模拟退火算法原理及matlab源代码

模拟退火算法模拟退火算法是一种通用的随机搜索算法，是局部搜索算法的扩展。它的思想是再1953 年由metropolis 提出来的，到1983 年由kirkpatrick 等人成功地应用在组合优化问题中。

模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis 准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e- △ E/(kT)，其中E为温度T时的内能，AE为其改变量，k 为Boltzmann 常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f ,温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解-计算目标函数差T接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooli ng Schedule)控制，包括控制参数的初值t 及其衰减因子△ t、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则：若厶t‘ <0 则接受S'作为新的当前解S,否则以概率exp(- △ t‘ /T) 接受S'作为新的当前解S。

第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。

可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，

则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

模拟退火算法的步骤：

(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L

(2) 对k=1,……,L做第⑶ 至第6步：

(3) 产生新解S'

(4) 计算增量△ t '二C(S')-C(S)，其中C(S)为评价函数

(5) 若△ t ' <0则接受S'作为新的当前解，否则以概率exp(- △ t ' /T)接受S'作为新的当前解.

(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

退火算法解非线性方程组Matlab 程序clear,clc

%这是退火算法的主程序，它需要调用的函数是

漏数(1) nonLin earSumErrorl:计算非线性方程组总误差的函数

%函数(2)newSolver1:在一组解的邻域产生另一组解

%函数(3)isSolutio n: 验证方程是否得解

%设置初始值

i=0;T=10001;j=0;%i: 同一温度下状态转移次数;T: 温度；j: 下降温度

precision=0.1;

x1Group=1;%x1Group可能解的组数x1N=4;%E线性方程组的元数x1=round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20);% 随机生成-10~10 之间的初解

errorHold=Inf;

xHold=0;

%x1=[-7 5 1 -3];

i=0;

while i<200

i=i+1;

j=0;

T二T-50;%退火

while j<200 j=j+1;

functionError1=nonLinearSumError1(x1);% 计算x1 的误差x2=newSolver1(x1,functionError1,-10,1,10);% 在x1 的邻域生成新一组解x2

functionError2=nonLinearSumError1(x2);% 计算x2 的误差%检查方程是否得解

[solution1,minError1,isTrue1]=isSolution(x1,functi

onError1,precision);

[solution2,minError2,isTrue2]=isSolution(x2,functi

onError2,precision);

if isTrue1==1 ' 方程得解' functionError1 solutiourn i,j return elseif isTrue2==1 ' 方程得解' solution2 functionError2 i,j return end %x1 %x2 if functionError2-functionError1<0

x1=x2;%x2 比x1 好，用x2 取代x1 elseif errorHold-functionError2<0 %x1=xHold;

else

p_x2x1=exp(-log(functionError2-functionError1)/T); %状态转移概率，注意：误差取对数，因为要解的非线性方程组比较复杂，

%可能解的一点偏差会引起方程很大的变化。所以通过取对数缩小差距。

if rand(1)

end

end

end

end solution1 functionError1 solution2 functionError2

函数(1) ：计算待解方程的绝对总误差

function funtionError=nonLinearSumError1(X)% 方程的解是-7,5,1,-3

funtionError=...

[

abs(X(:,1)八2-si n(X(:,2)八3)+X(:,3)八2-exp(X(:,4)) -

50.0821)+...

abs(X(:,1).A3+X(:,2).A2-X(:,4).A2+327)+... abs(cos(X(:,1)八4)+X(:,2)八4-X(:,3)八3-624.9613)+.

abs(X(:,1)A4-X(:,2)A3+2.AX(:,3)-X(:,4)A4-2197)

];

函数(2) ：在x1 的领域产生一组新的解

%newSolver1 根据x1 的误差给出一个新的可能解x function x2=newSolver1(x1,x1Error,leftBound,distance,rightB ound) %parameter=[leftBound,distance,rightBound]

%leftBound: 解空间的左边界，distance: 可能解的间隔，rightBound: 解空间的右边界%解空间是指在一个坐标轴上解的左右边界和解之间的间隔

[x1Group,x1N]=size(x1); %x1Group:x1的行数，x1N:方程的元数%round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*2) if x1Error<=30% 在解空间上移动 1 格x2=x1+round((-

0.5+rand(x1Group,x1N))*2)*distance; k=x2

k=x2>rightBound;% 防止新解越过右边界x2(:,k)=rightBound; elseif x1Error>30 && x1Error<=100% 在解空间上移动3 格以下

x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*6)*distance;

k=x2

x2(:,k)=leftBound; k=x2>rightBound;

x2(:,k)=rightBound;

elseif x1Error>100 && x1Error<=1000%在解空间上移动9 格以下

x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20)*distance;

k=x2

x2(:,k)=leftBound; k=x2>rightBound;

x2(:,k)=rightBound;

elseif x1Error>1000 && x1Error<=10000% 在解空间上移动20 格以下

x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*40)*distance;

k=x2

x2(:,k)=leftBound; k=x2>rightBound;

x2(:,k)=rightBound;

elseif x1Error>10000% 在解空间上移动30 格以下

x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*60)*distance;

k=x2

x2(:,k)=leftBound;

k=x2>rightBound;

x2(:,k)=rightBound;

end

if x1==x2

x2=round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20);

end

函数(3) ：%判断方程是否解开function

[solution,minError,isTrue]=isSolution(x,functionEr

ror,precision)

[minError,xi]=min(functionError);% 找到最小误差，最小误差所对应的行号solution=x(xi,:);

if minError

isTrue=1;

else

isTrue=0;

end

end