2021年大连市高等数学竞赛试卷A答案

第26届大连市数学竞赛试题（A ）参考解答：

一、 (20分)

1、1；

2、2e ；

3、(3,0);

4、2;

5、ln(1+；

6、4；

7、 π；

8、

1

2

； 9、 2； 10、 (1,5]。 二、(8分)

lim(1sin n n π→∞

+

解：因为

sin sin(2)sin

n π== （2分）

lim(1sin n

n π→∞

+

lim[1sin

n n →∞

=+

lim ln(1n n e →∞

+= （4分）

lim n n e →∞

= （6

分）

lim n e

→∞

=

4e π

=。 （8分）

三、（8分）计算0

sin(21)sin n x

dx x

π

-?的值，其中n 为正整数。 解：0sin(21)sin n n x

I dx x

π-=?

0sin 2cos cos 2sin sin nx x nx x

dx x

π-=? （2分）

00sin 2cos cos 2sin nx x dx nxdx x

ππ

=-?? 0sin(21)sin(21)2sin n x n x

dx x

π++-=? （4分）

111

22

n n I I +=+，

所以1(1,2,...)n n I I n +==，

从而1210

sin ...sin n n x

I I I I dx x

π

π+======?。

（8分） 另解：sin(21)sin(23)...sin 3sin sin sin n x n x x x x

x

---++-+

2sin cos(22)2sin cos(24)...2sin cos 2sin sin x n x x n x x x x

x

-+-+++=

2cos(22)2cos(24)...2cos 21n x n x x =-+-++， （4分）

所以，原式0[2cos(22)2cos(24)...2cos 21]n x n x x dx π

=-+-++?

0dx π

π==?。 （8分） 四、（10分）设()f x 在[0,2]上具有二阶导数，对于任何[0,2]x ∈都有

|()|1,|''()|1,f x f x ≤≤证明对(0,2)x ∈，恒有|'()|2f x ≤。

证明：利用泰勒公式将(0),(2)f f 在点x （(0,2)x ∈）展开，得到

21''()

(0)()'()(0)(0)2f f f x f x x x ξ=+-+

-， 22''()

(2)()'()(2)(2)2

f f f x f x x x ξ=+-+-，

（4分） 其中12,ξξ介于0,2之间，两式相减得

221211'()[(2)(0)][''()''()(2)]2

4

f x f f f x f x ξξ=-+-- （6分） 利用绝对值不等式得到

221211'()[|(2)||(0)|][|''()||''()|(2)]2

4

f x f f f x f x ξξ≤+++- （8分）

221

1[(2)]4x x ≤++-

21

1(2)24

x x ≤++-= （10分）

五、（8分）令(,)u x y 在单位圆22:1D x y +<内具有二阶连续偏导数，且

2222()

22x y u u e x y -+??+=??，求C u ds +???n

。（n 是D 的边界C 的单位外法向量） 解：令(cos ,cos )αβ=n ，D 的正向边界C +的切线与x 正向轴之间的夹角为θ，则 2π

θα=+，

cos sin u u u x y

αα???=+???n ， （2分）

(cos sin )C C u u u ds ds x y

αα++???=+?????n

(

sin cos )C u u

ds ds x y

θθ+

??=-??? (

)C u u

dy dx x y

+

??=-??? 2222()D

u u

dxdy x y ??=+????（由格林公式） （6分）

2

21

00d e d πρθρρ-=??

1(1)e π-=- （8分） 六、（8分）已知函数(,)f x y x y xy =++，曲线22:3C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数。

解：函数(,)f x y x y xy =++在点(,)x y 处的最大方向导数为

)=

（2分） 构造拉格朗日函数

2222(,,)(1)(1)(3)L x y y x x y xy λλ=++++++-

由''

'22

(,,)2(1)20 (1)

(,,)2(1)20 (2)(,,)30 (3)

x y L x y x x y L x y y y x L x y x y xy λλλλλλλλ?=+++=?=+++=??=++-=? (2)(1)-得 ()(2)0y x λ-+= （

6分） 若y x =,则1y x ==±,若2λ=-,则1,2x y =-=或2,1x y ==-。将这些

则(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数为3。 （8分） 七、（10分）计算曲面积分

2222S

xdydz z dxdy

x y z +++??

其中S 是由曲面222R y x =+及两平面)0(,>-==R R z R z 所围成立体表面的外侧。

解： 设1S 、2S 、3S 依次为S 的上、下底和圆柱面部分,则

??++1222S z y x xdydz 02

222=++=??S z y x xdydz

（3分） 设1S 、2S 在xOy 面上的投影区域为xy D ,则

12

222

222222222

()0xy

xy S S D D z dxdy R dxdy R dxdy x y z x y R x y R +-=-=++++++??

???? （5分） 在3S 上,032222=++??S z

y x dxdy

z .记3S 在yOz 平面上的投影区域为yz D ,则

??????+---+-=++yz

yz D D S dydz z R y R dydz z R y R z y x xdydz

222222222223 （8分） dydz z

R y R yz D ??

+-=2

2222

??--+-=R

R

R

R z R dz

dy y R 2

22

2

2 R 2

2

π=

. （10分）

八、（10分）设()f x 连续且2

'(0)3

f =,0)0(=f ，

22222()[()()]t

F t z x y f x y dxdydz Ω=+++???， 222:,01t x y t z Ω+≤≤≤， 求2

0()

lim

1cos t F t t

+→-。 解： 2

22

1222220

()[()()]x y t F t dz

z x y f x y dxdy +≤=+++???

1

2222000(())t

dz d z f d π

θρρρρ=+??? （2分）

4

20(2())6

t t f d πρρρ=+?

20()lim 1cos t F t t +

→-20

2

02())1[lim ]31cos t

t f d t ρρρπ+→=+-? 20

42())

1[lim ]13

2

t

t f d t ρρρπ+

→=+? （6分）

23

012()[lim ]32t tf t t π+→=+

2201()[lim ]3t f t t π+→=+ （8分）

2201()(0)

[lim ]3t f t f t

π+

→-=+ 12

()33

ππ=+=。 （10分）

九、（10分）设1n n u ∞

=∑的各项0n u >，{}n v 是一个正的实数列，记

11n n

n n n u v a v u ++=-，lim 0n n a a →∞=>，证明1

n n u ∞

=∑收敛。

证明：取实数0b a <<，N ?，当n N >时，11

n n

n n n u v a v b u ++=

->，即 1110n n n n n u v u v bu +++->>， （3分）

这表明当n N >时，{}n n u v 单调减少并有下界，

所以lim n n n u v →∞

存在， （6分）

由拆项相消法，知11()n n n n n N

u v u v ∞

++=-∑收敛，由比较法知

n

n N

u

∞

=∑收敛,

故1

n n u ∞

=∑收敛。 （10分）

十、（8分）设()f x 在[0,]π上连续,在(0,)π内可导且

()sin ()cos 0f x xdx f x xdx π

π

==?

?,试证存在(0,)ξπ∈内使'()0f ξ=。

证明：不妨设()f x 不恒为零。若在(0,)π内()0f x ≥，则0()sin 0f x xdx π

>?；

或()f x 在(0,)π内()0f x ≤,则 0()sin 0f x xdx π

=?矛盾，这说明()f x 在(0,)π内有正有负，从而()f x 在(0,)π内必有零点。

（3分）

下面用反证法证明, ()f x 在(0,)π内零点不唯一。设1(0,)x π∈是

()f x 的唯一零点，1(0,)x x π≠∈，则1()sin()f x x x -在(0,)π上必恒为正或

恒为负（否则()f x 必另有零点）,从而积分

10()sin()0f x x x dx π

-≠?， （5分） 但这与111000()sin()cos ()sin sin ()cos f x x x dx x f x xdx x f x xdx π

π

π

-=-???

0=

相矛盾, 从而()f x 在(0,)π内除1x 之外,必另有一零点2x ,由罗尔定理知：在函数()f x 的两个零点之间必然存在导函数的零点，即存在(0,)ξπ∈使'()0f ξ=。 （8分）