初中数学解题常见错误原因与对策

初中数学解题常见错误原因与对策

多同学在解答数学问题时，常常出现这样或那样的错误，究其原因，除了运算上的粗心，对数学概念、定理、公式、法则等缺乏深刻理解和正确使用外，有些错误的产生还是有其内在的合理性。因此，笔者认为，对错误进行系统分析，从而充分暴露学生的真实思维过程、暴露其方法择优过程和解题偏差过程，让他们了解自身不完善和错误的地方，转变思维方式、方法和策略显得尤为重要。本文就初中数学解题常见错误的归因与对策作一简要分析。

1．初中数学解题常见错误归因

1．1 单纯为了追求数学美

数学是美的，所以令无数英雄竞折腰。相信大家都有这样的切身体会：一道数学难题的解决，一个定理的发现，一个猜想的证明，是多么地让人激动与陶醉。很多数学结论，美得让人震撼。例如：a+b=b+a；黄金分割；三角形的3条高所在直线、3条中线、3条内角平分线分别交于一点等。所以，许多同学根据美学的和谐原则，习惯地认为：

(a+b)2= a2+b2

sin（A+B）=sinA+sinB

……

出现这种错误的学生何其多矣！但从某种程度来讲，“爱美之心，人皆有之”，我们实在不该太多地责备这样的错误。但我们应该告诉学生：美观的东西不一定都是好东西，正如罂粟花，虽然美丽但有毒，金玉其外但败絮其中，光靠美观，不足以学好数学。

1．2 小学数学的干扰

从初中一开始，学生在小学数学学习过程中形成的一些认识会影响他们学习代数初步知识。

例如，在同学们刚学习正负数时，教材曾把算术数前带有正号和符号的数分别叫做正数和负数。随着学习的逐步深入，特别是在学习过用字母表示数和有理数的运算以后，再这样形式地理解正负数就非常不够了。这时应当把负数理解为小于零的数。所以学生极易出现-a是负数，a＞-a等错误。另外，因“+”“-”号长期作为加、减号使用，学生谙熟于心，对于3-4+5-6，习惯上看作3减4加5减6，而初一在讲有理数加减混合运算时更需要把上式看作正3、负4、正5、负6的和。对习惯看法的印象越深，新的看法就越难牢固树立。

又如，在小学里，老师强调：假分数都可以化成整数或带分数。小学生对此深信不疑。升入初中后，情况发生了根本性改变：运算结果一般写成假分数形式，学生对此很不理解。所以他们经常受此思维的影响，出现了错误。

再有，学生习惯于算术解法解应用题，这会对学生列方程解应用题产生干扰。例如，在求两车追及问题时（甲、乙两人从相距10km的两地同时骑车出发，同向而行，甲每小时行18km，乙每小时行16km，经过多少时间甲追上乙？），不少同学列出的“方程”为x= ，由此可以看出学生拘泥于算术解法的痕迹。而初中需要列出18x-16x=10这样的方程，这表明学生对已知数和未知数之间的相等关系的把握程度。

1．3 初中数学前后知识的冲突

任何数学问题都是一边建构在旧知识上面，一边挂靠着新知，新知是在用旧知无法解决问题的情况下反思再进的结果，而由旧知到新知往往存在着认知上的矛盾和冲突。

例如初二时有一位同学课后跑到我办公室，神秘地说，我证明了“2=1”。且看他的证法：设a=b，则a2=ab

∴a2-b2=ab- b2

即(a+b)(a-b)=b (a-b)

∴a+b=b

由a=b，得2b=b

∴2=1

类似地，另一位同学也曾有这样的“发现”：

∵4-10=9-15

∴4-10+6.25 = 9-15+ 6.25

∴(2- )2 = (3- )2

∴2- =3-

∴2 = 3

这些同学热心探索数学、不迷信权威的精神值得肯定。但是我想，若把如下问题问他们：在a=b 前提条件下，(a+b)(a-b)=b (a-b)能否两边同时除以a-b从而得到a+b=b？的值为多少？相信他们因提取、运用的知识少，因而受到知识面的干扰小，产生错误的可能性小；而一旦遇上综合问题，则在知识的选取上、运用上受到的干扰大，容易出错。

2．初中数学解题常见错误矫治对策

2．1 预见“错误”，教师讲解要有针对性

预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师若能够预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有针对性地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。

案例1讲解一元一次不等式时，老师在黑板上一口气板演解4个不等式题（具体解法略）：

(1)2-3x≥8-x

(2) -1

(3)1+ X≥5-X

(4)1-x≤ - (x+1)，并把所得解集在数轴上表示.

经过学生的独立思考，分组讨论，“诊断报告”一一出炉：

(1) 不等式的两边除以一个不等于零的数时，应考虑该数的正负从而决定不等号是否改变方向。而第1题老师解的过程中没有注意到这一点，从而导致结论的错误。

(2) 去分母时，不等式两边都乘以公分母6，而第2题老师的解法中“-1”这一项却漏乘了6，因此，导致结果错误。

(3) 分数线不仅有“除号”的作用，而且也起着括号的作用，因此，去分母时，分子上的多项式要括号括起来，而老师的解法中正好忽视了这一点。

(4) 此题解不等式的过程完全正确，但在数轴上表示不等式的解集是错误的，在数轴表示不等式解集时，解集含有等号应画实心圆点，而老师画的图中却画了空心圆圈。

正是由于初学“解一元一次不等式”时，学生对不等式的概念、基本性质和同解变形掌握不好，极易出现一些错误。因此本案例以老师故意做错作业，让学生批改作业的形式创设了师生平等交流的氛围，调动了学生敢思敢说的积极态度，让学生开“处方”治“毛病”，为揭示错误、消灭错误打下了坚实的基础。

2．2 反思“错误”，激发学生探究意识

数学解题后的反思一直是数学学习活动最重要的环节，它对矫治学生错误起着至关重要的作用，但由于操作性不强，致使它也是最薄弱的环节。弗莱登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力。”那么学生在解题后要反思些什么，即如何进行反思呢？笔者认为，学生解题后的反思主要包括：

(1) 回忆自己问题解决的结果和过程，找出出错之处，明确正确解题思路和方法；

（2）分析解题过程出现错误的原因，提出改进措施；

(3) 思考变换问题条件将如何影响问题的解决

学生有了明确的探究意识，这位老师的做法好就好在将“错误”丢给了学生，让他们自己去解决，放手给了学生一个自我评价和互相评价的机会，无需老师“牵着手走”。通过讨论，学生也真正将自己置身于探究的主体，在反思中去领悟、去发现。

2．3 利用“错误”，让“错误”成为学生探索的动力

从新课程标准的视角来看，“错误”是一种来源于学生的学习活动本身的教学材料，它对学生具有特殊的教育价值，有时比教师的铮铮教诲更有说服力，为了学生的发展，我们应该善待“错误”这一宝贵资源，主动对其进行开发、利用，变“废”为“宝”。平时我们可以根据学生作业或试卷中出现的错误，利用数学开放题开展纠错课。

案例老师提出问题：(1)已知三角形内角比为1:2:3,求外角比；(2)已知四边形ABCD 中，∠A: ∠B: ∠C : ∠C=1:2:3:4, 求外角比.以下是两位同学的解题过程，他们的解法正确吗？如果不正确，你认为错在哪里；如果正确，你还有其它不同的解法吗？

(1)甲解：外角比为(2+3):(1+3):(1+2)=5:4:3

(2)乙解：外角比为(2+3+4):(1+3+4):(1+2+3)=9:8:6

经过分组探索、集体讨论后，同学们一致认为甲解是正确的，并且总共得到三种解法。然后再做变式练习，让学生归纳出一般结论：已知任意三角形的三个内角比为a:b:c,则外角比为(b+c):(a+c):(a+b).

接着分析乙解，同学们指出其错误根源——思维定势，仿照了三角形内角与外角的关系。于是讨论该题的正确解法。经过思考有人发现结果是4:3:2:1，有趣的是，外角比的顺序恰好与内角比是相反的。教师引导学生观察内角比特点，然后做变式练习，由学生归纳出一般结论：四边形四个内角比为a:b:c:d，且两个数之和等于另两个数之和，例如a+b=c+d，则外角比为：b:a:d:c。然后老师又引导学生来讨论一般四边形，已知内角比，如何简便地求外角比呢？例如：四边形四个内角比为∠A: ∠B: ∠C : ∠C = 3:5:8:9，求它们的外角比。在学生探索出之后，师又问：能否用字母说明一般情况呢？并要求大家思考：

(1)如果已知五边形内角比为a:b:c:d:e，求它们的外角比等于多少？六边形呢？……进一步，n边形呢？

(2)如果已知四边形外角比为a:b:c:d，如何求它的内角比？五边形呢？n边形呢？

错误是正确的先导，成功的开始，这一案例真是对这一句话的最好阐释。在讨论过程中，学生得到了不少好的结论，他们俨然变成了一个个小小的数学家、发明家。解题错误的阴影不仅轻轻地从头脑中挥去，而且学生的元认知水平得到培养，他们对探索数学的兴趣也与日俱增。