高数2试题及答案(1)

模拟试卷一

一、单项选择题（每题3分，共24分）

1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1

1

1231:

-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上

（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1

123lim

0xy xy y x （ ）

（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞

3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x

y z

???2在区域D 内连续是这两个二阶混合

偏导数在D 内相等的（ ）条件.

（A ）必要条件 （B ）充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设

??≤+=a

y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）

（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知

()()2

y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）

（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1

6、曲线积分=++?L z y x ds

2

22（ ），其中.1

10:222???==++z z y x L

（A ）

5

π （B ）52π （C ）53π （D ）54π

7、数项级数

∑∞

=1

n n

a

发散，则级数

∑∞

=1

n n

ka

（k 为常数）（ ）

（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散

（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）

（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2

（C ）22

1C x C y += （D ）C x y +=

2

2

1 二、填空题（每空4分，共20分）

1、设xy

e

z sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：

?

?-2

2

2

x

y dy e dx = 。

3、设L 是任意一条光滑的闭曲线，则?

+L

dy x xydx 22= 。

4、设幂级数

n

n n

x a

∑∞

=0

的收敛半径为3，则幂级数()

1

1

1+∞

=-∑n n n x na 的收敛区域为 。

5、若()()0,,=+dy y x N dx y x M 是全微分方程，则函数N M 、应满足 。

三、计算题（每题8分，共40分）

1、求函数()

2ln y x z +=的一阶和二阶偏导数。 2、计算??D xyd σ，其中D 是由抛物线x y

=2

即直线2-=x y 所围成的闭区域。

3、计算

()()?-+++-L

dy x y dx y x ,63542其中L 为三顶点分别为()()()23030,0，、，、

的三角形正向边界。

4、将x arctan 展开成x 的幂级数。

5、求微分方程()()

01=++-+dy x e dx y x y 的通解。

四：应用题 （16分）

求由旋转抛物面22y x z +=和平面2

a z =所围成的空间区域Ω的体积。

模拟试卷二

―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1. 点)5,3,4(-到Ox 轴的距离d ＝( )． (A) 2225)3(4+-+ (B) 225)3(+- (C) 224)3(+- (D) 2254+

2. 下列方程中所示曲面是单叶旋转双曲面的是（ ）. （A ）1222=++z y x （B ）z y x 422=+

（C ）142

22

=+-z y x （D ）116

9222-=-+z y x 3. 二元函数2

2221

arcsin 4ln

y

x y x z +++=的定义域是( ). （A ）4122≤+≤y x ； （B ）4122≤+

,,lim

（B ）))

((x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim

（C ）))((x y x f y x x f x ?-?+→?,,lim

000

（D ）))

((x

y x f y x x f x ?-?+→?,,lim 000

5. 已知二重积分??=D

dxdy 1，则围成区域Ｄ的是（ ）

． (A) 21||=

x ，3

1

||=y (B) x 轴，y 轴及022=-+y x (C) x 轴，2=x 及x y = (D) 1=+y x ，1=-y x 6. 设??+=D

dxdy y x

I )(22

，其中D 由222a y x =+所围成，则I =( ).

(A) 4

2

20a rdr a d a

πθπ

=??

(B) 40

220

2

1

a rdr r d a

πθπ

=

???

(C)

30

220

3

2

a dr r d a

πθπ

=

??

(D) 402202a adr a d a πθπ=???

7. 若L 是上半椭圆?

??==,sin ,

cos t b y t a x 取顺时针方向,则?-L xdy ydx 的值为( ).

(A)0 (B)

ab 2

π

(C)ab π (D)ab π

8. 设a 为非零常数,则当( )时,级数

∑∞

=1

n n r a

收敛 . (A) ||||a r > (B) ||||a r > (C) 1||≤r (D)1||>r

9. 0lim =∞

→n n u 是级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的( )条件.

(A)充分 (B)必要 (C)充分且必要 (D)既非充分又非必要 10. 微分方程 0=+''y y 的通解为__________. (A) c x y +=cos (B) 21cos c x c y += (C) x c c y sin 21+= (D) x c x c y sin cos 21+=

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点)5,3,2(--A ,)2,3,1(-B 的及它的对角线的交点

)7,1,4(-E ，则顶点的坐标D 为_________

２. 设k j i a

23--=， k j i b -+=2，则b a ? = ____

3. 设,arctan x y z = 则 =???y

x z

2________

4. 若正项级数

∑∞

=1

n n

u

的后项与前项之比值的极限等于ρ，则当________时，级数必收敛．

5. 幂级数 +???++?+)2(424222n x x x n

的收敛区间是 ．

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 求函数 )(3),(2

233y x y x y x f +-+= 的极值点，并求极值.

2. 计算 dxdy e x y

D

2

2-??，其中D 是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域.

３. 计算

?Γ

++ds z y x 2221，其中Γ为曲线：t e x t cos =，t e y t

sin =，t e z = )20(≤≤t ． 4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数： +-++++-1

2531

253n x x x x n . 5. 求微分方程满足已给初始条件的特解： y x e y -=2'，0|0==x y .

四、应用题与证明题 （第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 求球面)0(2222>=++a a z y x 被平面4a z =与2

a

z =所夹部分的面积。

2. 证明曲面)0(>=m m xyz 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数.

模拟试卷三

――――――――――――――――――――――――――――――――――

注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分）

一、单项选择题（每小题2分，共20分）

1. 若→

a ，→

b 为共线的单位向量，则它们的数量积 =?→

→b a （ ）. （A ） 1 （B ）-1 （C ） 0 （D ）),cos(→

→b a 2. 设平面方程为0=++D Cz Bx ，且0,,≠D C B ， 则平面（ ）. （A ）平行于x 轴 （B ）垂直于x 轴 （C ）平行于y 轴 （D ）垂直于y 轴

3. 设),(y x f ??

???=+≠+++=0,00,1sin )(222

22

222y x y x y x y x ,则在原点)0,0(处),(y x f ( ).

(A) 不连续 (B) 偏导数不存在 (C)连续但不可微 (D)可微 4. 二元函数3

3

)(3y x y x z --+=的极值点是( ).

(A) (1,2) (B) (1，-2) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)

5. 设D 为122≤+y x , 则 ??

--D

dxdy y

x 2

2

11=（ ）.

(A) 0 (B) π (C) π2 (D) π4

6. ?

?-x

dy y x f dx 10

10

),(=( )

(A)

??

-1

010

),(dx y x f dy x

(B)?

?-x

dx y x f dy 10

1

),(

(C)

??

-y

dx y x f dy 10

1

),( (D) ??1

1

),(dx y x f dy

7. 若L 是上半椭圆??

?==,

sin ,

cos t b y t a x 取顺时针方向,则?-L

xdy ydx 的值为( ).

(A) 0 (B)ab 2

π

(C)ab π (D) ab π

8. 下列级数中,收敛的是( ).

(A) 11)45(-∞

=∑n n (B) 11)54(-∞=∑n n (C) 1

11)45()1(-∞=-∑-n n n (D) ∑∞

=-+11)544

5(n n

9. 若幂级数

∑∞

=0

n n

n x

a 的收敛半径为1R ：+∞<<10R ，幂级数

∑∞

=0

n n

n x

b 的收敛半径为2R ：

+∞<<20R ，则幂级数∑∞

=+0

)(n n n n x b a 的收敛半径至少为( )

(A)21R R + (B)21R R ? (C){}21,max R R (D){}21,min R R 10. 方程y y x y x ++=

'22是( ).

(A)齐次方程 (B)一阶线性方程 (C)伯努利方程 (D)可分离变量方程

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 平行四边形二边为向量}1,3,1{-=→

a ，}3,1,2{-=→

b ，则其面积S = . 2. 通过点)1,0,3(-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程为 ． 3. 设 y x z tan

ln =，则

=??y

z

_________． 4. 曲线2,1,1t z t

t y t t x =+=+=

在对应于1=t 的点处切线方程为______________；

5. 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,

则有

?+L

Qdy Pdx ________________；

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 设)ln(xy x z =, 求 2

3y

x z

??? ． 2. 求

??+D

y x d e σ, 其中 D 是由 1≤+y x 所确定的闭区域． 3. 计算

?+--L

dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周：2

2x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧． 4. 将函数

)1ln()1(x x y ++=展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间．

5. 求下列微分方程的通解：.tan cos 2

x y dx

dy

x

=-

四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 在平面xoy 上求一点,使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.

2. 求由曲面222y x z += 及 2226y x z --= 所围成的立体的体积 . 、

模拟试卷四

―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1. 向量)2,2,1(-=a

在向量)3,2,6(=b 上的投影等于（ ） (A)

74 (B) 3

4 (C)

47 (D) 4

3

2. 曲线 ??

?==+0

36

9422z y x 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程是（ ）

(A) 36944222=++z y x (B) 16994222=++z y x (C) 36494222=++z y x (D) 16499222=++z y x

3. 已知 ),(y x f =y x , 则 )1,1(x f 的值为( )

(A) ０ (B) 1 (C) 2

1

(D) 不存在

4. 若),(y x f 在),(00y x 处可微, 则),(y x f 在),(00y x 处( ) (A) 连续且偏导数存在 (B) 连续且偏导数连续

(C) 连续但偏导数不一定存在 (D) 不一定连续且偏导数不一定存在 5. 设??+=1

2

2

1D y x

dxdy e I ,??+=2

2

2

2D y x

dxdy e I ， 其中区域22,11:1≤≤-≤≤-y x D ，

20,10:2≤≤≤≤y x D ，则下列四式中正确的是（ ）

(A) 214I I > (B) 214I I = (C) 214I I < (D) 212I I = 6. 设??+=D

dxdy y x I )(22,其中D 由222a y x =+所围成，则I =( )

(A)??a d a d 0

220

ρρθπ (B) ???a

d a a d 0

220

ρθπ

(C)??a

d d 0

2

20

ρρθπ (D) ???a

d d 0

220

ρρρθπ

7. 设L 为：2=x , 2

3

0≤

≤y ， 则?L ds 4的值为( )

(A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12

8. 下列级数中,收敛的是( )

(A) ∑∞

=11

n n (B) ∑∞=13

2

1n n (C) ∑∞=11n n n (D) ∑∞

=-1)1(n n

9. 幂级数∑

∞

=1

n n n

x 的收敛区间为（ ）

(A) )1,1(- (B) ]1,1[- (C) ]1,1(- (D) )1,1[-

10. 下列方程可分离变量的是（ ）

(A) 0)sin(=+dy e dx xy y (B) 02=++dy y dx xe y x (C) 0)1(2=++dy y dx xy (D) 0)(=+++dy e dx y x y x

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 通过曲线 ?????=-+=++0

16

22

22222y z x z y x ，且母线平行于y 轴的柱面方程是 . 2. 经过点)1,0,1(-且平行于向量}1,1,2{-=v

的直线方程是 .

3. xy xy y x 1

1lim

0+-→→= .

4. 将二次积分?

?x x y d y x f x d 2

),(2

改换积分次序应为_____________ .

5. 设∑∞

=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 都是正项级数，且∑∞

=1

n n u 收敛，则当,,2,1 =n 都有 时，

∑∞

=1

n n

v

也一定收敛.

三、设函数 y x y x z 22+= ，求

2

12==???y x y x z

. （10分）

四、 计算二重积分??-+D

d x y x σ)(22，其中D 是由直线x y =、x y 2=及2=x 所

围成的闭区域. （10分）

五、计算曲线积分?

++-L

dy y x dx x y )23()2(2

3， 其中L 是由抛物线2x y = 和

x y =2 所围成的区域的正向边界曲线. （10分）

六、. 求幂级数 11+∞

=∑n n x n 的和函数. （10分）

七、求下列微分方程的通解: 0)2(22=-+y d y x dx y x . （10分）

八、应用题 （15分）

求旋转抛物面22y x z +=被平面a z =)0(>a 所截得的有限部分的面积.

模拟试卷五

―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每小题2分，10小题，共20分）

1.b a b a

-<+充分必要条件是（ ）

(A) a ×0=b

(B) 0=?b a (C) 0>?b a (D) 0

6π (B) 3π (C) 4π (D) 2

π 3. 若1),(=b a f y ，则 ))((y

y b a f y b a f y ??--?+→?,,lim

=( )

(A) 2 (B) 1 (C) 4 (D) 0 4. 若),(00y x f x 和),(00y x f y 都存在,则),(y x f 在),(00y x 处( ) (A) 连续且可微 (B) 连续但不一定可微 (C) 可微但不一定连续 (D) 不一定连续 且不一定可微 5. 下列不等式正确的是（ ） (A)

0)(331

2

2

>+??

≤+σd y x y x (B)

0)(221

22

>+??

≤+σd y x y x (C)

0)(1

22>+??

≤+σd y x y x (D)

0)(1

22>-??

≤+σd y x y x

6.

?

?-x

dy y x f dx 10

10

),(=( )

(A)

??

-1

010

),(x d y x f dy x (B)??-x

x d y x f dy 10

10),(

(C)?

?-y x d y x f dy 10

1

),( (D) ??1

10),(x d y x f dy

7. 设区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，A 为区域D 的面积，则（ ） (A) ?-=L xdy ydx A 21 (B) ?-=L ydx xdy A 21

(C) ?+=

L ydx xdy A 21

(D) ?-=L

ydx xdy A 8. 设∑∞

=1

n n a 是正项级数，前n 项和为∑==n

k k n a s 1

，则数列{}n s 有界是∑∞

=1

n n a 收敛的（ ）

(A) 充分条件 (B) 必要条件

(C) 充分必要条件 (D)既非充分条件，也非必要条件 9. 以下级数中，条件收敛的级数是（ ）

(A) 102)1(1+-∑∞

=n n

N N

(B) ∑∞

=--1311)1(n n n

(C) ∑∞

=+-1

1

)21()

1(n n n (D) n n n 3

)1(1

1

∑∞

=-- 10. 下列方程为线性微分方程的是（ ）

(A) x e y x y +=')(sin (B) x e y x y +='sin (C) y e x y +='sin (D) 1cos +='y y x

二、填空题（每小题3分，5小题，共15分）

1. 曲线???=+-=--+010

2222z y y z x 在xoy 平面上的投影方程是 ____ ___ .

2. 经过点)1,0,2(-且垂直于直线 4

3

1111-=-+=-z y x 的平面方程是 .

3. 2222

02)

sin(lim x y x y x →→ = _ . 4. 设区域D 是由x 轴及半圆周222a y x =+)0(≥y 所围成的闭区域，将二重积分

??+D d y x

f σ)(22

化为极坐标形式的二次积分应为____________ .

5. 设∑∞=1

n n u 、∑∞

=1

n n v 都是正项级数，且∑∞

=1

n n u 发散，则当,,2,1 =n 都有 时，

∑∞

=1

n n

v

也一定发散.

三、设函数 y

x e z =， 求

1

22==???y x y

x z

. （10分）

四、计算二重积分??+D

y x d e

σ2

2，其中D 是圆环形闭区域}41|),{(22≤+≤y x y x .

（10分）

五、 计算?

-+-L

dy xy y dx xy x ,)2()(2

32其中L 是三个顶点分别为 )0,0(、)

0,2(和)2,2(的三角形区域的正向边界. （10分）

六、求幂级数 ∑

∞

=122n n

n

x 的和函数. （10分）

七、求下列微分方程的通解: 0sin )sin cos (=+-y d x

y

x x d x y y x y x . （10分）

八、应用题 （15分）

计算半球面222y x a z --= 被围在柱面ax y x =+22内的部分曲面的面积.

参考答案（模拟试卷一）

――――――――――――――――――――――――――――――――――

一：单项选择题 （每小题3分，共24分）

1、D ；

2、B ；

3、B ；

4、A ；

5、C ；

6、C ；

7、B ；

8、C.

二、填空题（每空4分，共20分）

1、()xdy ydx xy e xy +cos sin ；

2、

?

?-2

2

y

y dx dy e ；3、0；4、()4,2-；5、

x

N

y M ??=??. 三、计算题（每题8分，共40分）

1、解：;2;12

2y

x y

z y x z y x +='+=

' ……2分

()

(

)()

()

;2;

2;1

2

22

22

2

2

y x y

z z y x y x z y x z yx xy yy

xx +-=

''=''+-=''+-=

'' ……6分

2、解：画出积分区域 ……1分

?

???-+=2

1

2

2y y

D

xydx dy xyd σ ……4分

=()[]

8

55221215

2=-+?-dy y y y ……3分

3、解：如图，因为()()635,,42,-+=+-=x y y x Q y x y x P ……1分

∵

3,1=??-=??x Q y P

，则4=??-??y

P

x Q ……2分

由格林公式得：

()()?-+++-L

dy x y dx y x 63542

=124==???? ????-??????dxdy dxdy y P x Q D

D ……5分

4、解：?+=

x

x dx

x 021arctan ……2分

=

()

()?∑∑?∞

=∞

=-=-x n n x

n n

x

n

dx x dx x 00

2211 ……3分

=()

[]1,11210

1

2-∈+-∑∞

=+x n x n n n

……3分

5、解：原方程即为 ()()01=+-++dy e dx x xdy ydx y ……2分 即 ()()012

1

2=+-+y de x d xy d ……2分 ()0121

2=??

????+-+y e x xy d ……2分 原方程的通解为 ()C e x xy y =+-+

212

1

……2分 四、应用题（16分）

解一：用二重积分计算。所求体积可视为圆柱体：22220,a z a y x ≤≤≤+的体积与以曲面2

2

y x z +=为顶、以xy D 为底的曲顶柱体体积之差，其体积为 ……8分

()

????=

-=+-?=ππ

θππ20

4

3422222

a

D a dr r d a dxdy

y x a a V xy

……8分

解二：用三重积分计算。利用柱面坐标，有 ……4分

()

???????=

-===Ω

a

a

a r

a dr r r a dz

rdr d dV V 0

4

3220

2

22

2π

πθπ …12分

答案（模拟试卷二）

――――――――――――――――――――――――――――――――――

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. (9，-5，12)

2. k j i

75++ 3.

2

222

2)(y x x y +- 4. 1<ρ 5. ),(+∞-∞

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 求函数 )(3),(2233y x y x y x f +-+= 的极值点，并求极值. 解：∵y y y x f x x y x f y x 63),(,63),(2

2

-='

-='

令???====??????='='2,02,00),(0),(21

2

1y y x x y x f y x f y x

∴驻点为：)0,0(，)2,0(，)0,2(，)2,2( ……………………………4分 又∵66,0,66-="

="-="y f f x f yy xy xx ……………………………6分 （1）对于驻点)0,0(有6,0,6-==-=C B A ，0362

>=-=?B AC 且0

∴0)0,0(=f 为极大值 ……………………………7分 （2）对于驻点)2,0(有6,0,6==-=C B A ，0362

<-=-=?B AC

∴)2,0(f 不是极值 ……………………………8分 （3）对于驻点)0,2(有6,0,6-===C B A ，0362

<-=-=?B AC

∴)0,2(f 不是极值 ……………………………9分 （4）对于驻点)2,2(有6,0,6===C B A ，0362

>=-=?B AC 且0>A

∴8)2,2(-=f 为极小值 ……………………………10分

2. 计算

dxdy e x y

D

2

2-??，其中D 是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点是三角形区域. 解：

dxdy e

x y D

2

2

-??=dy dx e x y

y ][0

210

2

??- ……………………………5分

=

?-10

32

31dy e y y ……………………………7分 =?--10

32

61y de y

=][6

11021

0322?----dy e e

y y y =]1[611

2

y e

e -+- =

??

?

??-e 2161 ……………………………10分 ３. 计算

?Γ

++ds z y x 2221

，其中Γ为曲线：t e x t cos =，t e y t sin =，t e z = )20(≤≤t ． 解：原式 dt e t e t e e t e t e t

t t t t t )()sin ()cos ()

()sin ()cos (12

2

22'+'+'++=

?

………3分 dt e t

?-=20

23 ……………………………8分

=

)1(2

3

2--e ……………………………10分 4. 利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:

+-++++-1

2531

253n x x x x n . 解：∵1,11

12

242<-=

+++++x x x x x n

……………………………3分

∴ +-++++-12531

253n x x x x n =dx x

x ?-0211 ……………………………6分

=

]11

11[2100dx x

dx x x x ??++- =

)11(11ln 21<<--+x x

x …………………………10分

5. 求微分方程满足已给初始条件的特解：

y x e y -=2'，0|0==x y . 解：∵

y x e e dx

dy

-=2 ∴dx e dy e x y 2= ……………………………3分 两边积分得：C e e x

y

+=22

1 ……………………………7分 又∵0|0==x y

∴2

1

=

C ……………………………9分 ∴特解为：()

12

12+=x y

e e ……………………………10分

四、应用题与证明题 （第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 求球面)0(2222>=++a a z y x 被平面4a z =

与2a

z =所夹部分的面积。 解：∵222y x a z --=且}16

1543),({22

22a y x a y x D ≤

+≤= ……………2分 ∴所求的面积为：??

'+'+=

D

y x dxdy z z S 22

)()(1 ………………………4分

=dxdy y

x a a

D

??

--2

2

2

1 ………………………8分

=θ

ρρ

ρ

d d a a

D ??

-2

2 ………………………9分

=?

?

-a a d d a a

415

2

32

2

20

][θρρ

ρ

π

=

2

2

1a π ………………………13分 2. 证明曲面)0(>=m m xyz 上任一点处切平面与三个坐标面所围成四面体的体积为常数. 解：曲面m xyz =上任一点),(00y x P 处的法向量为：),,(000000y x z x z y n =→

……3分 ∴),(00y x P 处的切平面方程为：0)()()(000000000=-+-+-z z y x y y z x x x z y 即：

13330

00=++z z y y x x 且有m z y x =000 ………………………9分 ∴所围立体的体积为：

2

9

=V 000z y x =m 29 ………………………12分

答案（模拟试卷三）

――――――――――――――――――――――――――――――――――

二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 103

2. 04573=-+-z y x

3. y

x

y x 2c s c 22

-

4.

8

142121

-=--=-

z y x 5. ????-??D

dxdy y

P

x Q )(

三、计算题（每小题10分，共50分）

1. 设)ln(xy x z =, 求 2

3y x z

??? ．

解：∵

1ln +=??xy x

z

……………………………3分 ∴y

y x z 12=??? ……………………………6分 ∴2

221y

y x z -=??? ……………………………10分 2. 求??+D

y x d e σ, 其中 D 是由 1≤+y x 所确定的闭区域． 解：

??+D

y

x d e

σ=dxdy e dxdy e D y x D y x ????+++2

1

……………………………1分

=dx dy e e dx dy e e x

x y x x x y x ][][10

110

11

1

????

---+--+ ……………………………7分

=

dx e e dx e e x x )()(10

120

1

112??

---+-+- ……………………………9分

=1

--e e ……………………………10分

3. 计算

?+--L

dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周：2

2x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧．

解：设L 的参数方程为：2,sin 1cos π

π到从t t

y t x ???=+= ……………………………2分

∴?+--L

dy y x dx y x

)sin ()(22

={}

dt t t t t t t ??++--?-+2

22

cos )](sin sin )cos 1[()sin (]sin )

cos 1[(π

π …………6分

=

?

++++π

π

2

22)](sin sin cos cos _2cos cos sin 2sin [sin dt t t t t t t t t

=2sin 4

1

67+-

……………………………10分 4. 将函数

)1ln()1(x x y ++=展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间．

解：∵11,1

)1(3211)1ln(

1

32≤<-++-+++-+=++='+x n x x x x x y n n …………4分 ∴

)1ln()1(x x y ++=

= +++-+++-++)

2)(1()1(12622432n n x x x x x n n

=∑∞

=+-+-+11

1)

1()1(n n n x n n x ，)11(≤<-x ………………………10分

5. 求下列微分方程的通解：.tan cos 2

x y dx

dy

x

=- 解：∵x x y x y 22sec tan sec ?=?-'

∴x x x Q x x P 22sec tan )(,sec )(?=-= ……………………………2分

∴])([)()(C dx e x Q e y dx

x P dx x P +??=?

- ……………………………3分

=]sec tan [22

sec 2sec

C dx e x x e xdx

xdx

+?

??

-?

=]sec tan [tan 2

tan C dx e x x e x

x

+?-? ……………………………6分

=]tan tan [tan tan C x d e

x e

x

x

+?-?

=]tan [tan tan C xde

e

x

x

+--? ……………………………8分

=]tan [tan tan tan tan C x d e

e x e

x

x x

+-?---?

=1tan tan --=x ce y x ……………………………10分

四、应用题（第1小题13分，第2小题12分，共25分）

1. 在平面xoy 上求一点,使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.

解：设所求的点为),(y x P ，则依据题意有：

5

)162(2

2

2

2

-+++==y x y x d S ，),(R y R x ∈∈ ……………………………5分

∵???

????=-++='=-++='

)162(5420)162(5

22y x y S y x x S y x ……………………………9分

∴驻点为)5

16

,

58( ……………………………11分 由此题的实际意义可知，唯一的驻点一定是极小值点，也一定是最小值点。 ∴所求的点为)5

16

,

58(P ……………………………13分 2. 求由曲面222y x z += 及 2226y x z --= 所围成的立体的体积 .

解：∵{}

2),(2622

22

22

2≤+=??????--=+=y x y x D y

x z y x z ……………………………2分 ∴??+---=D

dxdy y x y x V )]2()26[(2

222 ……………………………6分 =

??--D

dxdy y x )336(22 =??--D dxdy y x

)2(322

=??-D

d d θρρρ)2(32 ……………………………9分 =??

-π

θρρρ202

2)2([3d d

=?

πθ20

3

d =π6 ……………………………12分

模拟试卷四

――――――――――――――――――――――――――――――――――