初中数学九年级培优教程整理全
初中数学九年级培优目录
第1讲二次根式的性质和运算(P2----7)
第2讲二次根式的化简与求值(P7----12)
第3讲一元二次方程的解法(P13----16)
第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26)
第6讲一元二次方程的整数根(P27----30)
第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38)
第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46)
第9讲圆的基本性质(P47----51)
第10讲圆心角和圆周角(P52----61)
第11讲直线与圆的位置关系（P62----69）
第12讲圆等积证明及变换((P70----76)
第13讲弧长和扇形面积(P76----78)
第14讲概率初步(P78----85)
第15讲二次函数的图像和性质(P85----91)
第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108)
第18讲相似三角形的性质(P109----117)
第19讲相似三角形的判定(P118-----124)
第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)
每天进步一点点！
坚持就是胜利！
第1讲 二次根式的性质和运算
考点·方法·破译
1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；
3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值围）.
经典·考题·赏析
【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ）
A.
【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A.
【变式题组】
1．⑴（）下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A.
【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值围是（ ）
A ．0＜m ＜1
B ．m ≥2
C ．m ＜2
D ．m ≤2
【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C.
【变式题组】
2．（）若实数x 、y 2
(0y -=，则xy 的值是__________.
3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－ 1
B ．1
C ．2
D ．3
4．（）使代数式4
x -有意义的x 的取值围是（ ） A ．x ＞3
B ．x ≥3
C ．x ＞4
D ．x ≥3且x ≠4
5.（）2
2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________.
是同类二次根式的是（ ）
A B
C D
【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一
样. A
=；B
不能化简；
=；D
=
=.故本题应选D.
【变式题组】
6
a＝________．
7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）
A
B
C
D
8
．已知最简二次根式b
a＝_______，b＝______.
【例４】下列计算正确的是（）
A
=B
．4
+=
C
=D
．(11
+=
【解法指导】正确运用二次根式的性质
①2(0)
a a
=≥；
②
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
?
?
===
?
?-
?
＞
＜
；③
0,0)
a b
=≥≥
0,0)
b a
=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项
不能合并
.D. 2
(111
+=-=-.故本题应选C.
【变式题组】
9. （聊城）下列计算正确的是（）
A
．=B
=
C
3
=D
3
=-
10
．计算：20072007
4)(4
?-=_____________
11
．22
-=_____________
12．()已知a
）
A．a B．－a C．－1 D．0
13．已知a＞b＞0，a＋b＝
的值为（）
A
B．2 C
D．
1
2
【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）
A B
C ．
D ．
【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=.选D. 【变式题组】
14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.
15
===中找出规律，并利用这一规律计算：
1)
2006++
?=_________.
16．已知，则0＜x ＜1=_________.
【例６】（）⑴先化简吗，再求值：
11()
b
a b b a a b ++++，其中a =，b =.
⑵已知
x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.
【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =，b =ab ＝1，a ＋b
⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 101
99=-. 【变式题组】
17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.
18．（）已知a 是4的小数部分，那么代数式22
224
()()442a a a a a a a a a
+-+?-+++的值为________.
【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值
为（ ）
A ．－2008
B ．2008
C ．－1
D ．1
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.
解:∵(2008x y =，
∴(x =
y =
(y =
x =，由以上两式可得x ＝y .
∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝
x 2－2007＝1，故选D.
【变式题组】
19．若a ＞0，b ＞0=
的值.
演练巩固·反馈提高
01．若4m =
，则估计m 的值所在的围是（ ）
A ．1＜m ＜2
B ．2＜m ＜3
C ．3＜m ＜4
D ．4＜m ＜5
02．n 的最大值为（ ）
A ．12
B ．11
C ．8
D ．3
03．（）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）
A.
04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A.
05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.
06．（）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =
11
()2
d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）
A ．c ＜a ＜d ＜b
B ．b ＜d ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜d ＜b
D ．b ＜c ＜a ＜d
07．（）下列运算正确的是（ ）
A =
B =
C ．2
1)31=-
D 53=-
08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号，化简的结果为（ ）
A ．
B C ．
D ．
09．2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值围是（ ）
A ．x ≤1
B ．x ≥2
C ．1≤x ≤2
D ．x ＞0
10．（）函数
y =
中自变量的取值围是________.
11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝
32
=-那么12※4＝________.
12．（荆州）先化简，再求值：2232
11
21a a a a a a
-+÷-+-，其中a =
13．（）先化简，再求值：((6)a a a a -+--，其中1
2
a =. 培优升级
01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.
02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.
03．（全国）设a =，则
5432322a a a a a a a
+---+=-________. 04．（全国）设
x =
a 是x 的小数部分,
b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.
05．（）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.
06．（全国）已知1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．c ＜a ＜b
07．（）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）
A 3
B ．3
C 3
D
08．（全国）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
09．（全国） ）
A ．5-
B ．1
C ．5
D ．1
10．已知0(0,0)x y x y -=>>的值为（ ）
A ．
13 B ．
12
C ．
23 D ．3
4
11．已知1
52
a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.
12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.
第2讲 二次根式的化简与求值
考点·方法·破译
1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.
2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式围分解因式.
经典·考题·赏析
【例１】2
=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1
x x
+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x +
+=，1
2x x
+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，
29111x x x ++=，∴原式11-
【变式题组】 1．若1
4a a +
=（0＜a ＜1）
=________ 2
=
-
） A ．1a a
-
B ．
1a a
-
C ．1a a
+
D ．不能确定
【例２】
（全国）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.
0=，
∴0=
0>
0=，则xy ＝2003，且2003是质数，
∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】
3．若a ＞0，b ＞0
=
的值.
【例３】
1)a =<<，求代数式
22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x
=a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.
解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221
442x x a a
-+=++， 2
2
2
1
42x x a a -=+
-，
∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---
+ ＝2211
()
1()211()a a a a a a a a a a a
+
+-+-=++--