2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

冲刺高考 复习必备

2020年高考文科数学《直线与圆》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 倾斜角与斜率

例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）

A. 0150

B. 0120

C. 060

D. 030

【答案】 A

【解析】由直线l 310y +-=，可得直线的斜率为3

3

-

=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则3

3

tan -=α，∴?=150α． 故选：A ．

【易错点】基础求解问题注意不要算错

【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2

π

，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练

例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或9

2=a 【解析】5

97,35a

k a k CB AB +=

-=

∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即

59735a a +=

-，解得2=a 或9

2

=a ．

题型二 直线方程

例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．

A. 2x y +=

B. 1x y +=

C. 1x =或1y =

D. 2x y +=或x y =

【答案】D

【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y

m m

+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ． 【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n

y

m x 中要求m ，n 均非零。故做题时应考虑此情形

【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。不要漏解。

题型三 直线位置关系的判断

例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）

A. 2-或1-

B. 2或1-

C. 2-或1

D. 2或1 【答案】D

【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为2

3201k k k -+=?= 或2 故选择D

【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在 若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题

【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。在做题时应该考虑全面，避免少解

题型四 对称与直线恒过定点问题

例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________． 【答案】()2,2-

【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++??

???

，

由题意可得()000041

22

{

24230

2

2

y x x y -=-++?

+-=，解得002

{

2

x y =-=

所以对称点坐标为()2,2-．

【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可

【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。当点运动则轨迹（曲线）得到而已。点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解

例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）．

A. ()3,2

B. ()3,2-

C. ()3,2--

D. ()3,2- 【答案】A

【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =， 直线过()3,2定点，故选A ．

【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形

【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。即可求得

题型五 圆的方程

例1 若圆心在x

O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是

A

．22(5x y -+= B

．22

(5x y ++=

C ．22

(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=

【答案】D

【解析】设圆心(,0)(0)O a a <

=

，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为

22(5)5x y ++=．

例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x

轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．

【答案】22

(2)(1)4x y -+-=

【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b

，所以0b =>，

解得1b =，所以圆C 的标准方程为

22(2)(1)4x y -+-=．

例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程. 【答案】见解析

【解析】设圆的方程为()()()02

2

2

>=-+-r r b y a x .

∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-. 又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-， ∴

r a a =-+2

1

2，()()22

2

212r a a =+-+-，即()()()2

2

2

2122213a a a +-+-=-，

解得1=a 或9=a . ∴1=a ，2-=b ，2=

r 或9=a ，18-=b ，338=r ，

故所求圆的方程为：()()2212

2

=++-y x ，或()()3381892

2

=++-y x .

此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。则方程可求

【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解

【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解

题型六 直线、圆的综合问题

例1 直线被圆截得的弦长为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ． 【答案】C

250x y +-=22

240x y x y +--

=

【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为

.

例2 已知点()b a M ,在圆O ：12

2=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定 【答案】B

【解析】因为()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，所以12

2>+b a ，而圆心O 到直线1=+by ax 的距离

112

2

<+=

b

a d ，故直线与圆O 相交.

例3 直线l ：??

?

?

?+

=21x k y 与圆C ：122=+y x 的位置关系为( ) A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交 【答案】D

【解析】由于圆心()0,0 ，半径等于1，

圆心到直线l ：??

?

??+

=21x k y

的距离为1

12d r ==

=

=＜＜，

故直线和圆相交， 故选D ．

例4已知圆，圆，分别是圆上的动点，

为轴上的动点，则的最小值为

A ． B

C ． D

【答案】D

【解析】圆1C ，2C 的圆心分别为1C ，2C ，由题意知11-≥PC PM ，32-≥PC PN ，

∴421-+≥+PC PC PN PM ，故所求值为421-+PC PC 的最小值． 又1C 关于x 轴对称的点为()3,23-C ，

所以421-+PC PC 的最小值为425423-=-C C ，故选A ．

(1,2)d =

r =4=()()2

2

1:231C x y -+-=()()2

2

2:349C x y -+-=,M N 12,C C P x PM PN +416-

【易错点】此题可以采用联立方程（?）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l 恒过??

?

??21,

0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及

【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d 与圆半径r 大小确定。 圆:

C ()()

22

2x a y b r -+-=，直线l ：0=++C By Ax ，圆心()b a C ,到直线l 的距离为d ，则：

1.r d >，直线与圆相离。可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题

2.r d =，直线与圆相切。依此可求过圆C ：2

22r y x =+上某点),(00y x P 的切线方程：2

00r y y x x =+；

一般地，过圆C ：()()2

2

2

r b y a x =-+-上某点),(00y x P 的切线方程：

()()()()200r b y b y a x a x =--+--.

3.r d <，直线与圆相交。此时常用勾股定理2

2

2

2??

? ??+=AB d r （AB 为相交弦）来求解相关问题.

【巩固训练】

题型一 倾斜角与斜率

1.经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______． 【答案】见解析

【解析】经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率()

1250

3-=----=

k ，故倾斜角为?135．

2.设点()3,2-A ，()2,3--B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )

A. 43≥k 或4-≤k

B. 434≤≤-k

C. 44

3

≤≤-k D. 以上都不对 【答案】A

【解析】求得43,4=

-=PB PA k k ,结合图像知k 的范围为4

3

4≥-≤k k 或 3.直线l 过点()2,1A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )

A.0

B.1

C.2

1

D.2 【答案】D

【解析】如图，2=OA k ，0='l k ，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故[]2,0∈k .故直线l 的斜率

k 的最大值为2.

题型二 直线方程

1.过点)

A

且倾斜角为120?的直线方程为（ ）

A. 4y =-

B. 4y =+

C. 23

y x =-- D. 23y x =-+ 【答案】B

【解析】倾斜角为120?的直线斜率为.

利用点斜式可得1y x -=.整理得4y =+.

2.直线l 过点()2,1-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是( )

A ．0123=-+y x

B ．0723=++y x

C ．0532=+-y x

D ．0832=+-y x 【答案】A

【解析】设023:=++t y x l ，代入()2,1-.得1-=t

3.已知()2,1A ,()1,3B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）．

A. 0524=+-y x

B. 0524=--y x

C. 052=-+y x

D. 052-=-y x 【答案】B

【解析】AB 中点为M )23

2(，,21-

=AB k .则中垂线斜率2=k .方程为).2(22

3

-=-x y 化简得： 0524=--y x

4.已知直线l 过点()2,1，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程（ ）

A.052=-+y x

B.052=++y x

C.02=-y x 或052=-+y x

D.02=-y x 或032=+-y x 【答案】C

【解析】当直线过原点时，又过点()2,1，∴所求直线方程为02=-y x . 当直线不过原点时，由已知设直线方程为

12=+m

y

m x ，又过点()2,1，∴所求直线方程为052=-+y x ∴选C

题型三 直线位置关系的判断

1.已知直线20x y --=与直线0mx y +=垂直，那么m 的值是（ ）．

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 2 【答案】C

【解析】利用垂直的条件：0)1(11=-?+?m ，得1=m

2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580l x m y ++-=平行，则m 的值为（ ）．

A. 13

3

- B. 1-或7- C. 6- D. 7- 【答案】D

【解析】∵12l l P ，∴()()3524m m +?+=?，

解得1m =-或7-，又当1m =-时，两条直线重合， 故7m =-．

3.直线

3x y +=和直线2x y +

=的位置关系是（ ）．

A. 垂直

B. 相交不垂直

C. 平行 D 重合． 【答案】A

【解析】∵

110?+

?=，

∴两条直线相互垂直．故选A ．

题型四 对称与过定点

1.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点（ ）

A. 1,32??-

??? B. 1,32?? ??? C. 1,32??- ??? D. 1,32??

-- ???

【答案】D

【解析】直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令210

{

30x y +=+=，解得1

,32

x y =-=-，

当m 变动时，所有直线都通过定点1,32??

-

- ???

，故选D.

2.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点_______． 【答案】()1,1-

【解析】()()220m n x m n y m n ++--+=可化为：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让m,n “失去作用”，则210{

20x y x y +-=-+=，解得1

{ 1

x y =-= ，即定点为()1,1-.

3.已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k

（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程； （2）若1k

=-，一条光线从点()6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求

光线所经过的路程.

【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2

） 【解析】（1）由题意得0k

≠。

直线l 的方程为()()4664y k x y k x -=-=-+，即， 令0x =，得64y k =-+ ；令0y =，得4

6x k

=-+ ∵l 的纵截距是横截距的两倍46426k k ??

∴-+=-+ ???

解得23k =或2k =-

∴直线()2

643

l y x =-+的方程为或()264y x =--+，即230x y -=或2160x y +-= （2）当1k

=-时，直线100l x y +-=的方程为，设点M 关于l 的对称点为()1,M a b ，

则1

6{ 6

1002

b

a a y =-++-=，解得10{

4a b ==，()110,4M ∴点的坐标为， ()110,4M ∴关于y 轴的对称点为()210,4M -

∴光线所经过的路程为

2||M M =

=题型五 圆的方程

1.圆与直线0634:=+-y x l 相切于点()6,3A ，且经过点()2,5B ，求此圆的方程.

【答案】0399102

2=+--+y x y x .

【解析】设圆的方程为()()2

2

2

r b y a x =-+-，则圆为()b a C ,，由CB CA =，l CA ⊥，

得()()()()?

??

??-=?--=-+-=-+-13

436256322222a b r b a b a

解得5=a ，29=b ，4252=r ，∴圆的方程为()4252952

2

=??? ?

?-+-y x

2.求过三点,,的圆的方程. 【答案】

【解析】设圆的方程为

因为点在圆上所以点的坐标是方程的解，把它们的坐标代入圆的方程得

解这个方程得所求方程为

此题亦可先求两条中垂线，其交点为圆心，则半径可求，得到方程

3.若ABC Rt ?的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为()0,3-和()0,7，则直角顶点C 的轨迹方程为( )

A ．()02522≠=+y y x

B ．252

2=+y x

C ．()()02522

2

≠=+-y y x D ．()2522

2

=+-y x

【答案】C

【解析】线段AB 的中点为()0,2，因为ABC ?为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点()0,2的距离为

52

1

=AB ，所以点()y x C ,满足()()05

22

2≠=+-y y x ，即()()025222≠=+-y y x ．

求轨迹问题应注意变量的范围. 题型六 直线、圆的综合问题

1.直线与圆的位置关系为（ ）

A ．相切

B ．相交但直线不过圆心

C ．直线过圆心

D ．相离

【答案】B

(0,5)A (1,-2)B (-3,-4)C 2

2

++6-2-15=0.x y x y 2

2

+++E =0x y Dx y F +5250

25034250E F D E F D E F ++=??

-++=??+--=?6-2-15D E F =??=??=?

，，，22

++6-2-15=0.x y x y 1y x =+22

1x y +=

【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B ． 2.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是（ ）

A ．－2

B ．－4

C ．－6

D ．－8 【答案】B

【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到

直线20x y ++=

的距离d =

=2422r a =+=-，故4a =- 3.若圆2

2

1:1C x y +=与圆2

2

2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）

A ．21

B ．19

C ．9

D ．11- 【答案】B

【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C

，121

,r r ==

1212||15C C r r =+==，所以9m =．

4.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】B

【解析】圆化成圆的标准方程为．其圆心为，半径为，从圆外一点向这个圆作两条切线，则点到圆心

的距离等于，每条切线与的夹角

的正切值等于，所以两切夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B ． 5.已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆04422

2=--++y x y x 相交于B A ，

两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________． 【答案】0a =或6

(0,0)1y x =+10x y -+=2d =

=

012<<2

2

2210x x y y -+-+=()3,2P 12352

02

2

2210x x y y -+-+=2

2

(1)(1)1x y -+-=(1,1)M 1(3,2)P P M 5PM 211

242tan 1314

θ?

=

=-35

【解析】圆:C 的标准方程为22

(1)(2)9x y ++-=，所以圆心为(1,2)C -，半径为3．因为AC BC ⊥，

所以圆心C 到曲线0=+-a y x

的距离为

2

，

2=，所以0a =或6． 6.若直线3450x y -+=与圆()2

220x y r r +=>相交于A ，B 两点，且120AOB ∠=o （O 为坐标原点），

则r =_____.

【答案】2r =

【解析】 如图直线3450x y -+=与圆()2

2

2

0x y r

r +=>交于,A B 两点，

O 为坐标原点，且120AOB ∠=o

，则圆心()0,0到直线3450x y -+=的距离为

1

2

r

，1

2

r =

，所以2r =. 7. 已知直线l ：063=+-y x 与圆1222=+y x 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，

D 两点，则=CD _______.

【答案】4

【解析】由已知条件得圆122

2=+y x 的圆心到直线063=+-y x 的距离为3，则32=AB .因为AB l 的

斜率

33，所以直线AB 与x 轴的夹角6π

，因此46

cos ==AB CD .