(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案
等差、等比数列基础练习题及答案
一、选择题
1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）
A. 2013
B. 671
C. -671
D.
2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）
A. B. C. D.
3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）
A. 2
B. 3
C. 2017
D. 3033
4.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）
A. 27
B. 28
C. 26
D. 29
5.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）
A. 2
B.
C. -1
D. 2018
6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）
A. 49
B. 42
C. 35
D. 28
7.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则
a2+a1007+a2012=（）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 40
8.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）
A. 45
B. 46
C. 47
D. 48
10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）
A. 66
B. 55
C. 44
D. 33
二、填空题
1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式
a n=______．
2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么
a n=______．
3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．
4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．
5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．
6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．
7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．
三、解答题
1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设（n∈N+），求的值．
2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：
（Ⅰ）求此等差数列的公差d；
（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；
（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．
3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．
4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．
（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；
（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；
（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：.
等差、等比数列基础练习题答案
【答案】(选择题解析在后面)
1. D
2. C
3. A
4. B
5. A
6. B
7. B
8. C9. B10. D
12. 2n13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-1
16. -17. 18. 81
19. 解：（1）当n=1，a1=，
当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，
∴a n-a n-1=0，
即a n=a n-1，
数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，
∴a n=．
（2）S n=1-a n=1-（）n，
∴b n=n，
∴==-，
∴=1-+-+…+-=1-=．
20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，
因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；
（Ⅲ）由，解得0＜n＜．
因为n∈N*，所以n的最大值为12．
21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．
则：S n+1=2a n+1-2②，
②-①得：a n+1=2a n，
即：（常数），
当n=1时，a1=S1=2a1-2，
解得：a1=2，
所以数列的通项公式为：，
（Ⅱ）由于：，
则：，
=，
=2n+1-2．
-2-2- (2)
=2n+2-4-2n．
22. 解：（1）由，可得，，…，，，
，a9=0，…，
即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）
故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；
若a1=4k+1（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）
若a1=4k+2（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，
故a1=2；
若a1=4k+3（k∈Z）时，，，
由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；
∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）
（3）由（m≥3），可得，，
，
若，则a k是奇数，从而，
可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…
故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）
故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+...+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+...+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+ (21)
-m-3=2m+1-m-5，
故．…（18分）
1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，
∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2
a3n-2+a3n-1+a3n
=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，
∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，
∴S2013=-×671=-．
故选D．
由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由
a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．
本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．
∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．
∴=2+2016=2018．
则a2017=．
故选：C．
a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），
∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2
由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．
本题考查了数列的递推公式，属于基础题．
4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，
∴（a n+1-a n）2=9，
∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，
∵{a n}是正项数列，a1=1，
∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，
∴a10=1+9×3=28．
故选B．
由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．
5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，
a3==-1 a4==2
a5==，a6==-1．a7==2．
故选：A．
利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．
6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，
∴2（a1+5d）=a1+7d+6，
∴a1+3d=6，∴a4=6，
∴=42．
故选：B．
由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数
列的前n项和公式能求出S7．
本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根
∴a1+a2013=10
由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007
∴a2+a1007+a2012=15
故选：B
由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．
本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．
8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，
n=1满足a n，
∴a n=2n-4，
∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，
∴k=4，
故选C；
先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式
a n=的合理运用，属于基础题．
9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，
∴a1+（k-1）d=10a1+45d
∵a1=0，公差d≠0，
∴（k-1）d=45d
∴k=46
故选B
由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题
10. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．
则S11==11×3=33．
故选：D．
利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12. 解：由S n=n2+n，得
a1=S1=2，
当n≥2时，
a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．
当n=1时上式成立，
∴a n=2n．
故答案为：2n．
由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．
本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，
∴数列{a n}为等比数列，
∵a1=1，a2=，
∴q=，
∴a n=，
故答案为：
由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式
本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．
14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，
∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，
∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，
∴a n=-2-2（n-1）=-2n．
∴a3=-6，
∴数列{a n}前10项的和S10==-110．
故答案分别为：-6；-110．
对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 解：在数列{a n}中，由，
可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，
∴a n=1+2（n-1）=2n-1；
由，
可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，
∴．
故答案为：2n-1；2n-1．
由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．
本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．
16. 解：由题意，a n+1-a n=-，
利用叠加法可得a n-a1=1-=，
∵a1=-1，
∴a n=-，
故答案为-．
由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．
本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．
17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），
可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．
可得=+5（n-1），
解得a n═．
故答案为：．
判断数列{}是等差数列，然后求解即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．
18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，
∴3a4=33，3a6=21；
∴a4=11，a6=7；
数列{a n}前9项的和：
．
故答案为：81．
根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．
本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．
19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，
（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案
本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；
（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．
本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．
21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．
22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；
（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；
（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．
本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．
等差等比数列基础练习题
针对练习A1：等差数列 一、填空题 1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________. 2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________ 3. 在等差数列中已知13 d =-，a 7=8，则a 1=_______________ 4. 2()a b +与2()a b -的等差中项是_______________ 5. 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54 6. 正整数前n 个数的和是___________ 7. 数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________ 8. 已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=___时，S n 的值最小，S n 的最小值是_______。 二、选择题 1. 一架飞机起飞时，第一秒滑跑 2.3米，以后每秒比前一秒多滑跑4.6米，离地的前一秒滑跑66.7米， 则滑跑的时间一共是（ ） A. 15秒 B.16秒 C.17秒 D.18秒 2. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ c ） A.84 B.72 C.60 D.48 3. 在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S = ，8a 为（A ） A.6 B.3 C.12 D.4 4. 等差数列{}n a 中, 12318192024,78a a a a a a ++=-++=,则此数列前20下昂的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.220 5. 在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ） A.45 B.75 C.180 D.300 6. 若lg2,lg(21),lg(23)x x -+成等差数列，则x 的值等于（ ） A.0 B. 2log 5 C. 32 D.0或32 7. 设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，且是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8. 数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ） A. 41n a n =- B. 322n a n n n =-++ C. 21n a n n =++ D.不存在
等差等比数列的证明例举
等差等比数列的证明 在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。 一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比） （3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比） （4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比） （2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比） 二、典型例题： 例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+． 求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
二-等差等比数列性质练习题(含答案)以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点 （一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为n 2d 的等差数列；
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（） A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（） A. B. C. D. 3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（） A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则 a2+a1007+a2012=（） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______． 4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______． 5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ． 6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ． 7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．
证明或判断等差(等比)数列的常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来． 一、利用等差（等比）数列的定义 在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，， 猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
等比数列的概念与性质练习题
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
等差等比数列基础练习题一
等差数列练习题 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、 -101 C、101 D、-89 2．等差数列{a n}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为（） A、4 B、5 C、 6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1+a7=42， a10-a3=21，则前10项的S10等于（） A、 720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（） A、 B、 C、或 1 D、 6、已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数 列{C n}，其通项公式为（） A、 C n=4n-3 B、 C n=8n-1 C、C n=4n-5 D、C n=8n-9 7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（） A、 6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列{a n+b n}的前100项和为（） A、 0 B、 100 C、10000 D、505000
二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n=m，a n+m=0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。 11．在等差数列{a n}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到 a30的和是 ______ 。 12．已知等差数列 110， 116， 122，……，则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。 三、解答题 13．已知等差数列{a n}的公差d=，前100项的和S100=145 求： a1+a3+a5+……+a99的值。 14．已知等差数列{a n}的首项为a，记 (1)求证：{b n}是等差数列 (2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为 3 ：2，求{b n}的公差。
等差数列、等比数列基础题
等差、等比数列 一、选择题： 1.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.12 D.2 2、在等比数列{n a }中，44a =，则26a a ?等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 3、在等比数列{n a }中，333S a =，则其公比q 的值为（ ） A. 12- B. 12 C. 1或12- D.1-或12 4.已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 5、如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么（ ） A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9 C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9 6、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若a 1=1，a 5=16，则数列{}n a 的前7项的和为（ ） A.63 B.64 C.127 D.128 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B 53 C.- 2 D 3 8、设等比数列{}n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S 等于（ ） A.2 B.4 C.215 D.2 17 9、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( ) A. 52 B. 7 C. 6 D. 42 二、填空题： 11、已知{}n a 是等比数列，22=a ，434=-a a ，则此数列的公比=q _________； 12、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =.若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则=k _________； 13、若数列{}n a 的前n 项和n S a n -=3，数列{}n a 为等比数列，则实数a 的值是_________；
新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
(完整版)高二等差、等比数列基础练习题及答案.doc
等差、等比数列基础练习题及答案 一、选择题 1. 数列 { a n } 满足 a 1=a 2=1， ，若数列 { a n } 的前 n 项和为 S n 2013 ） ，则 S 的值为（ A. 2013 B. 671 C. -671 D. 2.已知数列 { a n } 满足递推关系： a n+1= ， a 1= ，则 a 2017=（ ） A. B. C. D. 3.数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S n =2n-1（n ∈N +），则 a 2017 的值为 （ ） A. 2 B. 3 C. 2017 D. 3033 4. 已知正项数列 { a n } 满足 ，若 a 1=1，则 a 10= （ ） A. 27 B. 28 C. 26 D. 29 5. 若数列 {a n } 满足： a 1=2 ，a n+1= ，则 a 7 等于（ ） A. 2 B. C. -1 D. 2018 6. 已知等差数列 { a n n 6 3 7 ） } 的前 n 项和为 S ，若 2a =a +6，则 S =（ A. 49 B. 42 C. 35 D. 28 7. 等差数列 { a n } 中，若 a 1，a 2013 为方程 x 2 -10x+16=0 两根，则 a 2+a 1007+a 2012=（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 40 8. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 ，若它的第 k 项满足 2＜a k ＜5， 则 k=（） A.2 B.3 C.4 D.5
9.在等差数列 { a n} 中，首项 a1=0，公差 d≠0，若 a k=a1+a2+a3+ +a10，则 k=（） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 10.已知 S n是等差数列 { a n} 的前 n 项和，则 2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则 S11=（） A. 66 B. 55 C. 44 D. 33 二、填空题 1.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n2+n，则该数列的通项公式 a n=______． 2.正项数列 { a n} 中，满足 a1=1，a2= ， = （n∈N*），那么 a n=______． 3.若数列 {a n} 满足 a1=-2，且对于任意的 m，n∈N*，都有 a m+n=a m+a n，则 a3=______；数列 { a n} 前 10 项的和 S10=______． 4. 数列 { a n} 中，已知 a1=1，若，则 a n=______，若，则 a n =______． 5.已知数列{ a n 1 n+1 n *，则通项公式a n = } 满足 a =-1 ，a =a + ，n∈N ______ ． 6. 数列 { a n} 满足 a1=5，- =5（n∈N+），则 a n= ______ ． 7. 等差数列 { a n} 中， a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列 { a n} 前 9 项的和 S9等于 ______．
等差、等比数列证明(补差1)
1. 等差、等比数列证明 例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。 解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 例2： 设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。 （1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列； 证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。 （2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。
例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。 解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。 注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。 例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。 证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。） 又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和
【例1】 设等比数列的首项为a(a ＞0)，公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q ． 解 由S n =80，S 2n =6560，故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????????=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a ＞0，q ＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为a n ． ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q －1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n ) 类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n ) ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )] =S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋ 说明 本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地
处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析 设等比数列为{a n }，公比为q ，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q 2，首项分别为a 1，a 1q ． 解 设项数为2n(n ∈N*)，因为a 1=1，由已知可得q ≠1． ∴① ② a q q a q q q n n 122 1221111() ()----???????=85=170 ① ②得：把代入① 得 ∴q =2q =2=85 4=256 n =4 n 14 14 --n 即公比为2，项数为8． 说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时，对公比q 要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的． 【例4】 选择题：在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有S n =2n －，则＋＋…＋等于1a a a 1222n 2 [ ] A (21) B (21) C 21 D (41) n 2n 2 n n ．－．－．－．－1 3 13 解 D ． ∵a 1=S 1=1，a n =S n －S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1