2020高三数学教师用书第九章 9.7

§9.7抛物线

最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

概念方法微思考

1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线．

2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？

提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是????

a 4，0，准线方程是x ＝－a

4

.( × )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )

(4)AB 为抛物线y 2

＝2px (p >0)的过焦点F ????p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编

2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6 答案 B

解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.

3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y

解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .

4．若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A ．2 B.135 C.14

5 D ．3

答案 A

解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋

4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32

＋4

2

＝2.故选

A.

题组三 易错自纠

5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12

答案 B

解析 如图所示，

抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作P A ⊥y 轴，垂足是A ，延长P A 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.

6．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±42x

答案 D

解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p

2＝2，

所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.

7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．

答案[－1,1]

解析Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，

解得－1≤k≤1.

题型一抛物线的定义和标准方程

命题点1定义及应用

例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案 4

解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.

引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

解由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25，

即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值． 解 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.

易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋|PF |的最小值为

|1＋5|12

＋(－1)

2

＝32，

所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程

例2 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x

答案 C

解析 由题意知，F ????p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为????52，y M 2，所以圆的方程为????x －522＋????y －y M 22＝25

4，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ????5－p

2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.

思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

跟踪训练1 (1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案

5

解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，

由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，

使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为

[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.

(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为( )

A ．y 2＝32x

B ．y 2＝9x

C ．y 2＝9

2x

D ．y 2＝3x

答案 D

解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，

所以∠BCB 1＝30°. 又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6，

所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，

所以F 为线段AC 的中点．

故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝3

2，

故抛物线的标准方程为y 2＝3x . 题型二 抛物线的几何性质

例3 (1)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.

22 B. 2 C.32

2

D ．2 2 答案 C

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，

所以x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，

由?

????

y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x ， 得y 2－4ty －4＝0.

所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2，x 2＝12，

所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝32

2

.

(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝1

2|AB |，则点A 到抛物

线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.9

7 D ．2 答案 A

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12

|AB |，

∴????? 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又?????

y 2

1＝4x 1，y 2

2＝4x 2，

得x 1＝23，

则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53

.

思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

跟踪训练2 (1)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 答案 C

解析 以抛物线的顶点为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为????p 2，0，将x ＝p

2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6.因为点P 在准线上，所以点P 到AB 的距离为p ＝6，所以△P AB 的面积为1

2

×6×12＝36.

(2)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2

＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限

的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.

316 B.38 C.233 D.43

3

答案 D

解析 经过第一象限的双曲线C 2的渐近线方程为y ＝

3

3

x .抛物线C 1的焦点为F ????0，p 2，双曲线C 2的右焦点为F 2(2,0)．因为y ＝12p x 2，所以y ′＝1p x .所以抛物线C 1在点M ????x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p .因为F ????0，p 2，F 2(2,0)，M ????33

p ，p

6三点共线，所以p

2

－00－2

＝p 6－p

233p －0，解得p ＝433，故选D.

题型三 直线与抛物线

例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．

解 (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8， 又AB 的中点到x 轴的距离为3， ∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .

(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，

由????? y ＝kx ＋6，x 2＝4y

消去y 得x 2－4kx －24＝0，

∴?

????

x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24. (*)

易知抛物线在点P ????x 3，x 2

3

4处的切线方程为 y －x 23

4＝x 32

(x －x 3)，

令y ＝－1，得 x ＝x 23－42x 3，∴R ? ????x 23－4

2x 3，－1， 又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)，

∴x 2

4

4－1x 4＝－1－1x 23－4

2x 3

，

即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，

整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0， 将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，

∴直线m 的方程为y ＝±1

2

x ＋6.

思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2.

②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．

③以弦AB 为直径的圆与准线相切．

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．

跟踪训练3 (2018·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；

(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解 (1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得

x 2－2pkx －2p ＝0，Δ＝4p 2k 2＋8p >0，显然方程有两不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p . ① 由x 2＝2py 得y ′＝x p

，

则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2

p ＝－1，

则有p ＝2.

(2)设切线AN 为y ＝x 1

p x ＋b ，

又切点A 在抛物线y ＝x 2

2p

上，

∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 21

2p ，

∴y AN ＝x 1p x －x 21

2p .

同理y BN ＝x 2p x －x 22

2p .

又∵N 在y AN 和y BN 上，

∴???

y ＝x 1p x －x 212p

，

y ＝x 2

p x －x

2

2

2p ，

解得N ?

??

??

x 1＋x 22，x 1x 22p .

∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|

＝

1＋k 2

4p 2k 2＋8p ，

点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|

1＋k 2，

S △ABN ＝1

2

·|AB |·d ＝

p (pk 2＋2)3≥22p ，

∴22p ＝4，∴p ＝2， 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .

直线与圆锥曲线问题的求解策略

例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；

(2)若抛物线C 上有一点R (x R ,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；

(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 规范解答

解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1

m

y ，

∴它的焦点为F ???

?0，1

4m . [2分]

(2)∵|RF |＝y R ＋

14m

， ∴2＋14m ＝3，得m ＝1

4

. [4分]

(3)存在，联立方程?

????

y ＝mx 2

，

2x －y ＋2＝0，

消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，

依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根． [6分]

设

A (x 1，mx 21)，

B (x 2，mx 2

2)，则

???

x 1＋x 2＝2m

，

x 1

·x 2

＝－2m

. (*)

∵P 是线段AB 的中点，

∴P ? ??

??x 1＋x 22，mx 21＋mx 2

22，

即P ????1m ，y P ，∴Q ????1m ，1

m ， [8分] 得QA →

＝????x 1－1m ，mx 21

－1m ， QB →＝?

???x 2－1m ，mx 2

2－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即?

???x 1－1m ·????x 2－1m ＋????mx 21－1m ????mx 22－1m ＝0， [10分] 结合(*)式化简得－

4m 2－6

m

＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－1

2，

∵m >0，∴m ＝2.

∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；

第二步：写

出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；

第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．

1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14 B ．－1

4 C ．4 D ．－4 答案 B

解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，

解得a ＝－1

4

.

2．(2018·泰安诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →

|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C

解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ????12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →

|＝????x 1＋12＋????x 2＋12＋????x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 3．(2018·辽宁五校联考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为

3

3

的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3 D ．8 答案 C

解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵AF 的斜率为3

3

，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，

∴∠F AH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ?

???m ，m

2

4，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△F AM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12

????m

2

4＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |

＝4，∴△AHF 的面积是1

2

×4×4sin 60°＝4 3.故选C.

4．(2018·江西上高二中、丰城中学联考)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D

解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p 2，

∴p 2＋p

4

＝6，∴p ＝8.故选D. 5．已知直线l ：y ＝kx －k (k ∈R )与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →

，则实数k 等于( ) A ．±3

3 B ．±1 C ．±3 D ．±2

答案 C

解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点．当k >0时，如图所示，

过点M 作MM ′垂直于准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →

，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则

tan ∠M ′MN ＝3，∴直线l 的斜率k ＝3；当k <0时，可得直线l 的斜率k ＝－ 3.故选C. 6．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →

＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y

B ．x 2＝4y

C ．y 2＝8x

D ．y 2＝4x

答案 C

解析 由题意，设抛物线方程为y 2

＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p 2

，联立?????

y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2，

消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，

得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝????my 1＋p 2????my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，

得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .

7．(2018·新余市第一中学模拟)动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________． 答案 x 2＝8y

解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .

8．(2018·武汉质检)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是等边三角形，则△AFB 的边长为________________． 答案 8＋43或8－4 3

解析 由题意可知点A ，B 一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x

的焦点为(1,0)，由???

??

y ＝33

(x －1)，

y 2＝4x ，

化简得y 2－43y －4＝0，解得y 1＝23＋4，y 2＝23－4，

所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.

9．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 t >0或t <－3

解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以

|t ＋1|

1＋k 2

＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0

或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t

＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3.

10．(2018·唐山五校联考)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________. 答案 4

解析 设AB 的方程为x ＝my ＋p

2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，将直线AB 的方程代入抛

物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p

2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2

＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.

11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1

(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →

，求λ的值．

解 (1)直线AB 的方程是y ＝22????x －p

2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝5p

4，由抛物线定义得

|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p

4＋p ＝9，

所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，

从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →

＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．

又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2

＝8(4λ＋1)，

整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

12．(2018·贵阳模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求l 的方程；

(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．

解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，

由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4

k 2，x 1x 2＝1，

由抛物线定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4

k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，

∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．

(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1

，

∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝

4

y 2－y 1

(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，

∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，

即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，

∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．

13.(2018·益阳、湘潭质检)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，

B ，交其准线l 于点

C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )

A ．5

B ．6 C.163 D.203

答案 C 解析 方法一

如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p

2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，

所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝

23

3－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16

3.

故选C.

方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p

2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又

x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16

3

.故选C.

方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义

知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝4

3

，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝16

3

.故选C. 14.(2018·广东七校联考)如图所示，抛物线y ＝1

4x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛

物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 B

解析 由题意得，焦点F (0,1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立，

得?????

y ＝x ＋1，

y ＝14

x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，

所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则①错误； 对于②，|AB |min ＝2p ＝4，则②错误； 因为y ′＝x 2，则l AM ：y －y A ＝x A

2(x －x A )，

即y ＝12x A x －x 2A

4，l BM ：y －y B ＝x B 2(x －x B )，

即y ＝12x B x －x 2B

4

，

联立l AM 与l BM

的方程得???

y ＝12x A x －x 2A 4

，y ＝12x B

x －x

2

B

4，

解得M ?

??

??x A ＋x B 2，x A ·x B 4.

设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，

得?????

y ＝kx ＋1，y ＝14

x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，

所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4， 所以y M ＝－1，③和⑤均正确；

对于④，当AB 的斜率为1时，x M ＝2，则④错误，故选B.

15．已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ????12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________. 答案 15

解析 曲线G ：y ＝

－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C

为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 所以|AB |＋|AC |＝x 1＋12＋x 2＋1

2

＝14＋1＝15.

16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，求r 的取值范围． 解 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，

则?????

y 2

1＝4x 1，y 22＝4x 2，

两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．

当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2

＝2，