人教培优一元二次方程辅导专题训练附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221
6
k k k -+-的值．
【答案】0. 【解析】 【分析】
由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-??
??-≥?
＝＝＝ ， 由条件，知12
1212
11x x x x x x ++==3， 即
33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221
06
k k k -=+-.
Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17
8
k ≤
， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221
6k k k -+-无意义.
综上，代数式221
6
k k k -+-的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
2．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=
，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF
的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，
D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=
.
在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得
.
∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴
，即
，解得
.
④设AD=x ，易知，即
. 而，
当
时，
；当时，.
∴△FCD 的面积s 的取值范围是
.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
3．已知关于x 的一元二次方程()2
20x m x m -++=（m 为常数）
（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；
(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】
（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2?4×1?m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=2
1
m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：
△=(m+2)2?4×1?m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，
所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为t ，
()220x m x m -++=
根据题意得2+t=2
1
m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，
即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】
本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.
4．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β． （1）求m 的取值范围； （2）若
1
1
1α
β
+
=-，则m 的值为多少？
【答案】（1）1
4
m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】 【分析】
（1）根据△≥0即可求解, （2）化简1
1
α
β
+
,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m≥-
34
； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵1
1
1α
β
+
=-，即
αβ
αβ
+=-1, ∴
2m 3m2
+﹣（）
=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0
解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34
， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.
5．关于x 的方程()2
204
k
kx k x +++
=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存
在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【解析】 【分析】
()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式
0>，由此可以得到关于k 的不等
式，解不等式即可求出k 的取值范围.
()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等
于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在
()1中的取值范围内.
【详解】
解：()1依题意得2
(2)404
k
k k =+-?
>， 1k ∴>-， 又0k ≠，
k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；
()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平
方根，
理由是：设方程()2
204
k
kx k x +++
=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k
x x +?
+=-????=
??
，
又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，
21
2
k k +∴-
=， 43
k ∴=-，
由()1知，1k >-，且0k ≠，
4
3
k ∴=-不符合题意，
因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根． 【点睛】
本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
6．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1
4
时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：
（1）?= ()()
2
2
21420k k k +-+≥，解得14
k ≤
（2）由22
12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥， 由根与系数的关系可得：2
121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2
10k -≤， 得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤
， 故不存在k 使22
12120x x x x --≥．
7．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．
【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【解析】
【分析】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．
【详解】
（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，
根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．
（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，
整理得：a2+75a﹣2500＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），
∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．
答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20
千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x
2
×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），54
100%=90% 60
.
答：该店应按原售价的九折出售.
9．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？ 【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【解析】 【分析】
设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为
(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可
列方程求解 【详解】
解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=． 解得110x =，230x =．
经检验，110x =，230x =都符合题意． 当10x =时，5060x +=，50010400x -=； 当30x =时，5080x +=，50010200x -=．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件． 【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解
10．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.
【答案】x 1＝2，x 2＝2 【解析】
试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据
求根公式x =求解即可.
试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0. ∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，
∴x ＝
4
2
±＝， ∴x
1＝2，x 2＝2