第六讲方差分析

第五章 方差分析

第一节 概述

前面介绍了两样本均数比较的t 检验，但在实际研究中经常需要多组均数的比较。如：例5.1 患有某种肿瘤的大白鼠接受不同实验处理后(对照未服药；服抗癌A 药；服抗癌B 药；服抗癌C 药)，2周后体内存活的肿瘤细胞数如表5.1所示，比较不同实验处理后的平均存活肿瘤细胞数是否有差异。

表5.1 不同实验处理后存活肿瘤细胞数（有丝分裂细胞／10个高倍镜视野） 对照 服抗癌A 药

服抗癌B 药

服抗癌C 药

合计

48 45 23 5 50 51 20 6 46 47 22 0 52 48 19 2 48 47 21 2

50 4 N

5 6 5 6 22 x

48.80 48.00 21.00 3.17 33.45 s

2.28

2.19

1.58

2.23

20.14

本例中共有4种实验处理，在实验设计中称为一个因素中的4个水平：第一个水平为对照处理；第二个水平为服用A 药处理；第三个水平为服用B 药处理；第四个水平为服用C 药处理。根据本例的研究问题，相应的假设检验为

H 0:μ1=μ2=μ3=μ4 vs H 1:μ1，μ2，μ3，μ4不全相同 ● 不能用t 检验进行两两比较，第一类错误会增大。

由于本例共有4组的均数需要比较。如果用t 检验进行两两比较，共要进行2

46C =次

t 检验。如果每次t 检验犯第一类错误的概率为0.05，则不犯第一类错误的概率为0.95，

6次都不犯第一类错误的概率为60.950.7351=，因此在6次t 检验中至少有一次犯第一类错误的概率为610.950.26490.05-=>>。由此可见用t 检验进行多组均数的比较会增大犯第一类错误的概率。

● 要用方差分析或多组的秩和检验(Kruskal Wallis test)的方法进行多组比较：

方差分析的英文全称为Analysis of Variance ，缩写简称为ANOVA 。 ● 统计分析策略

? 如果每一组资料服从正态分布(或大样本)，并且方差齐性，则可以用方差分析的方

法进行比较。

? 如果方差不齐或小样本而非正态分布，则用Kruskal Wallis 进行检验。

第二节 完全随机设计资料的方差分析

一、完全随机设计

表5.1 不同实验处理后存活肿瘤细胞数（有丝分裂细胞／10个高倍镜视野） 对照(i=1) 服抗癌A 药(I=2) 服抗癌B 药(I=3) 服抗癌C 药(I=4) 合计

48 45 23 5

50 51 20 6 46 47 22 0 52 48 19 2 48 47 21 2 50 4 n 5 6 5 6 22

x 48.80

48.00 21.00 3.17 33.45 s 2.28 2.19 1.58 2.23 20.14

例5.1就是完全随机设计的资料。该例中的处理因素是不同的实验处理（即服用不同药物情况），共有4个水平，对照未服药、服抗癌A 药、服抗癌B 药和服抗癌C 药，观察指标是大白鼠体内存活肿瘤细胞数，观察结果及部分描述统计量见表5.1。

二、变异的分解(以本例为例)

组间变异11223344()()()()SS n X X n X X n X X n X X =-+-+-+-组间

其中1234,,,X X X X 为第1组，第2组，第3组和第4组的样本均数，X 为所有数据的平均数。 自由度v=4－1＝3

组内变异2

2

2

2

11223344(1)(1)(1)(1)SS n S n S n S n S =-+-+-+-组内

1234,,,S S S S 为各组的样本标准差。

自由度v=22－4=18 可以证明：

? H 0:μ1=μ2=μ3=μ4成立时，SS 组间较小 ? H 0:μ1=μ2=μ3=μ4不成立时，SS 组间较大

? H 0:μ1=μ2=μ3=μ4是否成立与组内变异SS 组内无关。 ? SS 总＝SS 组间＋SS 组内，其中

()()()()()()

ij j i SS x X x X x X x X x X x X ==-+-+

+-+-++-=-∑∑22222

11215112644

2

1

总

其中X 表示所有资料的平均数，用N 表示总样本量(本例N=5+6+5+6=22)。 资料X i j 越离散，SS 越大，反之亦然。

SS 还与样本的自由度（degree of freedom ）=N －1有关(N 为总样本量)，自由度增大，SS 增大。

组内变异自由度为k N -=组内ν

由于组间变异和组内变异与自由度有关，所以不能直接比较离均差平方和。将各部分的离均差平方和除以各自的自由度，得到相应的平均变异指标：均方（mean square ，记为MS ）。组间变异和组内变异的均方可通过公式5.7和公式5.8计算得到。

组间

组间

组间νSS MS =

(5.7)

组内

组内

组内νSS MS =

(5.8)

均方消除了自由度的影响，因而可以进行比较。将组间均方除以组内均方，就得到方差分析的检验统计量F 。

组内

组间MS MS F =

(5.9)

可以证明，当H 0成立时，则 F 服从自由度为k -1和N -k 的F 分布；若H 0不成立，则F 不服从F 分布，且大多数情况下，F 远大于1。因此，可通过F 的大小判断H 0的成立与否。

三、方差分析的步骤

1.建立假设并确定检验水准 根据例5.1的题意，可作如下假设：

H 0：不同实验组大白鼠体内存活的肿瘤细胞数的总体均数相同，即4321μμμμ===； H 1：不同实验组大白鼠体内存活的肿瘤细胞数的总体均数不全相同。

检验水准：05.0=α

2、计算检验统计量 根据表5.3的计算公式，可计算各变异部分的离均差平方和、自由度、均方和检验统计量F 值。

表5.3 完全随机设计资料方差分析的计算公式(k 个样本)

变异来源 离均差平方和（SS ） 自由度（υ） 均方（MS ） F 值

组间变异 .()j j

j n x

X -∑2 1-k

组间

组间

νSS 组内

组间MS MS

组内变异 .()ij

j j

i

x

x -∑∑2

k N - 组内

组内

νSS

总变异

()ij i

j

x X -∑∑2

1-N

本例计算为用Stata 软件计算如下

由于本例样本量较少，正态性检验有些困难。可以采用各组资料减去相应的样本均数，然后再检验。

因此先计算各组的样本均数，Stata 命令 tab group,su(x)

gen d=0

replace d=x-48.8 if group==1

replace d=x-48 if group==2

replace d=x-21 if group==3

replace d=x-3.166667 if group==4

d称为残差。

进行正态性检验

sktest d

Skewness/Kurtosis tests for Normality

------- joint ------ Variable | Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------- d | 0.853 0.181 2.03 0.3633 没有证据认为资料偏态分布。

Stata命令：oneway 观察变量分组变量，t

本例命令： oneway x group,t

蓝色处为方差齐性检验。P ＝0.898>0.1，所以不能认为方差不齐。

均数的比较的P 值<0.0001，因此拒绝H 0：4321μμμμ===，并可以认为各组均数不全相等。

因此需用进一步组间两两比较，以确定那些组之间确有差异。

两两比较有许多方法，此处近介绍两种方法：lsd 方法和Bonferroni 方法 lsd 称为最小差异检验，适用于探索性研究。命令如下：

. lsd x group

LSD 方法进行 两两均数比较

输入效应变量分组变量

mean1-mean2= 0.800000 P-value=0.537814

mean1-mean3= 27.800000 P-value=0.000000

mean1-mean4= 45.633333 P-value=0.000000

mean2-mean3= 27.000000 P-value=0.000000

mean2-mean4= 44.833333 P-value=0.000000

mean3-mean4= 17.833333 P-value=0.000000

因此第1组和第2组之间的差异没有统计学意义(no significant)，第1组和第2组的平均存活肿瘤细胞数分别高于第3组和第4组，第3组的平均存活肿瘤细胞数也高于第4组，差别有统计学意义。（the differences are statistically significant）。

Bonferroni 是一种比较保守的两两比较方法，通常用于比较慎重的研究结果。

命令如下：

红色处为P值。本例结果与LSD相同。

Bonferroni方法计算的P值＝min(LSD的P值×比较次数，1)

本例的比较次数为3，所以Bonferroni方法计算的P值＝LSD的P值×3

但是，第一组与第二组比较的LSD的P值×3>1,所以Bonferroni方法计算的P值＝1。

单因素多组资料的秩和检验

成组设计多组计量资料的处理效应的比较，如果资料不满足完全随机设计的方差分析的应用条件，可用Kruskal-Wallis H检验（Kruskal-Wallis H test）。Kruskal-Wallis H检验用于推断计量资料或等级资料的多个独立样本所来自的多个总体的分布是否相同。统计检验方法、步骤和基本思想见例8.4。

（一）计量资料的多个样本比较

例8.4 研究单味中药对小鼠细胞免疫机能的影响，把40只小鼠随机分为4组，每组10只，雌雄各半，用药15天后，测定E-玫瑰结形成率（X：%），结果见表8.4第(1)、(3)、(5)、(7)栏。问：单味中药对E-玫瑰结形成率有无影响？

表8.4 四组E-玫瑰结形成率（X：%）比较

对照组党参组黄芪组淫羊霍组

X X X X

(1) (2) (3) (4)

14 21 24 35

10 24 20 27

12 18 22 33

16 17 18 29

13 22 17 31

14 19 21 40 12 18 18 35 10 23 22 30 13 20 19 28 i

本例为百分率资料，不符合正态分布，现用Kruskal-Wallis H 检验。统计分析步骤如

下：

（1）检验假设：

0H ：四组E-玫瑰结形成率的总体分布相同

1H ：四组E-玫瑰结形成率的总体分布不全相同

0.05α=

（2）编秩：

把四个样本数据混合从小到大编秩次， （3）求秩和并确定检验统计量：

分组求秩和，按下式求检验统计量H 值。

2

2

12

12()()3(1)(1)

(1)

i

i

i

i

R H n R R N N N N N n =

-=

-+++∑∑

（8.5）

如果0H 成立，各个总体相同，各组的平均秩i R 应该非常接近总的平均秩R ，即：在通常情况下，统计量H 应该比较小，在样本量比较大时，近似服从χ2分布（Chi －Square ）。反之，

0H 不成立时，各个总体不相同，各组的平均秩i R 应远离总的平均秩R ，统计量H 值会增大。

用Stata 软件进行检验如下：

Stata 格式如下：

Stata 命令

kwallis 观察变量 ,by(分组变量) 本例： kwallis x,by(g)

Kruskal-Wallis检验的P值＝0.0001< ,所以可以认为四组样本所在总体不全相同。

进一步检验可以用两组比较的Wilcoxon秩和检验，结合Bonferroni校正P值的方法进行检验，但要根据研究问题，有选择地进行比较，仅可能地减少比较的次数。

第二节随机区组设计资料的方差分析

随机区组设计的优点是每个区组内的k个受试对象有较好的同质性，组间均衡性较好，与完全随机设计相比，可以较好地减少非研究因素对观察结果的影响（称为偏倚，Bias）；缺点是要求区组内受试对象数与处理数相等，实验结果中若有数据缺失，统计分析较麻烦。

在医学科学研究中的随机区组设计主要有以下几种情况：1. 配对或配伍的k（k≥2）个受试对象分别接受 k种处理（即一个处理因素的k个水平）之后的数据；2. 同一样品用k 种方法（或仪器等）检验的结果；3. 同一受试对象k个部位的数据。

对于随机区组设计资料的统计分析，根据资料性质（定量或分类资料）、处理组数以及符合的统计分析条件，可选用配对t检验，配对秩和检验，配对卡方检验，随机区组的方差分析，随机区组的秩和检验等。

例1：某研究者将24名贫血患儿按年龄及贫血程度分成8个区组(b=8)，每个区组的3个对象的年龄非常接近并且贫血程度也非常接近，每区组中三名儿童用随机的方式分配给A、B和C三种不同的治疗方法（处理组，k=3）。治疗后血红蛋白含量的增加量(g/L)列表如下（倪宗瓒，《医学统计学》第二版P84）

表1贫血患儿不同疗法治疗后血红蛋白含量的增加量(g/L)

区组A疗法B疗法C疗法

1 16 18 18

2 15 16 20

3 19 27 35

4 13 13 23

5 11 14 17

6 10 8 12

7 5 3 8

8 -2 -2 3

随机区组设计要求每个处理组内的研究对象个数必须是相同的，并且每个区组的观察例数也是相同的。随机区组设计的观察资料一般形式如表5.6所示的

二、变异分解

根据随机区组设计的性质，在例5.2中，血红蛋白含量增加量的变异除了总变异、处理组间变异（不同治疗方案之间）和个体变异外，还有区组间变异（不同组年龄和贫血程度之间）。各种变异之间的关系可用公式5.10表示：

SS总＝SS处理组间+ SS区组间+SS误差(5.10)

1、处理组间变异 描述了不同治疗方案对应的血红蛋白含量增加量的样本均数之间的差异 ∑-j

j X x SS 2.)(n ＝处理 (5-11)

其中j x .为第j 个处理组的样本均数，自由度为1k -=处理v 。

如果3种治疗效果相同，则对应的总体均数应该相同，各个样本均数之间的差异一般会很小，所以SS 处理较小；如果3种治疗效果不同，对应的总体均数不同，各个样本均数之间的差异会较大，相应的SS 处理较大。

3、区组间变异 是指不同区组的血红蛋白含量增加量样本均数之间差异

∑-i

i X x k SS 2.)(＝区组 (5.12)

由于同一区组的年龄和贫血程度非常接近，而不同年龄和贫血程度不同，它反映了不同年龄和贫血程度对血红蛋白含量增加量样本均数的影响。

4、误差 是指总变异中排除了处理变异和区组变异外，仅仅由随机误差引起的变异。其SS 误差的计算公式可以根据公式(5.13)来获得：

SS 误差＝SS 总－SS 处理－SS 区组 (5.13)

其自由度为 (1)()k ν=-误差n-1

根据计算所得的SS 和自由度，可计算变异来源各部分的均方：

SS MS ν=

处理

处理处理

(5.14)

SS MS ν=

区组

区组区组

(5.15)

SS MS ν=

误差

误差误差

(5.16)

然后可以得到两个F 值：

MS F MS =

处理

处理

误差 (5.17)

MS F MS =

区组

区组误差

(5.18)

然后用F 分布进行检验。

即：比完全随机分组的方差分析多分离一个区组变异

用Stata软件进行统计分析如下

数据格式

Stata命令：

anova 观察变量处理变量区组变量本例命令

anova x g block

这里有3个P值，

Model的P值，对应的无效假设H0是处理效应和区组相应均对观察因素无作用

变量g对应的P值，对应的无效假设H0是处理效应对观察因素无作用。

区组变量Block对应的P值，对应的无效假设H0是区组效应对观察因素无作用。

本例的处理效应说明3种不同的治疗方案的疗效不全相同。

应用方差分析的注意事项

一、方差分析的应用条件

并非所有的数据都能作方差分析，进行多个样本均数比较方差分析的资料应该满足以下条件：

1. 完全随机设计资料的多个样本必须是相互独立的随机样本；

2. 样本均来自正态分布的总体；

3. 样本来自的总体方差相等，即方差齐性（homogeneity of variance）。

方差分析的用途非常广泛，不仅可以进行单个处理因素下多个样本均数的比较，还可以分析多个处理因素之间是否存在交互作用。本章仅仅介绍完全随机设计资料和随机区组设计资料的方差分析。

三、方差分析与t检验的关系

对于成组设计的两组均数比较，可以用成组t检验，也可以用完全随机设计的方差分析，可以证明t2=F，t的自由度正好为方差分析中的组内自由度，结果和结论完全是一致的，但是t检验可以做单侧假设检验，也可以做双侧假设检验；而方差分析只能做双侧假设检验。

对于1：1配对设计的均数比较问题，可以用配对t检验，也可以用随机区组设计的方差分析，同样可以证明t2=F，t的自由度正好为方差分析中的组内自由度，结果和结论完全是一致的，同理配对t检验可以做单侧假设检验，也可以做双侧假设检验；但方差分析只能做双侧假设检验。