例5. 使
()2log 212+--x x
有意义的x 的取值范围是【 】
（A ）[)2,2- （B ）[]2,2- （C ）()2,2- （D ）(]2,2-
解:由题意可知:??
?>+>-0
20
2x x ,解之得:22<<-x .
∴x 的取值范围是()2,2-.选择【 C 】.
知识点二 指数式与对数式的互化
在N a x
=与N x a log =中,N x a ,,是同一个代表符号,只是名称不同.
例如,将指数式6426=化为对数式为64log 62=.
指数式与对数式的比较
知识点三 对数的性质 （1）负数和0没有对数.
（2）1的对数等于0,即01log =a （0>a 且1≠a ）. （3）底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）. （4）对数恒等式N a
N
a =log （0>a 且1≠a ）.
（5）x a x
a =log （0>a 且1≠a ）.
对数的性质不仅可以简化运算,更重要的是利用对数的性质可以将任意一个实数转化为对
数.
例如, ===---2323log ln 2e .
例6. 将下列指数式改写成对数式:
（1）1624=; （2）32
125=
-. 解:（1）∵1624
=,∴416log 2=;
（2）∵32125=
-,∴532
1log 2-=. 例7. 将下列对数式改写成指数式:
（1）3125log 5=; （2）416log 2
1-=.
解:（1）∵3125log 5=,∴12553
=;
（2）∵416log 2
1-=,∴16214
=???
??-.
点评 指数运算与对数运算互为逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途
径,但一定要记清N x a ,,在两种形式中的准确位置:指数式N a x
=,对数式N x a log =.
需要说明的是,并不是所有的指数式都可以化为对数式,如()1624
=-,就不能化为
416log 2=-;112=,就不能化为21log 1=.
例8. 计算下列各式的值:
（1）25log 5; （2）32log 2
1; （3）10log 33; （4）1ln ; （5）5.2log 5.2.
解:（1）25log 25log 255==;（对数的性质:x a x
a =log ）
（2）521log 32log 5
2121-=??
?
??=-;
（3）10310log 3=;（对数恒等式:N a N a =log ） （4）01ln =;（对数的性质:1的对数等于0） （5）15.2log 5.2=.（对数的性质:底数的对数等于1）
例9. 计算:
（1）27log 9; （2）81log 43; （3）()()
32log 32-+.
分析:利用指数式与对数式的互化进行计算.
解:（1）设x =27log 9,则有279=x ,3
233=x ,32=x ,2
3=
x . ∴2
327log 9=
; （2）设x =81log 43,则有()
8134
=x
,44
133
=x ,44
1
=x ,16=x .
∴1681log 43=;
（3）设()()x =-+32log 32,则有()
()
1
3
23
213232-+=+=
-=+x
,1-=x .
∴()()
132log 32-=-+.
例10. 求下列各式中的x :
（1）2
3
27log =
x ; （2）x x 354?=. 解:（1）∵2
327log =x ,∴272
3=x ,()93327232
332====x ;
（2）∵x
x
354?=,∴534=???
??x
,5log 3
4=x .
例11. 若24=a ,a x =lg ,则=x __________. 解:∵24=a ,∴222=a ,12=a ,2
1
=
a . ∵a x =lg ,∴1010102
1===a
x .
例12. 已知函数()()a x x f +=2
2log ,若()13=f ,则=a __________.
解:∵()13=f ,∴()19log 2=+a ,∴29=+a ,解之得:7-=a .
点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a ,且1≠a ）
例13. 设m a =2log ,n a =3log ,则n
m a +2的值为__________.
解:∵m a =2log ,n a =3log ,∴3,2==n
m a a .
∴()123222
2=?=?=+n m n m a a a .
例14. 求下列各式的值:
（1）4log 55; （2）24log 33-; （3）5log 422+.
解:（1）45
4
log 5=;（对数恒等式:N a N a =log ）
（2）9
4333
24log 2
4log 33==-; （3）805162225log 45log 422=?=?=+.
知识点四 对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0,0>>N M ,则有: （1）()N M MN a a a log log log +=; （2）N M N
M
a a a
log log log -=; （3）M n M a n
a log log =.
其中,对数的运算性质（1）可推广:()n a a a n a M M M M M M log log log log 2121 ++=. 常用推论: （1）M M M
a a a log log 1
log 1-==-; （2）M p
n
M
M a p
n a p
n a
log log log =
=. 例15. 证明对数的运算性质:
()N M MN a a a log log log +=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）
分析:利用指数幂的运算性质,可以证明对数的运算性质.
证明:设q N p M a a ==log ,log ,则q
p a N a M ==,
∴()()q p a a a MN q p a q p a a +==?=+log log log ,q p N M a a +=+log log . ∴()N M MN a a a log log log +=.
例16. 证明对数的运算性质:
N M N
M
a a a
log log log -=（0>a 且0,0,1>>≠N M a ） 证明:设q N p M a a ==log ,log ,则q
p a N a M ==,
∴q p a a
a N M q p a q p
a a -===-log log log ,q p N M a a -=-log log
∴N M N
M
a a a
log log log -=. 例17. 证明对数的运算性质:
M n M a n a log log =（0>a 且0,0,1>>≠N M a ）
证明:设x M a =log ,则x
a M =
∴()nx a a M nx a n
x a n a ===log log log ,nx M n a =log
∴M n M a n a log log =.
对数的运算性质的应用 例18. 化简求值:
（1）51
lg 5lg 32lg 4-+;
（2）
2
.1lg 10
lg 38lg 27lg -+;
（3）3log 33
3558log 9
32
log 2log 2-+-; （4）348log 348log 22-++.
解:（1）原式()410lg 52lg 5
152lg 5
1lg 5lg 2lg 4443
43
4
==?=?=-+=; （2）原式=()()2312lg 23lg 12lg 23lg 23
12lg 23lg 232lg 33lg 2310
23lg
10lg 32lg 3lg 2
2
132
1
3=-+-+=-+-
+=?-+; （3）原式13233log 389324
log 38log 932log 4log 23333
3-=-=-=-??
???
? ???=-+-=; （4）原式()()22log 4log 16log
3483
48log 2222
2====-+=.
例19. 计算:=+25log
5
3
ln e
__________.
解:原式()
7435log
34
5
=+=+=.
例20. 设b a ==15log ,3log 22,则=75log 2__________. 解:∵b a ==15log ,3log 22
∴()b a =+=+=?5log 5log 3log 53log 2222,∴a b -=5log 2. ∴()a b a b b -=-+=+=?=25log 15log 515log 75log 2222.
例21. 计算:5
log 3
lg 33log 45
log 1223211023
??
? ??++-++.
解:原式=5log 3lg 3log 45
log 23
23210223
3-++?-?
5
29512748152
3316535
1log 3
2
-=+
+-=++?-?=. 例22. 计算:()20lg 5lg 2lg 2lg 2
-?+. 解:原式()()210lg 5lg 22lg ?-+=g
()12lg 12lg 2lg 12lg -=--=+-=.
例23. 计算:
（1）;42log 2
1
12log 487log 222
-+ （2）()2
22lg 20lg 5lg 8lg 3
25lg +?++.
解:（1）原式42log 144log 48
7
log 222
-+= 2log =2
1
2log 21log 421444872122
-===???
?
??÷?-; （2）原式()()2
322lg 210lg 5lg 2lg 3
25lg +??++=
()()2
2lg 2lg 15lg 2lg 25lg 2++++=
()()2
lg 5lg 22lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2++=++++=
12+= 3=.
例24. 计算:()()2
92
253
1log 3
1log 3
5+-+.
解:原式(
)
()(
)
()32311392535
31log 1
3log 31log 21
3log 2925925
=++-=+=+=+-+-.
点评 本题为易错题,易错误得到()()31log 23
1log 2522555
--=,实际上,此时真数
031<-,对数式无意义,应为()(
)(
)
1
3log 21
3log 3
1log 252
25
2
2555
5
---==.
例25. 若()()0137log 2
2=+--x x x ,则x 的值为__________. 解:∵()()0137log 2
2=+--x x x
∴??
?
??≠->-=+-120211372
x x x x ,解之得:4=x . ∴x 的值为4.
例26. 若()3
12x
f x
=
+,则()=4f __________. 解:由412=+x 得到32=x
,∴3log 2=x .
∴()3log 3
1
342==
x f . 例27. 已知b a lg ,lg 是方程01422
=+-x x 的两个根,则2
lg ??? ??b a 的值是【 】 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
解:∵01422
=+-x x ,∴02
1
22
=+
-x x . ∵b a lg ,lg 是该方程的两个根 ∴2
1lg lg ,2lg lg =
?=+b a b a . ∴()()22142lg lg 4lg lg lg lg lg 2
222
=?-=?-+=-=??? ??b a b a b a b a .
选择【 B 】.
例28. 计算:=++??
?
??-
5
4
log 45log 811633
4
3__________. 解:原式8271log 325445log 3233
34
34
=+??
? ??=??? ???+?
?
?
?????? ??=--
.
例29. 解下列方程:
（1）()()()1log 11log 4log 222++=-++x x x ; （2）()()5lg 11622lg -=-+x x x .
解:（1）()()()1log 2log 14log 222++=-+x x x
()()22log 43log 222+=-+x x x
∴???????>+>->++=-+0
1010422432
x x x x x x ,解之得:2=x .
∴该方程的解为2=x ;
（2）()()x x x x x 2lg 2lg 5lg 10lg 1622lg ==-=-+ ∴x x x 21622=-+,解之得:8=x ,符合题意. ∴该方程的解为8=x .
例30. 若12lg 2lg =-a ,则=a 【 】
（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40
解:∵12lg 2lg =-a ,∴14
lg
4lg lg ,12lg lg 2
==-=-a
a a . ∴
104
=a
,解之得:40=a . 选择【 D 】.
例31. 方程()1321log 3+=?+x x
的解=x __________.
解:()13
33log
3
21log +=?+x x
,∴x x x 3333211?==?++.
∴13=x ,解之得:0=x ,即该方程的解为0=x .
点评 根据对数的性质,可将任意一个实数转化为对数,如上面的1
33log 1+=+x x .
例32. 计算:3
log 15.222ln 01.0lg 25.6log +-++e .
解:原式3log 2
12
2
5.2222ln 10
lg 5.2log ?-++=-e
2
11322122-=?-+-=.
例33.（1）计算:()(
)
()223log 8.94lg 25lg 27log 1
20
3
-+-+++-;
（2）已知()y x y x 2lg 2lg lg -=+,求x y 2
2
log
log
-的值.
解:（1）原式()(
)(
)
2
1
22
3312log 1425lg 3log -++?+=-
21223
+++=
213=; （2）∵()y x y x 2lg 2lg lg -=+,∴()2
2lg lg y x xy -=
∴()xy y x =-2
2,04522=+-y xy x .
∵0>x ,∴04512
=??
?
??+??? ??-x y x y ,∴41=x y 或1=x y .
∵02,0,0>->>y x y x ,∴210<42log 4log 4
1
log log
log
log
4
2
222
2
2
-=-=-===-x y x y .
点评 这里第（2）问在得出结果时用到了对数的运算性质的推论:
M M M
a a a
log log 1
log 1-==-. 例34. 化简下列各式:
（1）51
lg 5lg 32lg 4-+;
（2）
2
.1lg 1000
lg 8lg 27lg -+.
解:（1）原式()452lg 5
152lg 5
1lg 5lg 2lg 4
343
4
=?=?=-+=; （2）原式()
()
10
23lg
10lg 2lg 3
lg 22
13
3
2
13
?-+=
()2
312lg 23lg 12lg 23lg 23
12lg 3lg 232lg 33lg 232=-+-+=-+-
+=.
例35. 化简下列各式:
（1）()
5353lg 28
1
log 22723log 3
22-+++?-; （2）()
24624
6log
2
--+.
解:（1）原式()
()
2
3
23
23
5353lg 2log 33-+++?-=-
()1919910lg 3332=++=+-?-=;
（2）原式()
2
1246246log
22
?--+= (
)
()32
1
6212log
2
1
8log 21246246log
6
2
22
2
=?=?=?=?--+=.
解法二: 原式()
()
??
?
?
?--
+=2
2
22222log ()
()
32log
22log
2222log
3
2
2
2
===+-+
=.
例36. 若03241
=--+x x
,则x 的值为__________.
解:03222
2=-?-x x
,()()01232=+-x x
∴32=x （012<-=x ,舍去） ∴3log 2=x .
例37. 计算:
4ln 3
3
27log 25lg 4lg e ---.
解:原式()84442
12
43
log 254lg 3-=--=--=
-?-=
. 例38.（1）已知68log =x ,求x 的值;
（2）已知()x x 323log 110log +=-,求x 的值.
解:（1）∵68log =x ,∴86
=x .
∵0>x ,且1≠x ∴()
222
82
16
13
6
1====x ;
解法二:∵68log =x ,∴62log 32log 3==x x ,∴22log =x .
∴()
22log 22log 2
==x x
,12log =x ,∴2=x .
（2）()x x 323log 110log +=-,()x x 3323log 3log 10log +=- ∴()x x 3log 10log 323=-
∴??
?
??=->>-x x x x 310001022
,解之得:5=x . 即x 的值为5.
点评 解对数方程时,若方程可化为两个同底对数相等,则它们的真数相等. 例39. 若13log 5=a ,则a
a 93+的值为__________.
解:∵13log 5=a ,∴13log 5=a
,∴53=a
.
∴()3055359322
=+=+=+a a a .
点评 本题考查对数的性质:底数的对数等于1,即1log =a a （0>a 且1≠a ）.
例40. 若a y x =-lg lg ,则=??
? ??-??? ??3
32lg 2lg y x __________.（用含a 的式子表示） 解:∵a y x =-lg lg ,∴a y
x
=lg
. ∴a y x y x y x y x 3lg 3lg 22lg 2lg 2lg 33
3
33==??? ??=??
?
???
??
??=??? ??-??? ??. 例41. 若2
1
3log 4=
x ,则x x 93log 2+等于【 】 （A ）3 （B ）5 （C ）7 （D ）10
解:∵213log 4=x ,∴2
13log 4=x
,∴244321
===x .
∴()52132log 93log 22
22=+=+=+x x x .
选择【 B 】.
例42. 若3log 4=a ,则=+-a a 22__________.
解:∵3log 4=a ,∴34=a
,即()
32
2
=a
,∴32=a .
∴33
43
1321222=+=+
=+-a
a a a . 例43. 方程()()223log 59log 121
2+-=---x x 的解为__________.
解:()()4log 23log 59
log 2121
2+-=---x x
∴()()234log 59log 1212-=---x x ,8345911-?=---x x . ∴02731232=+?-x x ,()()09333=--x x . ∴33=x 或93=x ,解之得:1=x 或2=x . 经检验,1=x 不符合题意,舍去. ∴2=x ,即该方程的解为2=x .
例44. 已知方程03log 6log 222
=++x x 的两个实数根分别为βα,,则
=???
?????? ??β
α4141【 】 （A ）
36
1
（B ）36 （C ）6- （D ）6 解:由题意可知:6log 2-=+βα.
∴()366222414126log 6log 26
log 22222=====??? ?????? ??--β
α. 选择【 B 】.
例44. 已知3log 2=x ,则=----x
x
x
x 2
244__________. 分析:本题考查指数式与对数式的互化. 解:∵3log 2=x ,∴32=x
.
∴310924980313313224422==--
=----x
x
x x . 例45. 若12log 3=x ,则=--x x 24__________.
解:∵12log 3=x ,∴12log 3=x
,∴32=x
.
∴()3
26319313212242
2
=-=-=-
=--x
x x x . 例46. 方程()3lg 2lg 24lg +=+x
x
的解是__________. 解:()()x
x
2
3lg 24lg ?=+,∴x x
2324
?=+.
∴()()02212=--x x ,∴12=x 或22=x ,解之得:0=x 或1=x . 经检验,0=x 或1=x 都是原方程的解.
例47. 计算:
()()3
log 2222
2
lg 22lg 5lg +-.
解:原式()()3
4
lg 2lg 5lg 3
2lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2
+-=
+-+=
3
13425lg =??? ???=. 例48. 计算:3
23
log 1271021001lg
2
2-
+??
?
??+-. 解:原式3
23
23
log 3410lg 2
22--??
?
?????? ??+-?=
()
()()
16
9222342222
223log 2
3
log 2+
+?
=??
?
??+--?
=- 16
329
169292=
+
+?=. 例49. 计算:(
)
4log 2
1
30
2
1773
1
log 3412++--
??
?
??π
. 解:原式4
log 13773log 14
9
++-=
-
2
321123=+--=.
例50. 若2,2>>b a ,且
()2
log 1log 212log log 212222b b a a b a ++=++,则 ()()=-+-2log 2log 22b a 【 】
（A ）0 （B ）
2
1
（C ）1 （D ）2 解法一:2
log 1log 2
log log 222
2
b
b a a
b a ++=++ ∴()
()
b a b a
b a +=+2log 2log 2
2
,∴
()
()
b a b a
b a +=+22.
∴()b a ab +=2.
∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a
()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .
选择【 D 】.
解法二:
()02
log 2log 1log 21log 212222=-++-+b a b a b a ∴()02log log 21222=++ab b a ,()()02log 2log log 22
2=?????
?
?+=++ab b a ab b a ∴()12
=?
+ab
b a ,∴()b a ab +=2. ∴()()()()22log 2log 2log 222--=-+-b a b a
()[]22log 4log 42log 2222===++-=b a ab .
知识点五 对数的换底公式
对数的运算,只有在同底数时才能直接计算,而实际问题中往往会遇到不同底数的对数运算,必须使用换底公式. 换底公式:a
b
b c c a log log log =（0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b ）.
说明:
（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义;
（2）换底公式的意义在于改变对数式的底数,把本题底数的对数运算转化为同底数的对数
运算,这样便可以利用对数的运算性质进行化简、求值和证明;
（3）在使用换底公式时,把不同底数换成什么样的底数由题目所给条件决定.通常换成以10为底数的常用对数. 换底公式的证明
分析：换底公式的证明,要用到对数式与指数式的互化
证明:设x b a =log ,则b a x
=.
在等式b a x =的两边同时取以c 为底的对数得:
b a
c x c log log =,即b a x c c log log =.
∵1≠a ,∴0log ≠a c ∴a b x c c log log =
,即a
b
b c c a log log log =. 其中,0>a 且1≠a ,0>c 且1≠c ,0>b .
对数换底公式的几个常用推论:
（1）b a
b
a n
b n a b b a
c c c c n c n c n
a n log log log log log log log log ====
; （2）b m
n a b m n a m b n a b b a c c c c m c n c n
a m
log log log log log log log log =?===;
（3）a
a b b b b b a log 1
log log log ==
;
（4）1log log =?a b b a ;
1log log 1
log log =?=
?a a
a b b b b a ,或1log log log log log log =?=
?b a a b a b c c c c b a . （5）1log log log =??a c b c b a . 例51. 计算:
（1）8log 4log 9log 1632??;
（2）()()4log 4log 3log 3log 9342++.
解:（1）原式=
34
3
222lg 42lg 33lg 2lg 22lg 3lg 216lg 8lg 3lg 4lg 2lg 9lg =??=??=??; 解法二:原式()2log 4
3
2log 3log 42log 2log 23log 223232324??=??=
34
3
14=??=;
（2）原式??
?
??+???? ??+=??? ??+???? ??+=3lg 22lg 23lg 2lg 22lg 23lg 2lg 3lg 9lg 4lg 3lg 4lg 4lg 3lg 2lg 3lg
2
9
3233lg 2lg 32lg 23lg 3=?=?=
. 解法二:原式()()2323222log 2log 3log 3log 22++=
()2log 33log 232log 2log 23log 213log 323322?=+???
?
??+=
2
9
1292log 3log 2932=?=?=
. 注意 在（2）的解法二中,用到了对数换底公式的推论:
b m
n
b a n a m log log =
,1log log =?a b b a . 例52. 计算:
（1）()
=+3
lg 2
lg 3log 3log 84__________; （2）()()=++++8log 4log 2log 5log 25log 125log 125255842__________.
解:（1）原式6
53lg 2lg 2lg 63lg 53lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23
lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg =?=?
?? ??+=???
??+=; 解法二:原式()
2log 3log 313log 213lg 2lg 3log 3log 3222232??
?
??+=+= 6
5
2log 3log 6532=?=
; （2）原式??
? ??++???? ??++=125lg 8lg 25lg 4lg 5lg 2lg 8lg 5lg 4lg 25lg 2lg 125lg
135
lg 2
lg 32lg 35lg 135lg 32lg 35lg 22lg 25lg 2lg 2lg 35lg 2lg 25lg 22lg 5lg 3=?=
??? ??++???? ??++=.
解法二:原式()()3525522222log 2log 2log 5log 5log 5log 33232++++=
()
132log 35log 3
13
2log 2log 2log 5log 315log 5log 352555222=?=++???
?
??++=
例53.（1）设3643==y
x
,求
y
x 1
2+的值; （2）已知73,3log 2==b a ,求56log 12.
解:（1）∵3643==y
x
∴36log ,36log 43==y x . ∴
4log 9log 4log 3log 236
log 136log 12123636363643+=+=+?=+y x 136log 36==;
点评 这里用到了对数换底公式的推论:a
b b a log 1
log =
.
（2）∵73,3log 2==b a ∴
b b a ===3
lg 7
lg ,7log ,2lg 3lg 3 ∴2lg 3lg 7lg ,2lg 3lg ba b a ===. ∴()()23
2lg 22lg 32
lg 22lg 2lg 32lg 2lg 23lg 2lg 37lg 4lg 3lg 8lg 7lg 12lg 56lg 56log 12++=++=++=++=++==
a a
b a ab a ab .
例54. 已知c b a ,,都是不等于1的正数,且z
y
x
c b a ==,
01
11=++z
y x ,求abc 的值. 分析:使用连等设参数法.可以利用指数幂与根式的互化以及指数幂的运算性质解
决问题,还可以利用对数的定义以及对数的换底公式解决问题.
解法一:设t c b a z
y
x
===,则0>t ,z
y
x
t c t b t a 111,,===.
∴z
y x z
y
x
t
t t t abc 111111++=??=.
∵
01
11=++z
y x ∴10==t abc .
解法二:设t c b a z
y
x
===,则0>t .
∵c b a ,,都是不等于1的正数 ∴t z t y t x c b a log ,log ,log ===. ∵
01
11=++z
y x ∴
0log 1
log 1log 1=++t
t t c b a ,∴()0log log log log ==++abc c b a t t t t ∴1=abc .
例55. 计算3216log 的结果是【 】
（A ）
34 （B ）43 （C ）34- （D ）4
3- 解:3
42log 3116log 3116log 16log 4223
1
23
2===
=. 选择【 A 】.
点评: 这里用到了对数的性质:（1）M n M a n
a log log =;（2）1log =a a .
例56. 求下列对数式的值:
（1）e 1
ln 1ln +;
（2）5
1
lg 5lg 32lg 4-+;
（3）2log 3774lg 25lg 27log +++.
解:（1）原式1ln 01
-=+=-e
;
（2）原式()410lg 452lg 5152lg 51lg 5lg 2lg 443434==?=??? ?
?
÷?=-+=; （3）原式()
()2
1122232425lg 3
log 2
1
3
3=++=
+?+=. 例57. =?+-+
8log 3log 4
3
lg 9lg 215lg 232__________.
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最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 高中数学 必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????????=∈∈???=??=?=???????????=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作： n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④( )* ∈>=N n n n ,100 0=；
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
高一数学必修1知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高一历史必修一知识点汇总.
第1课从内外服联盟到封邦建国 知识结构: 1.夏:出现公共权力,但保留氏族公社特点。 2.商:政治制度是内服与外服制度,具有浓厚的神权色彩。 3.西周: 分封制定义: 目的:巩固周的统治(奴隶主的统治 主体:同姓亲族 宗法制目的:巩固分封制形成的统治秩序,解决贵族之间在权力、财产和土地继承上的矛盾。 核心:嫡长子继承制 内容:确立大宗、小宗体系 作用:利于凝聚宗族,防止内部纷争,强化王权 工具:礼乐制度 第2课中央集权制度的确立 知识结构: 1.统一 (1群雄割据 A.春秋争霸 B.战国变法:秦国商鞅变法。 (2统一:时间:前221年;人物:赢政。 2、中央集权的确立
(1确立: A. “皇帝制”:皇权至上、皇位继承制 B. 三公九卿制:三公是丞相、御史大夫、太尉(中央 C. 郡县制(地方 (2加强皇权的措施:制定官吏选拔和考核制度;制定细苛、严密的法律。 (3影响:打破分封制,奠定大一统王朝制度基础。 第3课中央集权与地方分权的斗争 知识结构: 1. 汉初郡国并行,导致诸候尾大不掉,引发七国之乱。 2. 汉武帝集权措施:建中朝、设刺史、颁布推恩令。 3. 藩镇割据与五代十国:唐朝中后期,地方势力增强,出现藩镇割据局面;唐灭亡后,中国进入五代十国的分裂时期,五代十国是藩镇割据的继续和发展;这一时期,南方经济得到较大发展;后周世宗改革,为北宋结束五代十国分裂局面奠定了基础。 4. 宋加强中央集权 (1措施①收精兵:“三衙”、枢密院、原则; ②削实权:设通判、文臣任州郡长官; ③制钱谷:财赋大部分运往京师; (2影响利:改变藩镇割据分裂局面,加强中央集权; 弊:造成“积贫积弱”的后患。 第4课专制皇权的不断加强
高中数学必修一集合知识点总结复习整理
高中数学必修1知识点 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈????????∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????=??????? 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一.
专题：对数函数知识点总结及类型题归纳
专题：对数函数知识点总结 1.对数函数的定义： 一般地，函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域
（1）0.2log (4);y x =-； （2）log 1a y x =- (0,1).a a >≠； （3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y ＝log 2(32－4x )的定义域是 ，值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域： （1）2log (3)y x =+； （2）2 2log (3)y x =-； （3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 9.函数f （x ）=x 1 ln （432322+--++-x x x x ）定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ； 13.函数f （x ）= x 1 ln （432322+--++-x x x x ）的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )＝lg(ax 2 －2x ＋a ), (1) 如果f (x )的定义域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围； (2) 如果f (x )的值域是(－∞, ＋∞)，求a 的取值围． 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f （1）若函数的定义域为R ，数a 的取值围 （2）若函数的值域为R ，数a 的取值围
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意ａ不为零，那么ｙ叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 ２、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法－－-----－五点作图法： （１)先根据函数解析式，求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点Ｍ，并用虚线画出对称轴 （２）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点Ａ,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点Ｄ。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点Ｄ。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-２x-3， （１）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图； （２）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: （3)根据第(１)题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=０；② y ＜0；③ ｙ>0
知识点二：二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： (1）一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2） 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 （3)顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例１】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1,０),Ｂ（3,0）两点，且过（-1，16)，求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2，０)和(-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部)的一个动点,则： (１）abc 0 (>或<或＝） （2)a 的取值范围是 ? 【例３】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点（0，1)的是 ( ) A.ｙ = (ｘ ? 2)2 + 1 B ．y = (ｘ + ２）2 + 1 C ．y = (x ? 2)２ ? 3 D.ｙ = (x + 2）２ – 3
人教版高中英语必修一知识点归纳总结
高中必修一到必修五主要语法点 必修一：直接引语和间接引语(宾语从句)；现在进行时表将来；定语从句 必修二：定语从句(非限定定从、定从中的介词前提)；被动语态(一般将来时、现在完成时及现在进行时的被动语态) 必修三：情态动词；名词性从句(主语从句、宾语从句、表语从句及同位语从句) 必修四：主谓一致；非谓语动词(V-ing) ；构词法 必修 2 第一单元,非限制性定语从句的第二单元一般将来时的主被动第三单元现在完成时的主被动第四单元 现在进行时的主被动第五单元介词+which/whom的用法 必修 3 一二单元情态动词的用法三单元宾语从句和表语从句四单元主语从句 五单元同位语从句 必修4 第一单元主谓一致第二单v-ing作主语和宾语的用法第三单元v-ing作表语,定语和宾语补足语第四单 元v-ing作状语第五单元构词法 必修5 第一单元过去分词作定语和表语第二单元过去分词作宾语补足语第三单元过去分词作状语第四单元 倒装句第五单元省略句 必修一各单元知识点总结 Unit One Friendship 一、重点短语 1.go through 经历，经受get through 通过；完成；接通电话 2. set down 记下，放下 3. a series of 一系列 4 on purpose 有目的的 5. in order to 为了 6. at dusk 傍晚，黄昏时刻 7. face to face 面对面 8. fall in love 爱上 9. join in 参加（某个活动）；take part in 参加（活动） join 加入（组织，团队，并成为其中一员） 10. calm down 冷静下来 11. suffer from 遭受 12. be/get tired of…对…感到厌倦 13. be concerned about 关心 14. get on/along well with 与…相处融洽 15. be good at/do well in 擅长于… 16. find it + adj. to do sth. 发现做某事是…
高中地理必修一知识点总结完整版
高中地理必修一知识点总结完整版 第一部分地球的宇宙环境 ★考点1：了解不同级别的天体系统，说明地球在太阳系中的位置。 （1）天体系统的含义：宇宙中的各种天体之间相互吸引、相互绕转，形成天体系统。 （2）天体系统由高到低的层次： （3）地球在太阳系中的位置： 太阳系成员：太阳、行星及卫星、小行星、彗星、流星体、行星际物质；中心天体是太阳。八大行星按距日由近到远依次是水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。 ★考点2：知道地球是太阳系中一颗既普通又特殊的行星，理解地球上存在生命的条件。 （１）普通性体现在： ①八大行星绕日公转运动的特征：同向性、共面性、近圆性； ②八大行星根据距日远近、质量、体积等特征分为三类：类地行星（水星、金星、地球、火星）、巨行星（木星、土星）、远日行星（天王星、海王星） （2）特殊性体现在：地球存在生命物质 ★考点3：了解太阳辐射对地球的影响。 （1）太阳直接为地球提供了光、热资源，地球上生物的生长发育离不开太阳。
（2）太阳辐射能维持着地表温度，是促进地球上的大气、水运动和生物活动的主要动力。 （3）为人类生产、生活提供直接和间接的能源。（石油、天然气）.太阳辐射影响因素（三个） 我国太阳能资源分布特点及原因 太阳能风能开发条件评价 能源丰富，市场大小距离，资金，技术，政策 新能源的优点：清洁无污染，可再生。缺点：能量密度小，变化大不稳定。 ★考点4：了解太阳活动对地球的影响。 （1）太阳大气层由内至外可以分为光球、色球、日冕层。 （2）太阳活动最主要的类型是黑子和耀斑，分别出现在太阳大气层的光球和色球，其活动的平均周期为11年。 （3）太阳活动对地球的影响主要有： ①影响无线电短波信号，导致通讯衰减或中断。②产生“磁暴”现象，指南针不能正确指示方向。③两极地区高空大气产生极光现象。④地球上许多自然灾害的发生与太阳活动有相关性。 ★考点5：知道地球自转和公转的方向、周期和速度 ★考点6：理解昼夜更替和地方时产生的原因，能够进行简单的区时计算。 （1）昼夜更替现象产生的原因：地球是不透明的球体，因此有昼半球和夜半球之分；地球持续不停地自转，因此昼、夜半球所处部分不停地变化，就有了昼夜更替现象。昼夜更替的周期是１个太阳日。（2）地方时产生的原因：地球自转使得同纬度地区不同地点见到太阳的时刻会有早晚。地方时的确定与经度的对应关系：太阳直射的那条经线地方时为12点，晨线与赤道相交点所在经线的地方时为6点，昏线与赤道相交点所在经线的地方时为18点。同一条经线上的地方时相同，经线（经度）不同地方时不同。经度每隔15°，地方时相差1小时；经度每隔1°，地方时相差4分钟。 （3）时区与区时 时区：为了统一标准，国际上把经度15°划分为一个时区，全球划分为24个时区。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实
数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 x y > O x y 初二函数知识点及经典例题.
第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
高中数学必修一知识点总结(全)
第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
最新高中数学必修一集合知识点总结
高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
对数函数图象及其性质知识点及例题解析
对数函数的图象及性质例题解析 题型一 判断对数函数 【例1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1． 又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1． 【例1－1】下列函数中是对数函数的为__________． （1）y ＝log a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)； (4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ． 解析： 题型二 【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a ， 43，35，110 中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C 4的a 值依次为( ) A 43，35，110 B ，43，110，35 C ．43，35，110 D ．43110，35 解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1 的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 443，35，110 ．答案：A 点技巧 作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小． 题型三 对数型函数的定义域的求解 (1)对数函数的定义域为(0，＋∞)． (2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1． 若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义． (3)求函数的定义域应满足以下原则： ①分式中分母不等于零； ②偶次根式中被开方数大于或等于零； ③指数为零的幂的底数不等于零； ④对数的底数大于零且不等于1；
中考攻略：初中数学函数知识点大全+典型例题
初中数学函数知识点大全+典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零 那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称
点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数， 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 a b x 2-=时，a b a c y 442-=最值。 如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a b 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，a b a c y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时， c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减 小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222 最小。 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质
对数及对数函数知识点总结及题型分析
对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x =
函数的单调性知识点汇总及典型例题(高一必备)
第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数
高中数学必修一至必修五知识点总结
必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念
定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a
