高中数学选修2-2导学案
高二数学导学案
§1.1.1
函数的平均变化率导学案
【学习要求】
1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率．
3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．
【学法指导】
从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.
【知识要点】
1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x
x f x x f ?-?+)
()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间
的 ．
2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy
Δx ＝__________
表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 .
【问题探究】
在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究
这个问题．
探究点一 函数的平均变化率
问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？
例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则：
（1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率
例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：
（1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]．
跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
时的平均变化率．
问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？
探究点三 平均变化率的应用
例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
【当堂检测】
1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________
2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________ 3．甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．
【课堂小结】
1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢． 2．求函数f (x )的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； （2）计算平均变化率Δy Δx ＝1
2
12)
()(x
x x f x f --.
【拓展提高】
1．设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ）
A ．0()f x x +?
B ．0()f x x +?
C ．0()f x x ?
D ．00()()f x x f x +?- 2．质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ）
A ．6t +?
B ．9
6t t
+?+? C ．3t +? D ．9t +?
【教学反思】
高二数学导学案
瞬时速度与导数导学案
【学习要求】
1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义．
2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率． 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法． 4．理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．
【学法指导】
导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可以从物理意义，几何意义多角度理解导数.
【知识要点】
1．瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 ．
设物体运动路程与时间的关系是s ＝s (t )，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率
t t s t t s ?-?+)()(00，当Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝__________________
2．瞬时变化率：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0
Δy
Δx
＝_________________. 3．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x 0处的瞬时变化率是_________________，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记为 ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝________________ 4．导函数：如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b ) ．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '，于是在区间(a ，b )内，)(x f '构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的 ．
记为 或y ′(或y ′x )．导函数通常简称为
【问题探究】
探究点一 瞬时速度
问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？ 问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
例1 火箭竖直向上发射．熄火时向上速度达到100 s m /.试问熄火后多长时间火箭向上速度为0? 问题4 火箭向上速度变为0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？
跟踪训练1 质点M 按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s )．若质点M 在t ＝2时的瞬时速度为8s m /，求常数a 的值．
探究点二 导 数
问题1 从平均速度当Δt →0时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？
例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)． 探究点三 导数的实际应用
例3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后铁板会膨胀．当温度为C t 0
时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率．
跟踪训练3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h
时，原油的温度(单位：C 0
)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时
变化率，并说明它们的意义．
【当堂检测】
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于0
2．一物体的运动方程是s ＝1
2
at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( )
A ．at 0
B ．－at 0
C ．1
2at 0 D ．2at 0
3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝3
2处的瞬时变化率是 ( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
4．已知函数f (x )＝1
x ，则)1(f '＝________
【课堂小结】1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极限值． 2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； （2）求平均变化率Δy
Δx ；
（2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy Δx
. 【拓展提高】
1．()()()为则设h
f h f f h 233lim
,430
--='→（ ）
A ．－１
B ．－2
C ．－3
D ．1
2．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为234
1644
1t t t s +-=
,则速度为零的时刻是 （ ） A ．4s 末 B ．8s 末 C ．0s 与8s 末 D ．0s ,4s ,8s 末
【教学反思】
高二数学导学案
导数的几何意义导学案
【学习要求】1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．会求导函数．3．根据导数的几何意
义，会求曲线上某点处的切线方程．【学法指导】前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想，本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思想，并进一步体会另一种重要思想——以直代曲.
【知识要点】1．导数的几何意义
（1）割线斜率与切线斜率
设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx )) 的一条割线，此割线的斜率是Δy
Δx
＝__________________.
当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋向于在点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ ＝___________________. （2）导数的几何意义
函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为_______________________． 2．函数的导数
当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，则当x 变化时，)(x f '是x 的一个函数，称)(x f '是f (x )的导函数(简称导数)．)(x f '也记作y ′，即)(x f '＝y ′＝_______________
【问题探究】探究点一 导数的几何意义
问题1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？
问题2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？
例1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图象．根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况． 跟踪训练1 （1）根据例1的图象，描述函数h (t )在t 3和t 4附近增(减)以及增(减)快慢的情况．
（2）若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是 ( )
探究点二 求切线的方程
问题1 怎样求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？
问题2 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？ 例2 已知曲线y ＝x 2，求：
（1）曲线在点P (1,1)处的切线方程； （2）曲线过点P (3,5)的切线方程．
跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? （2）曲线过点P (3,9)的切线方程．
【当堂检测】
1．已知曲线f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为 ( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2
2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为_______
【课堂小结】1．导数
f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.
【拓展提高】1．已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122
y x =+，则
(1)(1)f f '+=
2．设P 为曲线C ：2
23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π??????
，，则点P
横坐标的取值范围为
高二数学导学案
导数公式表及应用导学案
【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1
x 的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式
函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．
2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．
【知识要点】
1
2
【问题探究】探究点一
求导函数
问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？ 问题2 利用定义求下列常用函数的导数：
（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1
x ； （5）y ＝x .
问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？
例1 求下列函数的导数：
（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x
3； （4）y ＝4
x 3； （5）y ＝log 3x .
跟踪训练1 求下列函数的导数：
（1）y ＝x 8； （2）y ＝(1
2
)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 3
1log =
探究点二 求某一点处的导数 例2 判断下列计算是否正确．
求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′????π3＝????cos π3′＝－sin π3＝－3
2.
跟踪训练2 求函数f (x )＝13
x
在x ＝1处的导数．
探究点三 导数公式的综合应用
例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．
跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．
【当堂检测】
1．给出下列结论：
①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x
2，则y ′＝－2x －
3；④若f (x )＝3x ，
则f ′(1)＝3.
其中正确的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( ) A ．
3
6
B ．0
C ．12x
D ．3
2
3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是
( ) A ．[0，π4]∪[3π
4
，π)
B ．[0，π)
C ．[π4，3π
4
]
D ．[0，π4]∪[π2，3π
4
]
4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________
【课堂小结】
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y ＝1－2sin 2x 2 的导数．因为y ＝1－2sin 2x
2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .
3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化
高二数学导学案
导数的四则运算法则(一)
【学习要求】
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】
应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.
【知识要点】
导数的运算法则
设两个可导函数分别为f (x )和g (x )
【问题探究】
探究点一 导数的运算法则
问题1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？
问题2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？ 例1 求下列函数的导数：
（1）y ＝3x
－lg x ； （2）y ＝(x 2
＋1)(x －1)； （3）y ＝x 5＋x 7＋x 9
x
.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
（1）f (x )＝x ·tan x ； （2）f (x )＝2－2sin 2x 2； （3）f (x )＝x －1x ＋1； （4）f (x )＝sin x
1＋sin x .
探究点二 导数的应用
例2 （1）曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________
（2）在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________
（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1
t
2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体
的瞬时速度．
跟踪训练2 （1）曲线y ＝
sin x sin x ＋cos x －1
2在点M ????π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12
B.1
2
C ．－
22 D ．22
（2）设函数f (x )＝13x 3－a
2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、
c 的值．
【当堂检测】
1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )
A ．－2e x cos x
B ．－2e x sin x
C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
2．曲线f (x )＝x
x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )
A ．19
3
B ．163
C ．13
3
D ．103
4．已知f (x )＝1
3
x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______
5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．
【课堂小结】
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
【教学反思】
高二数学导学案
导数的四则运算法则(二)
【学习要求】
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．
【学法指导】
复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．
【问题探究】
探究点一复合函数的定义
问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
例1指出下列函数是怎样复合而成的：
（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.
跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：
（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x＋1)．
探究点二复合函数的导数
问题如何求复合函数的导数？
例2求下列函数的导数：
（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝
1
1－2x
；（3）y＝sin(－2x＋
π
3)；（4）y＝10
2x＋3.
跟踪训练2求下列函数的导数．
（1）y ＝ln 1
x ； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．
探究点三 导数的应用 例3 求曲线y ＝e 2x ＋1
在点(－1
2
，1)处的切线方程．
跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．
【当堂检测】
1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )
A ．2(3x －2)
B ．6x
C ．6x (3x －2)
D ．6(3x －2) 2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )
A ．sin 2x
B ．2sin x
C ．sin x cos x
D ．cos 2x 3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )
A ．2xf ′(x 2)
B ．2xf ′(x )
C ．4x 2f (x )
D ．f ′(x 2) 4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.
【课堂小结】
1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数
2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.
【拓展提高】
1 ．已知函数
2)1l n ()(x x a x f -+=在区间)1,0(内任取两个实数q p ,,且q p ≠,不等式
1)
1()1(>-+-+q
p q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围为____________
【教学反思】
高二数学导学案
利用导数判断函数的单调性
【学习要求】
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
【学法指导】
结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.
【知识要点】
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
【问题探究】
探究点一函数的单调性与导函数正负的关系
问题1观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
问题3（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1
中(4)的单调区间．
（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
例1已知导函数f′(x)的下列信息：
当1
试画出函数f(x)图象的大致形状．
跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
例2求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(e x－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2ln x. 跟踪训练2求下列函数的单调区间：
（1）f(x)＝x2－ln x；（2）f(x)＝
e x
x－2
；（3）f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π)．
探究点二函数的变化快慢与导数的关系
问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
例3如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？
()
跟踪训练3（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
（2）已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是 ( )
【当堂检测】
1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在????0，1e 上是减函数，在????1e ，6上是增函数
D ．在????0，1e 上是增函数，在????1
e ，6上是减函数 2．
f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
3．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A ．???
?0，1
a B ．???
?1
a ，＋∞ C ．(0，＋∞) D ．(0，a ) 4．（1）函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为___________
（2）函数y ＝x 3－x 的增区间为_______________________，减区间为_____________
【课堂小结】
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤为 （1）确定函数f (x )的定义域； （2）求导数f ′(x )；
（3）在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.
【拓展提高】
1．已知函数53
123
-++=
ax x x y （1）若函数的单调递减区间是)1,3(-，则a 的是 . （2）若函数在),1[+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是
2．函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2)＝2，)(x f ' >1，则不等式f (x )－x >0的解集为_______ 3．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是_______ 4．设函数f (x )＝x －1
x
－a ln x .
（1）若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，求a 的值； （2）若函数f (x )在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
【教学反思】
高二数学导学案
利用导数研究函数的极值
【学习要求】
1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法. 3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
【学法指导】
函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.
【知识要点】
1．极值的概念
已知函数y ＝f (x )，设x 0是定义域(a ，b )内任一点，如果对x 0附近的所有点x ，都有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y
极大
＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一个 ．如果都
有 ，则称函数f (x )在点x 0处取 ，记作y 极小
＝f (x 0)，并把x 0称为函数f (x )的一
个 ．极大值与极小值统称为 ． 极大值点与极小值点统称为 2．求可导函数f (x )的极值的方法 （1）求导数f ′(x )；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f ′(x )的符号如何变化． ①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x
0)是极 值． ②如果f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极 值．
③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右两侧符号不变，则f (x 0)
【问题探究】
探究点一 函数的极值与导数的关系
问题1 如图观察，函数y ＝f (x )在d 、e 、f 、g 、h 、i 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y ＝f (x )在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y ＝f (x )的导数的符号有什么规律？ 问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？ 问题3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明． 例1 求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5的极值．
跟踪训练1 求函数f (x )＝3
x
＋3ln x 的极值．
探究点二 利用函数极值确定参数的值
问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？
例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．
跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． （1）试确定常数a 和b 的值；
（2）判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．
探究点三 函数极值的综合应用 例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x R . （1）求函数f (x )的单调区间和极值；
（2）若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．
跟踪训练3 若函数f (x )＝2x 3－6x ＋k 在R 上只有一个零点，求常数k 的取值范围．
【当堂检测】
1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．下列函数存在极值的是 ( )
A ．y ＝1
x B ．y ＝x －e x C ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3 D ．y ＝x 3