础的读者应当对二部图的最大匹配不陌生，但它和网络流之间有什么具体的联系呢，请看下图：

是的，如果我们设二部图两部分的点集分别为L与R,现在添加源点s和汇点t,对所有的v∈L添加有向边(s,v)，再对所有的v∈R添加有向边(v,t)，再将原二部图中所有的无向边改为自L中的点指向R中的点的有向边，就构造了一个流网络。如果这个网络中每条边的容量限制都设为1，那么它的最大流数值就等于二部图的匹配数，而且这个最大流和二部图中的最大匹配是一一对应的。

用邻接表存储的二部图可以用匈牙利算法在O(VE)的时间内找到最大匹配，这意味着用

网络流解决二部图最大匹配问题并非最具效率的选择，但是它至少向我们展示了网络流的一个侧面应用。除此之外，网络流的变形和演化还可以解决很多具有普遍意义的问题，比如最小路径覆盖等等。

【总结归纳】：

用与原问题等价的模型使问题的描述、思考方便简洁而统一。

在信息学竞赛中很多最大流相关问题没有现成模式可以套用，但解决最大流问题的原理和思想是相通的，前面所说的构造等价的附加网络的思路和方法就是一种可以借用的“现成模式”。

没有了源、汇，以前的最大流算法就成了无的之矢，一定要有源和汇。那我们为什么还要把有源、汇的问题改成无源、汇呢？答案是破旧立新：

没了旧的源、汇，我们可以更加自由地按需要设立新的源、汇。从而使网络模型变成一个新的附加网络!

上面两节，我们对流的分离和流网络的等价变换做了进一步发挥。与之前所用方法技巧的比较：

【参考资料】：

[2001][江鹏]项目发展规划-试谈网络流的构造与算法

[2002][金恺]浅谈网络流算法的应用

最大流在信息学竞赛中应用的一个模型--江涛