北师大版八年级数学上册教案《一次函数的应用》
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《一次函数的应用》
◆教材分析
这节课是九年义务教育课程标准实验教科书(北师大版)八年级上册第四章一次函数的第四节一次函数的应用。主要是利用一次函数解决实际问题。目的在于:一方面通过实际生活中的问题,进一步突出函数这种数学模型应用的广泛性和有效性;另一方面使学生在解决实际问题的情景中运用所学数学知识,进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。
◆教学目标
【知识与能力目标】
1、能通过函数图象获取信息,发展形象思维。
2、能利用函数图象解决简单的实际问题,
3、初步体会方程与函数的关系。
【过程与方法目标】
1、通过函数图象获取信息,培养学生的数形结合意识。
2、根据函数图象解决简单的实际问题,发展学生的教学应用能力。
3、通过方程与函数关系的研究,建立良好的知识联系。
【情感态度价值观目标】
通过函数图象解决实际问题,培养学生的数学应用能力,同时培养学生良好的环保意识和热
爱生活的意识。 【教学重点】
一次函数图象的应用。
【教学难点】
一次函数图象的应用。
一、知识回顾
内容:提问:(1)什么是一次函数?
(2)一次函数的图象是什么?
(3)一次函数具有什么性质?
目的:学生回顾一次函数相关知识,温故而知新.
二、探索新知
内容1:
展示实际情境
提供两个问题情境,供老师选用.
实际情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v (米/秒)与其下
滑时间t (秒 )的关系如图所示.
(1)写出v 与t 之间的关系式;
(2)下滑3秒时物体的速度是多少?
分析:要求v 与t 之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的
类型,然后根据函数的类型设它对应的解析式,再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可.
实际情境二:假定甲、乙二人在一项赛跑中路程y 与时间x
的关系如图所示.
(1)这是一次多少米的赛跑?
(2)甲、乙二人谁先到达终点?
(3)甲、乙二人的速度分别是多少?
◆ 教学过程
◆ 教学重难点
◆
(4)求甲、乙二人y 与x 的函数关系式.
目的:利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式,一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法,即待定系数法,另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件.情景一、二可根据学生情况进行选取,情景二几个问题有一定的梯度,学生可能更易写出函数关系式.
教学注意事项:学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式,如先求出速度,再写表达式,教师应给予肯定,但要注意比较两种方法异同,并突出待定系数法.
内容2:
想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?
目的:在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量.由于一次函数有两个基本量k 、b ,所以需要两个条件来确定.
深入探究
内容1:
例1 在弹性限度内,弹簧的长度y (厘米)是所挂物体的质量x (千克)的一次函数,一根弹簧不挂物体时长14.5cm ;当所挂物体的质量为3kg 时,弹簧长16cm 。写出y 与x 之间的关系式,并求所挂物体的质量为4kg 时弹簧的长度.
解:设b kx y +=,根据题意,得
14.5=b , ①
16=3k +b ,②
将5.14=b 代入②,得5.0=k .
所以在弹性限度内,5.145.0+=x y .
当4=x 时,5.165.1445.0=+?=y (厘米).
即物体的质量为4千克时,弹簧长度为5.16厘米.
目的:
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式,这个例子选取的是弹簧的一个物理现象,目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式,进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型.这道例题关键在于求一次函数表达式,在求出一般情况后,第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解.
教学注意事项:
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外,还有学生是用推理的方式:挂3千克伸长了1.5厘米,则每千克伸长了0.5厘米,同样可以得到y与x间的关系式.对此,教师应给予肯定,并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同.
内容2:
想一想:大家思考一下,在上面的两个题中,有哪些步骤是相同的,你能否总结出求一次函数表达式的步骤.
求函数表达式的步骤有:1.设一次函数表达式.
2.根据已知条件列出有关方程.
3.解方程.
4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.
目的:对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上,教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.单个一次函数的应用
内容:一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,
他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,
售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,
如图所示,结合图象回答下列问题.
(1)农民自带的零钱是多少?
(2)试求降价前y与x之间的关系
(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?
(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?
意图:通过与上一课时相似的问题,回顾旧知,导入新知学习。
效果:由于问题与上一课时问题相近,学生很快明确并解决了问题。
问题解决
内容1:例1
小聪和小慧去某风景区游览,约好在“飞瀑”见面,
上午7:00小聪乘电动汽车从“古刹”出发,沿景区公
路去“飞瀑”,车速为36km/h,小慧也于上午7:00从
“塔林”出发,骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”,车速为26km/h.
(1)当小聪追上小慧时,他们是否已经过了“草甸”?
(2)当小聪到达“飞瀑”时,小慧离“飞瀑”还有多少km?
分析:当小聪追上小慧时,说明他们两个人的什么量是相同的?是否已经过了“草甸”该用什么量来表示?你会选择用哪种方式来解决?图象法?还是解析法?
解:设经过t时,小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2,
由题意得:S1=36t,S2=26t+10
将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上,观察图象,得
⑴两条直线S1=36t,S2=26t+10的交点坐标为(1,36)这说明当小聪追上小慧时,S1=S2=36 km,即离“古刹”36km,已超过35km,也就是说,他们已经过了“草甸”
⑵当小聪到达“飞瀑”时,即S1=45km,此时S2=42.5km.
所以小慧离“飞瀑”还有45-42.5=2.5(km)
思考:用解析法如何求得这两个问题的结果?小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么(小聪的解析式为S1=36t,小慧的解析式为S2=26t+10)?
意图:培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识.通过问题串的精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题.在此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力.
说明:在这个环节的学习过程中,如果学生入手感到困难,可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步?⑵在两个人到达之前所用时间是否相同?所行驶的路程是否相同?出发地点是否相同?两个人的速度各是多少?⑶这个问题中的两个变量是什么?它们之间是什么函数关系?⑷如果用S表示路程,t表示时间,那么他们的函数解析式是一样?他们各自的解析式分别是什么?
内容2:深入探究
例 2 我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶.边防局迅速派出快艇B追赶(如图),下图中l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系.
根据图象回答下列问题:海
岸公
海
A
B
(1)哪条线表示B到海岸的距离与时间之间的关系?
解:观察图象,得当t=0时,B距海岸0海里,即
S=0,故l1表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关
系;
(2)A,B哪个速度快?
解:从0增加到10时,l2的纵坐标增加了2,而l1的纵
坐标增加了5,即10分内,A行驶了2海里,B行驶了
5海里,所以B的速度快.
(3)15分钟内B能否追上A?
解:可以看出,当t=15时,l1上对应点在l2
上对应点的下方,
(4)如果一直追下去,那么B能否追上A?
解:如图l1,l2相交于点P.因此,如果一直追下去,
那么B一定能追上A.
(5)当A逃到离海岸12海里的公海时,B将无法对其
进行检查.照此速度,B能否在A逃到公海前将其拦截?解:从图中可以看出,l1与l1交点P的纵坐标小于12,
这说明在A逃入公海前,我边防快艇B能够追上A.
意图:培养学生良好的识图能力,进一步体会数与形的
关系,建立良好的知识联系.
说明:学生在教师的引导下,逐步形成了良好的识图能力.
两个一次函数图象的应用
在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示.请你根据图象所提供的信息回答下列问题:
甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是厘米、厘米,从点燃到燃尽所用的时间分别是小时、小时.
你会解答上面的问题吗?学完本解知识,相信你能很快得出答案。
一、合作探究
探究点一:两个一次函数的应用
(2015?日照模拟)自来水公司有甲、乙两个蓄水池,现将甲池的中水匀速注入乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如下所示,结合图象回答下列问题.
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式;
(2)求注入多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同;
(3)求注入多长时间甲、乙两个蓄水的池蓄水量相同;
(4)3小时后,若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需多长时间?
分析:(1)先设函数关系式,然后看甲乙两图分别取两组x、y的值得到一个二元一次方程组,解此方程组得出常数项,将常数项代入即可得出解析式;
(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同,可以得到一个一元一次方程,解此方程组可得注水时间;
(3)从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后,甲水深度下降2米,而乙水池深度升高3米,所以甲乙两水池的底面积比是3:2,再根据容积公式求水量得到一个一元一次方程,解此方程得甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同时的注水时间;
(4)由图可知乙蓄水池的水深为4米,乙蓄水池上升的速度为1米/小时,由此求得答案即可
解:(1)设它们的函数关系式为y=kx+b ,
根据甲的函数图象可知,当x=0时,y=2;当x=3时,y=0,
将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b 中得,
k=-3
2,b=2代入函数关系式y=kx+b 中得, 甲蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式为: y=-
32 y= x+2
根据乙的函数图象可知,当x=0时,y=1;当x=3时,y=4,
将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b 中得,
k=1,b=1代入函数关系式y=kx+b 中得,
乙蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式为:y=x+1;
(2)根据题意,得
解得x=
5
3. 故当注水53小时后,甲、乙两个蓄水池水的深度相同; (3)从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后,甲水池深度下降2米,而乙水池深度升高3米,所以甲乙水池底面积之比S l :S 2=3:2
S 1(-3
2x+2)=S 2(x+1), 解得x=1.
故注水1小时后,甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
(4)4÷(3÷3)=4小时.
所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需要4小时.
探究点二利用两个一次函数解决方案问题
(2015?江西模拟)某文具店为了了解2015年3月份计算器的销售情况,对该月各种型号计算器的情况进行了统计,并将统计的结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)请根据图中提供的信息,将条形图补充完整.
(2)该店4月份只购进了A,B,C三种型号的计算器,其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,设购进A型计算器x只,B型计算器y只,三种计算器的进价和售价如下表:
?
?
求出y与x之间的函数关系式.
(3)在(2)中的条件下,根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销.
①假设所购进的A,B,C三种型号计算器能全部售出,求出预估利润P(元)与x(只)的函数关系式;
②求出预估利润的最大值.
分析:(1)先根据统计图计算出计算器的总量,再根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量,即可补充条形图;
(2)根据设购进A型计算器x只,B型计算器y只,则C型计算器为(300-x-y)只,根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,得到50x+30y+20(300-x-y)=8200,整理得:y=220-3x.
(3)①先算出A,B,C型计算器一只的利润,再计算出总利润即可解答;
②根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销,得到不等式220-3x≤40,解得:x≥60,在P是x的一次函数,P=3700-15x,k=-15<0,P随x 的增大而减小,所以当x去最小值60时,P有最大值,最大值为3700-15×60=2800(元).解答:(1)计算器的总量为:60÷20%=300(只),则A型计算器为:300×40%=120(只),如图:
(2)∵设购进A型计算器x只,B型计算器y只,
∴C型计算器为(300-x-y)只,
根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,
∴50x+30y+20(300-x-y)=8200,
整理得:y=220-3x.
(3)A型计算器一只的利润为:70-50=20(元),B型计算器一只的利润为:45-30=15(元),C型计算器一只的利润为:25-20=5(元),
根据题意得:P=20x+15y+5(300-x-y),
整理得:P=3700-15x.
②∵根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销.∴220-3x≤40,
解得:x≥60,
∴x的取值范围为x≥60,且x为整数,
∵P是x的一次函数,P=3700-15x,k=-15<0,
∴P随x的增大而减小,
∴当x去最小值60时,P有最大值,最大值为3700-15×60=2800(元).
三、归纳总结:
本节课我们学习了一次函数图象的应用,在运用一次函数解决实际问题时,可以直接从函数图象上获取信息解决问题,当然也可以设法得出各自对应的函数关系式,然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时,一般首先判断关系式的特征,如两个变量之间是不是一次函数关系?当确定是一次函数关系时,可求出函数解析式,并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果.
◆教学反思
略