常规混合流水车间调度问题的等价变换

第37卷?第9期?2015-09(下)?

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常规混合流水车间调度问题的等价变换

Equivalent transformation of standard hybrid flow shop scheduling problem

苏志雄，伊俊敏

SU Zhi-xiong, YI Jun-min

（厦门理工学院 管理学院，厦门 361024）

摘 要：常规混合流水车间调度问题具有多阶段、同速平行机、总完工时间最小化等特征，它是研究混

合流水车间调度问题最为自然的起点。对于此类NP难问题的基本性质的研究还不够充分，其算法设计缺乏系统的理论知识指导。因此，针对常规混合流水车间调度问题的性质展开研究, 探讨了调度问题的可逆性特征，并在此基础上分析了基于逆序变换进行问题求解的可行性，为算法设计提供了理论依据。

关键词：生产调度；混合流水车间；逆序变换；等价性中图分类号：TP278 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2015)09(下)-0045-04Doi：10.3969/j.issn.1009-0134.2015.09(下).13

收稿日期：2015-06-03

基金项目：国家自然科学基金面上项目（71371162）；福建省自然科学基金（2014J01271）；厦门理工学院高层次人才 项目（YSK10009R ）

作者简介：苏志雄（1980 -），男，福建龙海人，博士，研究方向为生产计划与调度、运输调度和软计算方法。

0 引言

混合流水车间（Hybrid Flow Shop, HFS ）调度问题是在流水车间（Flow Shop, FS ）调度问题的基础上发展起来的，其特点是所有阶段或部分阶段上存在并行设备。常规HFS 调度问题可以描述为n 个工件要在s 个阶段的流水车间上加工，其中阶段k 具有M (k)个同速平行机、且至少有一个阶段存在两台以上的平行机，在满足一系列基本假设和约束条件的基础上去寻找一个调度解使得最大完工时间（makespan ）最小。虽然不同的HFS 问题不能完全满足常规问题的所有假设和约束，但是也只是在设备加工环境、加工约束和特征、优化准则等方面存在较小的差异。常规HFS 问题作为HFS 调度问题的“模板”，其研究成果可以为更加复杂的实际调度问题研究提供基础，受到了学术界和产业界的广泛关注。

由于常规HFS 调度问题的NP 难特性[1]，精确算法[2,3]

只能求解很小规模的问题。对于近似求解方法来说，启发式算法

[4,5]

求解快速，然而其求解质量还有较大的改

进空间；元启发式算法[6～10]

求解质量较高，通常需要更

多的计算资源，难以应用于大规模或者实时性要求高的问题。从已有研究来看，现有的调度算法在求解质量、求解效率方面仍存在一定的不足，其主要原因在于算法设计的理论基础不够完善，现有的调度算法尚未很好地融入领域知识（domain knowledge ）。此外，文献[7]试图通过反例来说明常规HFS 问题不具备加工可逆性：对于一个给定的工件排列次序（初始阶段），采用正序、逆序调度方法可以获得不同的makespan 值；然而在给定工件排列次序的情况下，可以生成不同的工件设备指派

方案，进而可以得到一系列不同的调度解，该结论并不严谨。因此，本文进一步对常规HFS 调度问题的本质特征展开研究，首先通过逆序变换定义了常规HFS 调度问题的逆序问题，然后从数学角度证明了两者之间的等价关系，最后给出了一种基于逆序变换进行问题求解的方法，旨在为后续的研究提供理论依据。

1 数学模型

1.1 符号定义

为了叙述方便，引入下列符号：

J 为待加工的工件集合，{1,,}J n = ；j 为工件编号，j J ∈；k 为阶段编号，{1,,}k s ∈ ；m 为设备编号；

M (k)为阶段k 上的平行机数；(j,k)为工件j 在第k 个阶段的操作；p jk 为工件j 在阶段k 的加工时间；

t jk ,c jk 为工件j 在阶段k 的开工时间、完工时间；N km 为阶段k 上的设备m 所加工的操作集合；k ?为阶段k 上的工件设备指派方案集合，集合的元

素()

1,(,,)k k k k M N N ω= 满足以下两个条件：1）'km km N N =?

,,'()m m m =??≠∈(){1,2,,}k M ；2）()

1{(,)|}k M

m km N j k j ==? ；

?为 12s ?=?×?××? 为可行的工件设备指派方案集合，其元素记为ω；

km π为

k 上的

设备m ）；

π为表示工件的加工顺序方案，其