2019高中数学专题复习不等式
(六) 不等式(注意速度和准度)
一、“12＋4”提速练
1．不等式? ????x ＋12? ??
??32－x ≥0的解集是( )
A.?????????
?x ??? x <－12或x >
32 B.??????
???
?x ???
x ≤－12或x ≥
3
2 C.?
?????
???
?x ???
－12≤x ≤
3
2 D.?
?????
???
?x ???
－12 3 2 解析：选C 将不等式化为? ????x ＋12? ????x －32≤0，解得－12≤x ≤32. 2．如果a b B ．ab C ．－ab <－a 2 D ．－1a <－1b 解析：选D 由于a 1b ，－ 1 a <－1b ，故A 不正确，D 正确．可得ab ＝2，b 2＝1，∴ab >b 2 ，故B 不正确．可得－ab ＝－2， －a 2 ＝－4，∴－ab >－a 2 ，故C 不正确． 3．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件???? ? 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0， y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小 值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1 D ．9 解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15. 法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15. 4．若a >1，则a ＋1 a －1 的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．3 D.2a a －1 解析：选C ∵a >1， ∴a －1>0，a ＋ 1a －1＝a －1＋1a －1 ＋1≥2＋1＝3， 当a ＝2时取到等号，故选C. 5．已知变量x ，y 满足约束条件???? ? x －y ＋2≤0，x ＋y －6≤0， x －1≥0， 则y x 的取值范围是( ) A ．[2,5] B ．(－∞，2]∪[5，＋∞) C ．(－∞，3]∪[5，＋∞) D ．[3,5] 解析：选A 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示， y x 表示可行域内一点(x ，y )与原点连线的斜率，由图易得A (2,4)， B (1,5)，故y x 的取值范围是[2,5]． 6．(2018届高三·石家庄摸底)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2 ＋y 2 ＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2 取得最大值时a 的值为( ) A.12 B.32 C.34 D.34 解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2 ＋b 2 ， 则直线被圆截得的弦长 L ＝2r 2－d 2＝2 4－ 4 4a 2 ＋b 2＝2 3， 所以4a 2 ＋b 2 ＝4. t ＝a 1＋2b 2＝ 122 ×(22a )×1＋2b 2 ≤122×1 2 ×[]22a 2 ＋1＋2b 22 ＝ 1 42 [8a 2＋1＋2(4－4a 2 )]＝942 ， 当且仅当? ???? 8a 2 ＝1＋2b 2 ， 4a 2＋b 2 ＝4时等号成立，此时a ＝3 4 . 7．(2017·兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组???? ? x ＋y ≥3，x －y ≥－1， 2x －y ≤3， 则x 2＋y 2 的最小值 是( ) A.32 2 B.92 C. 5 D ．2 5 解析：选B 约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离． ∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为3 2 ＝322， ∴x 2＋y 2 的最小值为92 . 8．已知函数f (x )＝ax 2 －(a 2 ＋1)x ＋a ，若a >0时，f (x )<0在x ∈(1,2)上恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.? ?? ??0，12 B ．[2，＋∞) C ．(0,2] D.? ?? ??0，12∪[2，＋∞) 解析：选D 由题意知? ?? ?? f 1≤0，f 2≤0， 解得0 2 或a ≥2. 9．某工厂用A ，B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件，耗时1 h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件，耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8 h ．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为( ) A ．24万元 B ．22万元 C ．18万元 D ．16万元 解析：选B 设该工厂分别生产甲、乙两种产品x 件，y 件，每天获得的利润为z 万元， 由已知条件可得????? x ＋2y ≤8， 4x ≤24，4y ≤16， x ≥0，y ≥0， 目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组表示的平面 区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(6,1)，所以 z max ＝3×6＋4×1＝22(万元)，故选B. 10．若x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y ≥1，x －y ≥－1， 2x －y ≤2， 且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取 得最小值，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,2] B ．(－4,2) C ．[－4,1] D ．(－4,1) 解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a 2<2，即－4 11．(2018届高三·惠州调研)已知实数x ，y 满足： ???? ? x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0， 若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：选 B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分 所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ? ? ? ?? －a ，a －53时，z 取得最小值－ 4，所以－a ＋2× a －5 3 ＝－4，解得a ＝2. 12．在实数集R 中定义一种运算“⊕”，具有以下性质： ①对任意a ，b ∈R ，a ⊕b ＝b ⊕a ； ②对任意a ∈R ，a ⊕0＝a ； ③对任意a ，b ，c ∈R ，(a ⊕b )⊕c ＝c ⊕(ab )＋(a ⊕c )＋(b ⊕c )－2c . 则函数f (x )＝x ⊕1 x (x >0)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 2 D ．1 解析：选B 根据题意，得 f (x )＝x ⊕1 x ＝? ? ??? x ⊕1x ⊕0＝0⊕? ? ???x ·1x ＋(x ⊕0)＋? ?? ?? 1 x ⊕0－2×0＝1＋x ＋1 x ， 即f (x )＝1＋x ＋1 x . ∵x >0，可得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1 x ＝1，即x ＝1时等号成立． ∴1＋x ＋1x ≥2＋1＝3，可得函数f (x )＝x ⊕1 x (x >0)的最小值为f (1)＝3. 13．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为? ????? ??? ?x ??? 1m 值范围是________． 解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为? ????? ??? ?x ??? 1 m ， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1 m 和2，且????? m <0， 1 m <2， ∴m 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 14．(2017·南京调研)已知a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1 b 2－1 的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1，得0 2， 即log a b ＝12，a ＝b 2 ，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2 a －1·1 a －1 ＋1＝3，当且仅 当a ＝2时取等号． 答案：3 15．(2017·长春质检)已知实数x ，y 满足????? x ＋y ≤10， 3x ＋y ≤18， x ≥0， y ≥0， 则z ＝x ＋y 2 的最大值为 ________． 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数的方程化成斜截式为y ＝－2x ＋2z ，结合线性规划知识知， 使目标函数z ＝x ＋y 2取得最大值的最优解为M (4，6)，故z ＝x ＋y 2 的最大值为7. 答案：7 16．设x ，y 满足约束条件????? 2x －y －1≤0， x －y ≥0， x ≥0， y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0) 的最大值为1，则1a ＋4 b 的最小值为________． 解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得，y ＝－a b x ＋z b ，平移直线y ＝－a b x ＋z b ，数形结合可知，当y ＝－a b x ＋z b 过点A (1,1)时，目标函数取得最大值1，即a ＋b ＝1，则1a ＋4b ＝? ?? ??1a ＋4b (a ＋b )＝1＋4＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝5＋4＝9，当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝23时取等号，故1a ＋4 b 的最小值为9. 答案：9 二、能力拔高练 1．已知互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2 ＋c 2 ＝2bc ，则下列等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >a >b 解析：选B 若a >b ，则a 2 ＋c 2 >b 2 ＋c 2 ≥2bc ，不符合条件，排除A 、D ； 又由a 2 －c 2 ＝2c (b －c )，故a －c 与b －c 同号，排除C ； 当b >a >c 时，a 2 ＋c 2 ＝2bc 有可能成立， 例如取a ＝3，b ＝5，c ＝1，故选B. 2．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．log 23 解析：选B ∵a x ＝b y ＝2，∴x ＝log a 2，y ＝log b 2， ∴1x ＝log 2a ，1 y ＝log 2b ， ∴1x ＋1 y ＝log 2a ＋ log 2b ＝log 2ab ， ∵2a ＋b ＝8≥22a ·b ， ∴ab ≤8(当且仅当2a ＝b 时，取等号)， ∴1x ＋1y ≤log 28＝3，即1x ＋1 y 的最大值为3. 3．给出如下四个命题： ①若a ≥0，b ≥0，则 2 a 2＋ b 2≥a ＋b ； ②若ab >0，则|a ＋b |<|a |＋|b |； ③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，则a >2，b >2； ④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则(a ＋b ＋c )2 ≥3. 其中正确的命题是( ) A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 解析：选B ①若a ≥0，b ≥0，则a 2 ＋b 2 ≥2ab ， ∴2(a 2 ＋b 2 )≥(a ＋b )2 ，∴2 a 2＋ b 2≥a ＋b ，故①正确； ②若ab >0，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，故②不正确； ③若a >0，b >0，a ＋b >4，ab >4，取a ＝5，b ＝1.5，结论不成立，故③不正确； ④若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1， 则(a ＋b ＋c )2 ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋2ab ＋2bc ＋2ac ≥3(ab ＋bc ＋ca )＝3，故④正确． 综上知，正确的命题是①④. 4．(2018届高三·皖南八校联考)当x ，y 满足不等式组???? ? x ＋2y ≤2，y －4≤x ， x －7y ≤2 时，－2≤kx －y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[－1,1] B ．[－2,0] C.???? ??－15，35 D.???? ??－15，0 解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示，设z ＝kx －y ， 由??? ?? x ＋2y ＝2，x －y ＝－4得??? ?? x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)； 由? ?? ?? x ＋2y ＝2，x －7y ＝2得? ?? ?? x ＝2，y ＝0，即C (2,0)； 由? ?? ?? x －y ＝－4，x －7y ＝2得? ?? ?? x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)．要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立， 则???? ? －2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2， 即??? ?? －2≤k ≤0， －1≤k ≤1，－15≤k ≤35， 所以－1 5 ≤k ≤0. 5．设a <0，(3x 2 ＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为________． 解析：当a ＋a )·(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为?x ∈(a ，b )，a ≤－3x 2，所以a ≤－3a 2 ，所以－13≤a <0，所以b －a <13 ；当 a <0< b 时，令x ＝0，则(3x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上不恒成立， 不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，2x (3x 2 ＋a )≥0恒成立，所以3x 2 ＋a ≤0，所以－13≤a <0，所以b －a ≤13.综上所述，b －a 的最大值为1 3 . 答案：13 6．设不等式组???? ? x >0，y >0， y ≤－nx ＋3n 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵 坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N * )，若m >1 a 1a 2＋ 1 a 2a 3 ＋…＋ 1 a n a n ＋1 对于任意的正整数恒成立， 则实数m 的取值范围是________． 解析：不等式组???? ? x >0，y >0， y ≤－nx ＋3n 表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx ＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有 n 个，所以a n ＝3n ，所以1 a n a n ＋1＝1 3n ·3n ＋3＝19? ???? 1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1 a n a n ＋1 ＝19? ????1－12＋12－1 3＋…＋1n －1n ＋1＝19? ????1－1n ＋1，数列??????19? ????1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19? ????1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥1 9 . 答案：???? ??19，＋∞ 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 6,2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ) 第I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22 (1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512 -（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． 5 16 B． 11 32 C． 21 32 D． 11 16 7．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 8．如图是求 1 1 2 1 2 2 + + 的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= 1 2A + B．A= 1 2 A +C．A= 1 12A + D．A= 1 1 2A + 9．记n S为等差数列{}n a的前n项和．已知45 05 S a == ，，则 A．25 n a n =-B．310 n a n =-C．2 28 n S n n =-D．2 1 2 2 n S n n =-10．已知椭圆C的焦点为12 1,01,0 F F - ()，()，过F 2 的直线与C交于A，B两点.若 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 1 必修Ⅰ 集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ中潜在的命题点预测 预测1：函数的个数问题 教材习题：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，这样的函数有几个？ 变式1：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,1-，求b 的取值范围； 变式2：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b ,2-，求b 的取值范围； 变式3：函数解析式2x y =，值域为[]4,1，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式4：函数解析式2x y =，值域为[]4,0，定义域为[]b a ,，求,a b 的值； 变式5：函数解析式2x y =，值域为{}4,1，这样的函数有几个？ 变式6：函数解析式2x y =，值域为{}2,9,4,1n () *N n ∈，这样的函数有几个？ 预测1-1：设a ＞1，函数log a y x =的定义域为[m ，n ],m ＜n ，值域为[0,1]，定义：区间 [m ，n ]的长度等于n m -．若区间[m ，n ]长度的最小值为5 6 ，则实数a 的值为 6 提示：令log 1a x =，则x a =，或1a ．显然 111a a ->-，所以15 16 a -=，即6a =． 预测2：函数最值的定义问题 教材例题：已知函数)(x f y =的定义域是[]b a ,，b c a <<，当[]c a x ,∈时，)(x f 是单调增函数；当[]b c x ,∈时，)(x f 是单调减函数.试证明)(x f 在c x =取得最大值. 2 两个和最值定义有关的试题： 预测2-1：已知定义在R 上的函数)3()(2 -=ax x x f ，若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ， 0=x 处取得最大值，则正数a 的范围 . 6 (0,]5 局部缩小策略，可通过不等式)0()2(f f ≤将a 的取值范围进行缩小 预测2-2：已知)(x f 是二次函数，且方程03)(=+x x f 的根是0和1，若函数图像开口向下，求证：)(x f 的最大值非负 由题易知：0)0(=f ,又因为)(x f 的图像开口向下，所以0)0()(max =≥f x f 预测3：反函数问题 预测题3-1：已知点P 在曲线x y ln =上运动，点Q 在曲线x e y =上运动，则PQ 的最小值为______ 变式： 预测题3-2：已知1>a ，若函数4)(-+=x a x f x 的零点为m ，函数 4log )(-+=x x x g a 的零点为n ，则 n m 4 1+的取值范围是__________ ?? ????+∞,49 提示：令,0)(=m f 则m a m -=4，从而m m a =-)4(log ，变形得04)4()4(log =--+-m m a ，即0)4(=-m g ，而函数)(x g 在()+∞,0上单调递增， 所以n m =-4，即4=+n m ，且0,0>>n m ，则 m m 41+=,4 9454141)(41≥??? ?? ++=??? ??+?+n m m n m m n m 当且仅当n m =2时等号成立． 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 数学 亲爱的2019届平冈学子： ?恭喜你进入平冈中学！你们是高中生了,做好了充分的准备吗?其实学好高中数学并不难，你只要有坚韧不拔的毅力，认真做题,善于总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。 从2016年开始，广东省高考数学试题使用全国I卷，纵观今年高考数学试题，我们发现它最大的特点就是区分度特别大,选拔性很明显,难度相比以前广东自主命题难度大大提升。打铁还需自身硬，因此，让自己变强大才是硬道理。假期发给你们的这本小册子,是为了使你们在初高中数学学习上形成较好的连续性,能有效地克服知识和方法上的跳跃,利于激发你们学习数学的兴趣。你们一定要利用好暑假，做好充分的准备工作。 这里给大家几个学数学的建议： １、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。记录本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题,以便今后将其补上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来,以防再犯。争取做到:找错、析错、改错、防错。达到:能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 ３、熟记一些数学规律和数学小结论,使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。 ４、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”,如表格化,使知识结构一目了然;经常对习题进行类化,由一例到一类,由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座,多做数学课外题,加大自学力度,拓展自己的知识面。 6、及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆,进行适当的反复巩固,消灭前学后忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如:①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识,数学思想方法是什么,为什么要这样想,是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位,而不是一味地去追求速度或技巧,这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接呼应版块 １.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容， 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下;左、右平移，两个函数关于原点,轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式,初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8.几何部分很多概念（如重心、垂心等)和定理(如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习,而高中都要涉及。 ９．角度问题,三角函数问题。在初中只涉及360°范围内的角，而高中是任意角。三角函数在初中也只是锐角三角函数，高中是任意角三角函数，定义的范围大大不同。同时,度量角也引进了弧度制这个新的度量办法。 10．高中阶段特别注重数学思维,数学思想方法的培养。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化,不利于高中知识的讲授。 高中数学基本不等式的巧用 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是22 ?? ??a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 两个变形 (1)a 2＋b 22≥? ?? ??a ＋b 22≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； a ＋b 这两个不等式链用处很大，注意掌握它们． 三个注意 (1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+ 的单调性。例：求函数224y x =+的值域。 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33 y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数(1)y x x = -.；3．203 x <<，求函数(23)y x x =-. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 第一章集合与常用逻辑用语 第四节充分条件和必要条件 一、充分条件和必要条件 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 二、充分条件、必要条件的常用判断法 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 3.集合法 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则： 若A?B，则p是q的充分条件。 若A?B，则p是q的必要条件。 若A=B，则p是q的充要条件。 若A?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 三、知识扩展 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为： (1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。 知识点针对训练 1．选择题 1.使x>1成立的一个必要条件是( A ) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( C ) A.0 长江高中2019年高考数学备考计划 张向荣 一.背景分析 近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则。考试题不但坚持了考查全面，比例适当，布局合理的特点，也突出体现了变知识立意为能力立意这一举措。更加注重考查考生进入高校学习所需的基本素养，这些问题应引起我们在教学中的关注和重视。 1 试题题型平稳突出对主干知识的考查重视对新增内容的考查 2 充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出良好的层次性 3 重视对数学思想方法的考查 4 深化能力立意，考查考生的学习潜能 5 重视基础，以教材为本 6 重视应用题设计，考查考生数学应用意识 二、学情分析 本届学生学习态度较好，但水平差异较大，更多学生基础知识比较薄弱，遗忘率高，知识漏洞多。因此我们在复习课中加强双基训练，并注意蕴含在基础知识中的能力培养，特别是要求学生要学会把基础知识放在新情境中去分析、应用。把复习的重点放在教材 中典型例题、习题上，放在体现通性、通法的例题、习题上，放在各部分知识网络之间的内在联系上，抓好课堂教学质量以及课后辅导。 三、教学计划与要求 （一）第一轮复习第一轮复习(2018年8月到2019年3月中旬),为基础知识复习阶段。在这一阶段,重温高中阶段所学的数学知识,但这绝不只是对以前所学知识的简单重复,而是站在更高的角度,对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一高二学习时,是以知识点为主线索,依次传授讲解的,由于后面的相关知识还没有学到,不能进行纵向联系,所以,大家学到的往往是零碎的、散乱的知识点。而在第一轮复习时,主线索是知识的纵向联系与横向联系相结合,以章节为单位,将那些零碎的、散乱的知识点串联起来,并将它们系统化、综合化,侧重点在各个知识点之间的融会贯通。 所以在复习过程中1.立足课本,快速理清学过的各个知识点,加深对知识点的理解,特别是知识点交汇分析，其次要把书上的例题、习题再做一遍,很多数学高考题就是由这些题目演变而来的。有针对性的“回归”课本,夯实基础,熟练掌握解题的通性、通法,提高解题速度。2.注意所做题目知识点覆盖范围的变化,有意识地引导思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。3.明确课本从前到后的知识结构,将整个知识体系框架化、网络化。4.将常用的知识点总结起来,研究重点知识所在章节,并了解各章节在课本中的地位和作用。5.在这一阶段适当做一些高考真题,这样既可以明确 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 2019年下半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（高级中学） 注意事项： 1. 考试时间为120分钟，满分150分。 2. 请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。 1. 若函数{0,0,2sin )(<≥+=x e x x b ax x f ，在0=x 处可导，则a ，b 的值是（ ） 。 A. a=2, b=l B. a=l, b=2 C. a= -2, b=l D. a=2, b= -l 2. 若函数()?????=≠=0 ,00,1sin x x x x x f n 的一阶导函数在0=x 处连续，则正整数n 的取值范围是（ ）。 A. 3≥n B. 2=n C. 1=n D. 0=n 3. 已知点)121(1-，，M ，)031(2，，M ，若平面1∏过点1M 且垂直于21M M , 则平面2∏： 018186=-++z y x 与平面1∏之间的夹角是（ ） 。 A. 6π B. 4π C. 3 π D. 2π 4. 若向量a , b , c 满足a + b + c = 0,那么a × b =（ ）。 A. b × a B. c × b C. b × c D. a × c 5. 设n 阶方阵M 的秩n r M r <=)(，则M 的n 个行向量中（ ）。 A. 任意一个行向量均可由其他r 个行向量线性表示 B. 任意r 个行向量均可组成极大线性无关组 C. 任意r 个行向量均线性无关 D. 必有r 个行向量线性无关 6. 下列变换中关于直线x y =的反射变换是（ ）。 A. ???? ??-=10011M B. ??? ? ??-=θθθθcos sin sin cos 2M C. ???? ??=01103M D. ??? ? ??-=10014M 第二讲 解不等式（一） 一、知识梳理 （一）考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。 （二）复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1} 2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－ 23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ，，解得?????-=-=121b a ，或???-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???，， ． 三、典型例题 例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+2 1 解：原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时； 当11+>-x x 解一：原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 必修第一册第三章函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A}叫做函数的值域。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 （1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数； ②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 （2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。 （3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 3．常用的函数表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； （3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。 4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 绝密★启用前 E M C B N 2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国3卷） 数 学（理） 本试卷满分150分，考试时间120分钟 选择题部分（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，共60分 1. （2019全国3卷理1）已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 21B x x =≤，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 2. （2019全国3卷理2）若()12z i i +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i + 3. （2019全国3卷理3）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中 国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 4. （2019全国3卷理4）()()4 2121x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 5. （2019全国3卷理5）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+， 则3a =（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 6. （2019全国3卷理6）已知曲线ln x y ae x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．a e =，1b =- B ．a e =，1b = C ．1a e -=，1b = D ．1a e -=，1b =- 7. （2019全国3卷理7）函数3 222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为（ ） 8. （2019全国3卷理8）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD △为正方形， 平面ECD ABCD ⊥平面，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线 D C B A 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为高中数学不等式练习题
2019年高考全国1卷理科数学试题
(完整版)高中数学不等式归纳讲解
2019届高中数学必修1教材必考基本知识点归纳
高中数学解不等式方法+练习题
2019初高中数学衔接知识点及习题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题00294
高中数学不等式知识点总结
【新教材】人教A版(2019)1.4充分条件与必要条件-高中数学必修第一册知识点课时训练
2019年高考数学备考计划
高中数学不等式练习题(供参考)
2019年下半年教资考试高中数学真题及答案
高中数学解不等式解答
第三章 函数的概念与性质-天津市蓟州区擂鼓台中学人教版(2019)高中数学必修第一册知识点
(完整)高中数学一元二次不等式练习题
高中数学2019全国3卷理
(完整)高中数学不等式习题及详细答案