初中数学证明题的解题技巧

浅谈初中数学证明题解题技巧与步骤

北师大版初中数学教材中《证明》占三章节，教材这样安排的目地是想：通过对《证明》的学习，让学生通过对图形的性质及相互关系进行大量的探索，在探索的同时，使学生经历推理的过程，进行了简单的推理训练，从而具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。但生活很丰满，现实很骨干，许多学生在实际解决证明题的过程中，却因为种种原因而感到无从下手！那如何求解证明题呢？如何让学生不再畏惧证明题呢？通过对教材中《证明》的教学，根据学生的认知水平，本人认为可以从以下六个方面来解决：

[例题]

证明：等腰三角形两底角的平分线相等

1.弄清题意

此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据命题的定义可知，命题由条件与结论两部分组成，因此区分命题的条件与结论至关重要，是解题成败的关键。命题可以改写成“如果………..，那么……….”的形式，其中“如果………..”就是命题的条件，“那么…….”就是命题的结论，据此对题目进行改写：如果在等腰三角形中分别作两底角的平

分线，那么这两条平分线长度相等。于是题目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作两底角平分线，然后根据已知的条件去求证这两条平分线相等。这样题目要求我们做什么就一目了然了！

2.根据题意，画出图形。

图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。

3.根据题意与图形，用数学的语言与符号写出已知和求证。

众所周知，命题的条件---已知，命题的结论---求证，但要特别注意的是，已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。

已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是△ABC的角平分线。

求证：BD=CE

4.分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

分析：此题要想证明 BD=CE ,就要引导学生观察图形（图形（1）），弄清题意。发现BD、CE分别存在于两对三角形中：△ABD与△ACE，△BEC与△CDB,只要能证明其中任何一对三角形全等，即可利用全等三角形性质得到对应边相等。（此思维属于逆向思维）

5.根据证明的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程

证明过程的书写，其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上。

这个过程，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”，在书写是都要符合公理、定理、推论或以已知条件相吻合，不能无中生有、胡说八道，要有根有据！

证明：

∵AB=AC(已知)

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)

∵BD、CE分别是△ABC的角平分线(已知)

∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB（角平分线的定义）

∴∠1=∠2(等量代换)

在△BEC与△CDB中，

∵∠ACB=∠ABC, BC=CB, ∠1=∠2

∴△BEC≌△CDB(ASA)

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

6.检查证明的过程，看看是否合理、正确

任何正确的步骤，都有相应的合理性和与之相应证的公理、定理、推论，证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键。最后，同学们在平时练习中要敢于尝试，多分析，多总结。

如何让学生在书写证明题时做到工整大方、有理有据呢？你一定觉得很简单，谁都可以做到。实际上要达到这样要求，对学生有一定难度。为什么呢？一方面是因为新课程注重的是自主探究、合作学习、对话交流，所以数学课堂中较少有时间手把手来纠正学生的书写步骤。另一方面，现在学科设置比较多，因为作业多等原因不容易养成良好的书写规范，所以造成到真正书写步骤的时候特别是考试的时候又回到了老路上来，字迹潦草不能辨认，理由先写一大推然后直接下结论，或者条件与结论的得出根本没有一丝一毫的联系。目前对学生来说，正确的练成说明题解答的规范非常重要。如何有效地辅导学生养成书写规范的习惯呢？愿把我的一点实践与思考与大家分享。

首先教师辅导要有目标，做到心中有数。我的目标就是在养成良好书写规范的习惯，并在学习书写规范中领略到事情前因后果的辩证关

系，体会数学解题中的严谨性，并在考试中不因为步骤而失分。要做到以上的目标，那就要先做好学生的思想工作，因为态度决定一切，书写步骤的前提是要充分认识到步骤的重要性，热爱教学中，经常给学生说说道理，叫学生认识不管是什么事，只要把事情的前因后果给理清楚了，书写步骤就已经成功了以小步了，书写严谨的步骤就是要自己的理论基础。指导中我对学生的整体要求是首先书写自己一定要干净利索，整洁大方，这是基本书写所有文字的前提，这一点也是很重要的。的书写版面，可以不拘一格，最终目标是工整大方。对于写不好的同学的作业就要求其说明理由给我，为什么他是这样做的，这样做的理由是什么，让他意识到在论证的过程中每一个小小结论的得出都是需要正确的理由来说明的，这理由或者是题目已知告诉我们的，或者要根据已知条件来得到推理论证的，整个的过程还是要学生意识到一个命题的两部分题设与结论，且我们研究的是真命题，也就是根据已知的条件要得到相应的正确的结论，而不再是随性的书写。

对于一道证明题，先让学生在草稿纸上把题目给出的已知条件全部按照顺序写好，不要急着去书写步骤，这样容易造成涂改的坏习惯，因为一般学生没有熟练到一定的程度，都不能一步到位的将书写步骤写得非常的完美，所以应该要学生先练习在草稿纸上的工作，将写好的已知条件列好之后，再仔细分析下，我们由已知条件是不是又可以得出比较显而易见的结论，得出的这些结论可能就可以在证明的过程中得到很好的利用。对于一目了然的证明题，我们可以从已知条件所得出的结论中

简单的得到要证明的问题，而大部分证明题是隐藏得比较深的，这时候就应该在做了草稿纸上的工作后，试着从要证明的结论出发，如果我要证明最后的结论，那么我上一步应该要证明的应该是什么结论比较好，这样像剥洋葱一样，将结论看做是罪外面的表皮，一步一步反推上去，并且一定在草稿纸上做好反推的图形示意，就可以得出最上面的一步，这时候就很清楚的意识到，在证明过程中，我们书写的第一步应该是什么，并且在书写的过程中，不断的反问自己，我得出这个结论的原因是什么，我这个已知条件得出这个结论是不是正确的，并且，每当要用一个题目没有出现的结论的时候，一定要在之前做好准备工作，也就是要把得出这个结论的有理有据的步骤书写清楚，只要遵循这几个步骤习惯，我相信，对于证明题的书写过程一定会有所收获的，当然规范的书写步骤的前提是，一定要对课本知识的充分把握，每一个我们讲过的可以利用的公理结论等。

最重要的是要学生自己动手书写，有很多学生让他说明证明题的分析过程可以很好的回答，但是一旦要开始动手操作了就不知所措了，其实这是学生心理的一种恐惧，总觉得自己会书写得不标准，所以这个时候不应该过多的批评否决学生，而是在他书写过程中适时的夸奖鼓励学生，让他体会到学习的乐趣，在自己分析问题中得到自信，强调要学生做到做每一步时的自我反问

以上就是我个人的实践。

初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

(1)“读”——读题

如何指导学生读题？仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步：第一步，粗读（类似语文阅读的浏览）。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求；第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么？并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来（如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等），若题中给出的条件不明显的（即有隐含条件的），还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们；第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。

(２)“析”——分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法。教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法。

(３)“述”——口述

学生学习小组推选小组代表，由小组代表分析自己那一组探究到的证明的思路和方法，口述证明过程及每一步的依据。我们知道学习语文、外语及其他语言都是从“说”开始学起的，那么学习几何语言，也可以尝试先“说”后写。特别是初一初二的学生，让他们先在小组内自主探索、讨论交流，弄清证题思路，然后再让学生代表口述证题过程，这对于训练学生应用和提高几何语言的表达能力很有好处。

(４)“择”——选择最简易的方法

在各位学生代表口述完解题过程后，教师引导学生比较、选择最简单的一种证题方法，这样做，不仅能帮助学生进一步理清证明思路、记忆相关的几何定理、性质，而且还增加了学生学习的兴趣和好奇心，从而激发学生学习的积极性和主动性。

(５)“演”——板演

在学生集体复述解题的基础上，教师板演上述解题过程，给学生作证题的书写示范，让学生体会怎样合理、规范、科学地书写证明过程。

(６)“练”——变式练习

变式，既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方法。通过变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到：变式教学符合学生是认知规律，能有层次地推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用道各种情景中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高学生研究、探索问题的能力，提高数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

因此，在学生获得某种基本的证法后，教师可以通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题。

在此基础上，再让学生分组讨论，合作交流，作出更多的变式题目，并思考改变了已知或结论的题目又如

从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：（1）按照题意画出图形；（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。一、直接证明 1、综合法（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. （2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论. 2、分析法（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法. （2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 二、间接证明反证法 1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最

后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 2、反证法的特点：反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的. ３、反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件. ４反证法主要适用于以下两种情形：（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形