工程数学试卷及答案
河北科技大学成人高等教育2016年第1学期
《工程数学》考试试卷
教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号
一、选择题（每小题3分，共15分）
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.
B. 至少有一发击中.
C. 必然击中
D. 击中3发
2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。 ？
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D. D(XY)=D(X)D(Y)
3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤?
??-=x x x f 。 B. 其它2
||05.0)(≤???=x x f
C. 0
021)(2
2
2)(<≥???
?
???=--x x e x f x σμπ
σ D. 其它0
0)(>???=-x e x f x ，
4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,
}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）
A. 对于任意的μ, P 1=P 2
B. 对于任意的μ,
P 1 < P 2 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2
设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）
A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ！
6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –
2E|= 。
7．设A= ???
?
? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概
率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A
x x x f <
??=002)(，则概率
=≥)2
1
(X P 。
10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
其它当0
,00),()43(>>?
??=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。
二、填空题（每空3分，共15分）
~
11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：
t
e d t ββπωωβω-+∞
=+?2cos 0
22
<
12．发报台分别以概率和发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信
号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率和收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率和收到信号“0”和“1”。求 （1）收报台收到信号“1”的概率；
（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
;
$
13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是
其它0
,00),()42(>>?
?
?=+-y x ce y x f y x 求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗请说出理由。
(
三、计算题（每小题10分，共50分）
14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有
球盒子数X的数学期望。
|
<
15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求
(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX
' ^
12n a1≠0,其长度为║a║，又A=aa T,
(1)证明A2=║a║2A；
(2){
(3)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；
(4)A能相似于对角阵Λ吗若能,写出对角阵Λ.
"
四、证明题（共10分）
五、应用题（共10分）
17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X 是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
?
《工程数学》参考答案及评分标准
二、选择题（每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 三、填空题（每小题3分，共15分） *
6. 9
7. 1
8. 1–(1–P)3
9. 3/4 10. 12 三、计算题（每题10分，共50分） 11.解答：函数f(t)的付氏变换为：
F (w )=dt e dt e dt e e e
t j t j t j t t ???+∞
--+∞
+--+∞
∞
---+==?0
)(0
)(|||
|][?β?β?ββ （3分）
=2
2211?
ββ
?β?β+=-++j j (2分) 由付氏积分公式有
f(t)=[1
-?F(w )]=
??π?d e
F t
j ?+∞
∞
-)(21 (2分)
=
????
ββ
π
d t j t ?+∞
∞-++)sin (cos 22122 ==
??
β?πβ
???
ββπ
d t
d t ??+∞
+∞∞-+=+0222
2cos 2cos 221
（2分） 所以
t
e d t ββπωωβω-+∞
=+?2cos 0
22 （1分） ！
12.解答:
设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分） (1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） = = （1分）
(2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） = （1分）
13.解答:
(1) ： (2) 由联合概率密度的性质有
??+∞
∞
-+∞
∞
-=1),(dy y x f dx
即
??+∞
+-+∞
=0
)
42(0
1dy ce dx y x （2分） 从而 c =8 （2分）
(2)??
≥=
=
≥y
x dxdy y x f Y X P ),()(??=+-+∞
x
y x dy e dx 0
)
42(0
3
2
8 （2分）
(3) 当x >0时， ??∞∞
-∞
-+-===
2)
42(28),()(x
y x X e
dy e
dy y x f x f （2分）
当x <=0时, 0)(=x f X
同理有 其它0
04)(4>?
??=-y e y f y Y （1分）
因 y x y f x f y x f Y X ,)
()(),(?=
故X 与Y 相互独立 （1分）
:
14.解答：
设 否则
个盒子有球
第i X i ??
?=0
1 i =1,2,…,N (2分)
则 ∑==
N
i i
X
X 1
(1分)
因 n
n
i N
N X P )1()0(-== (2分) n
n
i i N N X P X P )
1(1)0(1)1(--
==-== (2分) 因而 n
n
i i i N
N X P X P EX )1(1)1(1)0(0--==?+=?= (2分) 所以 ))11(1(1
n
N
i i N
N EX EX -
-==
∑= (2分) 15.解答：
（1）随机变量X 的取值为1，2，3。 （1分） 依题意有：6
2)3(;63}2{;61}1{=====
=X P X P X P （3分） ^
X 的分布函数}{)(x X P x F ≤= （1分）
由条件知：当1 当21<≤x 时，;6 1 )1((= ==X P x F ） （1分） 当32<≤x 时，;3 2 )2()1((==+==X P X P x F ） （1分） 当3≥x 时，;1(=）x F （1分） （2）EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分） 四、证明题（共10分） (1) A 2=aa T ·aa T =a T a ·aa T =║a ║2A （2分） (2)因 Aa= aa T ·a=a T a ·a= ║a ║2a （2分） 故a 是A 的一个特征向量。 又A 对称，故A 必相似于对角阵 （1分） 设A ∽ diag(λ1,λ2,…,λn )=B, 其中λ1,λ2,…,λn 是A 的特征值 (1分) 因rank(A)=1, 所以 rank(B)=1 (1分) 从而λ1,λ2,…,λn 中必有n-1个为0, 即0是A 的n-1重特征值 （1分） (3) A 对称，故A 必相似于对角阵Λ， Λ=diag(║a ║2, 0,…,0) (2分) 五、应用题（共10分） 解答: 设y 为预备出口的该商品的数量，这个数量可只介于2000与4000之间，用Z 表示国家的收益（万元）, （1分） 则有 y X y X X y X y X g Z <≥?? ? --==) (33)( （4分） 因 X 服从R(2000,4000), 故有 其它 4000 20000 2000 /1)(< ?=x x f X (1分) 所以 dx y dx x y x dx x f x g EZ y y X ? ??+ --==∞ ∞-4000 2000 2000 32000) (3)()( =–( y 2 –7000y + 4?106 ) /1000 (3分) 求极值得 y=3500 (吨) (1分) 河北科技大学成人高等教育2016年第1学期 《工程数学》考试试卷 教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 ？ C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤? ??-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤???=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ！ 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A – 2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概 率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>? ??=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 二、填空题（每空3分，共15分） 俯视图 高一期末考试模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题中的四个选项中，只有一项是符合题目 要求） 1.已知集合{}/8,M x N x m m N =∈=-∈，则集合M 中的元素的个数为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =，则实数x 的值是（ ） A.3-或4 B.6或2 C.3或4- D.6或2- 3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（ ） A.1:3 B. C.1:9 D.1:81 4.圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为（ ） A.2 B.1 C.3 D.4 5.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ） A. B. C. D.6.已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.0或1- 7.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A.()y x x R =-∈ B.3 ()y x x x R =--∈ C.1()()2 x y x R =∈ D.1 (,0)y x R x x =- ∈≠且 8.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 主视图 左视图 俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ） A. 4 π B.54π C.π D.32 π 9.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题： ①//////αββγαγ???? ②//m m αββα⊥??⊥?? ③//m m ααββ⊥??⊥?? ④////m n m n αα????? 其中，真命题是 （ ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 10.函数2 ()ln f x x x =- 的零点所在的大致区间是（ ） A.()1,2 B.()2,3 C.11,e ?? ??? D.(),e +∞ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) 【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 6．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04?? - ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 2 B ． 3 C ． 5 D ． 72 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 22 D ．2 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________． 15．若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点 经济应用数学习题 第一章 极限和连续 填空题 1. sin lim x x x →∞=0 ； 2.函数 x y ln =是由 u y =，v u ln =，x v =复合而成的； 3当 0x → 时，1cos x - 是比 x 高 阶的无穷小量。 4. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = 2 5. 2lim(1)x x x →∞-=2-e 选择题 1.02lim 5arcsin x x x →= （ C ） （A ） 0 （B ）不存在 （C ）25 （D ）1 2.()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的（ A ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 计算题 1. 求极限 2 0cos 1lim 2x x x →- 解：20cos 1lim 2x x x →-＝414sin lim 0-=-→x x x 2. x x x 10)41(lim -→＝41)41(40)4 1(lim ---→=-e x x x 3. 201lim x x e x x →--112lim 0-=-=→x e x x 导数和微分 填空题 1若 )(x u 与 )(x v 在 x 处可导，则 ])()(['x v x u =2'')] ([)()()()(x v x v x u x v x u - 2.设)(x f 在0x 处可导，且A x f =')(0，则h h x f h x f h )3()2(lim 000--+→用A 的 代数式表示为 A 5 ； 32)(x e x f =，则x f x f x )1()21(lim 0--→= 4e - 。 20(12)(1)'()2,lim 2'(1)4x x f x f f x xe f e x →--==-=-解 选择题 1. 设 )(x f 在点 0x 处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A ） 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 （B ） 000()()lim x x f x f x x x →--不存在 （C ） 00()()lim x x f x f x x →+-存在 （D ） 00()()lim x f x f x x ?→-?不存在 2. 设)(x f 在0x 处可导，且0001lim (2)()4 x x f x x f x →=--，则0()f x '等于（ D ） （A ） 4 （B ） –4 （C ） 2 （D ） –2 3. 3设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = （ B ） （A ） ()()f x h o h '+ （B ） 2()()f x h o h '-+ （C ） ()()f x h o h '-+ （D ） 2()()f x h o h '+ 4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f x x → 等于（ B ） （A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f ' 5. 函数 )(x f e y =，则 ="y （ D ） （A ） )(x f e （B ） )(")(x f e x f （C ） 2)()]('[x f e x f （D ） )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 6函数 x x x f )1()(-=的导数为（ D ） （A ）x x x )1(- （B ） 1)1(--x x （C ）x x x ln （D ） )]1ln(1[ )1(-+--x x x x x 高一数学函数试卷及答 案 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-工程数学试卷及答案
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