随机事件及其概率习题

第一章随机事件及其概率

习题一 、填空题

当A , B 互不相容时，P (A U B)=亠卩(

AB )= 0_^ 当 B A 时,P(A+B = _;_RAB = 若 P(A) ,P(B) ,P(AB) , P(A B) 1

P(A B)= 1

1

9 9.事件 A,B,C 两两独立，满足 ABC , P (A) P (B) P (C)-,且 P ( A+B+C )=—

2

16

则 P(A)=??

10.已知随机事件 A 的概率P(A) 0.5，随机事件 B 的概率P(B) 0.6，及条件概率

P(B | A) 0.8，则和事件 A B 的概率P(A B)

1.设样本空间 {x|0

x 2}, 事件A {x|l

1

x 1}, B {x|-

4

{x|0 x ^} U{x|-

4 2

x 2},

- 1 AB

{x|-

4

x 1} U{x|1 x 2.连续射击一目标，

A i 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间

，则

=A ； A I A 2； L ； A 1 A 2 L A n 1A n ； L

.

3.—部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、3、4概率为 — 12

4. 一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概 率是 c m c nm /c N

5.某地铁车站，每5分钟有一趟列车到站， 乘客到达车站的时刻是任意的, 则乘客侯 车时间不超过3分钟的概率为 6?在区间(0, 1 )中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6

”的概率为

5

7. 已知 RA)= P(B)=

(1) ;P(AB)

12.假设一批产品中一、二、三等品各占60% 30% 10%从中

随机取一件结果不是三

等品，则取到一等品的概率为

13. 已知 P(A) a,P (B|A) b,则卩(AB )

14. 一批产品共10个正品,2个次品，任取两次，每次取一件(取后不放回),则第2次抽

取为次品的概率

1

6

2 1 2

15.

甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是 -,1,-，三人中恰好有两人合格的概

3 2 5

率为2/5 .

16. 一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的

概率为 1 (1 p)n

； A 至多发生一次的概率为

17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中,

则它是甲中的概率为

二、选择题

3.如果事件A, B 有B A,则下述结论正确的是(C ).

产品不全是合格品”，则下述结论正确的是(B ).

5. 若二事件A 和B 同时出现的概率 P( AB )=0则(C ).

(C ) AB 未必是不可能事件；

(D ) P( A )=0或P( B )=0.

a a

b .

(1 P)n np(1 p)n 1

1.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则其对立事件 A 为(D ).

(A ) “甲种产品畅销，乙种产品滞销” (B ) “甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品滞销”

(D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”

2.对于任意二事件 A 和 B,与A B

B 不等价的是(D ).

(A) A B;

(B) B A;

(C) AB

(D) AB

(A ) A 与B 同时发生; (B) A 发生，B 必发生; (C) A 不发生B 必不发生; (D B 不发生A 必不发生.

4. A 表示“五个产品全是合格品”

,B 表示“五个产品恰有一个废品”

,C 表示“五个

(A) A B;

(B) A C;

(C) B C;

(D) A B C.

(A ) A 和B 不相容;

(B ) AB 是不可能事件;

6.对于任意二事件A和B有P(A B) (C ).

(D) P(A) P (B) P(B) P(AB).

8.设A , B 是任意两个概率不为 0的不相容的事件，则下列事件肯定正确的(D ).

(A) A 与 B 不相容；(B) A 与 B 相容；(C) P( AB = P( A )P( B); (D) P( A-护P( A ). 9.当事件A B 同时发生时，事件

C 必发生则(B ).

(C) 事件A 和 B 互不独立；

13 .设A, B 是任意二事件，且P(B) 0, P(A|B) 1 ,则必有(C ).

(A) P(A B) P(A); (B) P(A B) P(B); (C) P(A B) P(A);

(D)

P(A

B) P(B).

14. 袋中有 5个球，其中2个白球和 3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球,

取后

不放回，则第二人取到白球的概率为(

D .

(C ) P (A) P( AB)； (A) P(C) P(A) P(B) 1;

(C) P(C) P(AB);

(B) P(C) P(A) P(B) 1; (D) P(C) P(A B).

10.设A,B 为两随机事件，且 A ，则下列式子正确的是 (A ).

(A ) P(A B) P(A);

(B) P(AB) P(A); (C) P(B|A) P(B);

(D)

P(B A) P(B) P(A).

11.设A 、B 、C 是二随机事件，且 P(C) 0,则下列等式成立的是 (B).

(A) P(A|C) P(A|C) (C) P(A|C) P(A|C)

1; 1;

(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C) P (AB|C); (D) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C).

12.设A, B 是任意两事件

B,P(B) 0,则下列选项必然成立的是(B ).

(A) P (A) P(A|B); (C) P(A) P(A|B);

(B) P(A) P(A|B); (D) P(A) P(A| B). 1

(A)

1;

(B) |;

4

(C) 1;

(D) I

5

15.设 0 P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A|B) 1,则(D ).

(A) 事件A 和 B 互不相容;

(B)

事件A 和B 互相对立;

事件A 和B 相互独立.

p (0 p 1)，则此人第4 (D)

16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).

三、解答题

1.写出下列随机实验样本空间:

(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和;

(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只(取出后不放回) ，直到将3只次品都取 出，记

录抽取的次数;

⑶对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品”，如连

续查出二个次品就停止检查，或检查

4个产品就停止检查，记录检查的结果。

(4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度

解 1( 1){3,4,5,

,18}；

{3,4,5, ,10}；

查出合格品记为“ 1”，查出次品记为“ 0”,

100， 0100， 0101， 1010， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101， 1110， 1111};

{(X, y,z)|x 0, y 0, z 0, x y z 1}其中x, y, z 分别表示三段之长.

2.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 运算关系表示下列事件:

(4) A B C ; ( 5) ABC 或 ABC ;

3.下面各式说明什么包含关系? (A) 3p(1 p)2

; (C) 3p 2

(1 p)2

;

(B) 6p(1 p)2

; (D) 6p 2

(1 p)2

.

{00, A 发生，B 和C 不发生;

(2) A 与B 都发生，而C 不发生;

A,B,C 均发生; A, B,C 至少一个不发生; A,B,C 都不发生;

(6) A, B,C 最多一个发生; A,B,C 中不多于二个发生;

(8) A, B,C 中至少二个发生.

解(1)ABC 或 A- (AB+AC 或 A-

(B +C ) ; (2) ABC 或 AB- ABC 或 AB- C ; (3) ABC ;

(6) ABC ABC ABC ABC ; (7)

ABC ; (8) AB AC BC .

(1) AB

A ; (2) A B

解(1)

A B ;

(2) A

4.设 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, {2,3,4}, B {3,4,5}, C {5,6,7}具体写出下列各事件:

(1) AB ， (2) A B ，

(3)

AB ，

(4) ABC ，

(5) A(B C).

解 (1)

{5} ; (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10} ;(3) {2,3,4,5}

(4) {1,5,6,7,8,9,10} (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.

5.从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字, (1)求最小的数字为 5的概率;

记“最小的数字为5”为事件A

???10个数字中任选3个为一组：选法有 C 1o 种，且每种选法等可能.

又事件A 相当于：有一个数字为 5,其余2个数字大于5。这种组合的种数有1 C ；

P(A) 2

(2)求最大的数字为 5的概率。

记“最大的数字为 5”为事件B ,同上10个数字中任选3个，选法有Cw 种，且每种选 法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为 5，其余2数字小于5,选法有1 C 2种

&已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样,

求下列事件的概率。

P(B)

1 C 4

2 G 3。 丄 20

要4只都不配对，可在5双中任取

P(A) P(A) 1 P(A)

8 21

1 ◎

21 13

21

7.试证 P (AB AB )

P ( B ) 2P (AB ).

(1)两只都是正品

两只都是次品 ;(3)—只是正品，一只是次品; (4)至少

—只是正品。

10. 某学生宿舍有8名学生，问(1) 8人生日都在星期天的概率是多少？(

日都不在星期天的概率是多少？ (

3) 8人生日不都在星期天的概率是多少?

1

解(1) P 1严

有2个电话号码相同，另 2个电话号码不同的概率 取的至少有3个电话号码相同的概率 q .

C 11

O C 42

A 92

解基本事件总数有』！

种

5! 5 5!

(1)每个班各分一名优秀生有 3!种，对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中

3 12!

分法总数为种，所以共有 住L 种分法.所以 P =4

^ 生

4 4 4 4 4 4 1

5 ! 91 5! 5 5

(3)

C ；

P

c 8c 2

P

3

C

10

28 45；

16 45

9.把10本书任意放在书架上, 解所求概率 P

(2) P 2

⑷P 4 1 求其中指定的

6! 5! 1

10!

42

C ； CI

P 2

1 45 1丄兰

45 45

5本书放在一起的概率。

2)8人生

(2) P 2 岸

⑶P 3 1

11 .从0 - 9中任取 4个数构成电话号码(可重复取) 求:

0.432

；

10

弟込旦0.037.

10

12. 15名新生平均分配到三个班中，这 个班各分一名优秀生的概率 P (2) 3名优秀生在同一个班的概率 q .

随机地将 15名新生有3名优秀生.求(1)每

(1) P

即该学生这门课结业的可能性为70%.

(2)3 名优秀生分配到同一个班，分法有3种，对每一分法,12名非优秀生分配到三个班

3 12

中分法总数为12!,共有3 12种,所以q二翠5 1

2! 5! 5 2 ! 5 5 15 91

5! 5 5!

13.在单位园内随机地取一点Q试求以Q为中点的弦长超过1的概率.

解：在单位园内任取一点Q, 并记Q点的坐标为(X，y)，由题意得样本空间

2

X, y 1，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，贝y事件

A X, y 1 X2y2，即A X, y

由几何概率计算公式得P(A)

14.设A B是两事件且P ( A)= , P ( B)=.问(1)在什么条件下P (AB取到最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么条件下P ( AB取到最小值，最小值是多少?

解：由P (A) = , P ( B)= 即知AB^O,(否则AB = 0依互斥事件加法定理,

P(A U B=P (A)+P (B=+= >1 与P ( A U B) < 1 矛盾).

从而由加法定理得

P (AB=P (A)+P (B) - P ( A U B) (*)

(1)从OW RAB w P(A)知，当ABmA,g卩A n B时RAB取到最大值，最大值为

R AB=P(A)=,

(2)从(*)式知，当A U B= 时，RAB取最小值，最小值为

F(AB=+ —1=.

15.设A, B是两事件，证明： P(AB AB) P(A) P(B) 2P(AB)

证 P (AB AB) P (AB) PfAB) P(ABAB) P(A B) P(B A)

P(A) P (AB) P(B) P (AB) P(A) P(B) 2P( AB).

16.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业.某学生通过口试概率为80%

通过笔试的概率为65%至少通过两者之一的概率为75%问该学生这门课结业的可能性有

多大?

解A= “他通过口试”，B=“他通过笔试”，则P(A)= P(B)=, P(A+B)=

P (A B)=F(A?+P(B) - P(A+B)=+-=

即该学生这门课结业的可能性为70%.

17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20淤甲报，16%读乙报，14%卖丙报,

其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年

人至少读一种报纸的概率

解设A，B, C分别表示读甲，乙，丙报纸

P(A B C)

P(A) P(B) P (C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)

0.2 0.16 0.14 0.08 0.05 0.04 0.02 0.35

1 1

18.已知P (A) P (B) P (C) -,P (AB) 0,P (AC) P ( BC) 一，求

事件A,B,C 全不发

416

生的概率.

解P(ABC) P( __ ) 1 P(A B C)

3 1

1 [P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)] 1 - -

48

19.某厂的产品中有4%勺废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取

一件的是一等品的概率.

解令A “任取一件是合格品”,B “任取一件是一等品”

P(AB) P(A) P(B|A) (1 0.04) 0.75 0.72 .

20.在100个次品中有10个次品，每次从任取一个(不放回)，求直到第4次才取到

正品的概率.

解A i= “第i次取到正品” i =1 , 2, 3, 4.

p(A A A3A4) P(A)P(A2 | A )P(A3 | A A2) P(A4 | A1A2A3)

——900.00069

100 99 98 97

21.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而

接通所需的电话的概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通，A表第i次拨号能接通.

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码

人入2民 三种情况互斥

p （A ）P （A 2|A 1）P （A ）P （A 2 [A JP （人3|入1入2）

求取得正品的概率.

P(B i ) = 0.5 , P (B 2)= O.3 , P (B 3)= O.2 , P(A|B i ) 0.9 , P(A|B 2)0.8, P(A|B 3)0.7

3

所以 P (A ) P B P A B i

i 1

25.某一工厂有A,B,C 三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉

总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的

1 9 1 9 8 13

10 10 9 10 9 8 10 .

22.若 P(A)

0,P (B) 0 ,且 P(A| B) P(A)，证明 P(B| A)

P (B). 证

因为 P(A|B)

P(A),

则 P(AB)

P (A ) P(AB) P (B)

P(A) P(B)

所以 P(B|A) P

(AB)

P(A)P(B)

P(B).

P(A)

P(A)

23.证明事件 A 与B 互不相容,

且 0

P (A )

1 P ( B

o

证 P （A |B ）篇艦.。

H A A A

P(H) P(A) 24. 设一仓库中有10箱同种规格的产品,

其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有 5箱、3

箱、2箱，三厂产品的废品率依次为、、，从这 10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件产品,

解设A = ｛取得的产品为正品｝

B i ，i 1,2,3分别为甲、乙、丙三厂的产品

5 %、4 %、2 %,

即该学生这门课结业的可能性为 70%.

26.已知男人中有5 %的色盲患者，女人中有 ％的色盲患者，今从男女人数中随机地挑

如果从全厂总产品中抽取一件产品螺钉为次品，问它是

A ,

B ,

C 车间生产的概率.

解 A 、B 、C 分别表示A 、B 、C 三车间生产的螺钉,

D ="表示次品螺钉”

同理 (A) 25% P (B) 35% P (C) 45%

(D | A ) 5% P (D |B )

4% P ( D|C )

PAD

PAPDA

2%

P A P D |A ___________ 25 5 35 4 40 2 69

25 5

25

P ( B|D )=器;P (C|D )=19

1

选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少?

因为 P (B ) PB 0.5 P(A| B) 5%, P(A|B) 0.25%

P(A) P(B) P(A|B) P (B) P(A|B) 0.5 0.05

0.5 0.0025 0.02625

27.设 A,B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明，P (B | A) P(B |A)是事件 A 与B 独立的充分必要条件.

证 因为A 的概率不等于0和1,所以A 的概率不等于0和1,

P(B|A) P(B|A)鸣胞

P(A) P(A)

[1 P(A)] P(AB) P(A)[ P(B) P(AB)] P (AB) P(A) P(B),

28.设六个相同的元件，如下图所示那样

安置在系统中，设每个元件正常工作的概率 为

P ，求这个系统正常工作的概率。假定各个 能否

正常工作是相互独立的.

A ｛代表这个系统正常工作｝,

2 -----

由条件知，P(A) P , P(A)

1

P ( A )= P (A 1AA0+P ( AA ) — P (AAA A 4)

(加法公式)

解 B = ｛从人群中任取一人是男性｝

A = ｛色盲患者｝

所以

P (B|A)

P(B) P( A|B)

O.5 O.05 20

P(A)

0.02625

21

1,2,3,

解：设A ｛第i 条线路正常工作｝,

P(A) 1 P(A)

P (入 A 2A 3) 1

(1 2,3

P ).

［二十六(1) ］设有4个独立工作的元件1, 2,

3, 4。它们的可靠性分别为 P 1, P 2, P 3,

F 4,将它们按图( 1)的方式联接，求系统的可靠性。

记A 表示第 i 个元件正常工作，i= 1, 2, 3,

A 表示系统正常。

A=AA 2A 3+ A 1 A 两种情况不互斥

A ｛代表这个系统正常工作

｝

4

=P (A) P (A)P (A)+ P (A) P (A 4)— P (A) P (A) P (A 3) P (A 4)

29.某类电灯泡使用时在 1000小时以上的概率为，求三个灯泡在使用1000小以后最多

只有一个坏的概率.

解 A 表示一个灯泡使用时数在

1000小时以上

P (A ) 0.2

P ｛三灯泡中最多有一个坏｝ =P ｛三个全好｝ +P ｛只有一个坏｝

=CiT+C 孑2

(1 -=.

手的命中率.

4

解 n 1P

(命中 0

次)I (1

P)4

, (1

P)4

1

31.某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为， 现若干门炮同时发射一发， 问欲 以99%勺把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮?

解 设需要配置n 门高射炮

A = “高炮击中飞机”，贝y P (A ) 0.6

P ｛飞机被击中｝ =P ｛ n 门高射炮中至少有一门击中｝

1 0.4n

99%

至少配备6门炮.

32.设有三门火炮同时对某目标射击， 命中概率分别为、、，目标命中一发被击毁的概率

为，命中二发被击毁的概率为， 三发均命中被击毁的概率为， 求三门火炮在一次射击中击毁 目

标的概率.

解 设A = ｛目标一次射击中被击毁｝

B i = ｛目标被击中的发数｝ , ( i 0, 1 , 2, 3,)

则 P(B o ) 0.8 0.7 0.5 0.28

P(B 1) =XX +XX +XX = P (B 2) =XX +XX +XX =

I (1 P|A|)n

=1

-P ｛ n 门高射炮全不命中｝

0.4n

0.01

n 心1 5 026

lg0 4

=P 1P 2P 3+ PiR — PiRR Pi

(A , A, A 3, A 4 独立)

30. 一射手对同一目标独立进行了四次射击

，若至少命中一次的概率为

80 81

求该射

P( B3)=XX =

P(A|B o) 0 P(A| B i ) 0.2 P(A|B2) 0.6 P(A|B3) 0.9

3

所以P (A) PB i P A B i X +X +X =.

i 0

6. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

则A表“ 4只人不配对”

从6 * * * 10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。

4双'再在4双中的每一双里任取一只。取法有5 24