数学初一上学期数学期末试卷带答案
数学初一上学期数学期末试卷带答案
一、选择题
1．若34(0)x y y =≠，则（ ）
A ．34y 0x +=
B ．8-6y=0x
C ．3+4x y y x =+
D ．
43
x y = 2．如图，已知,,A O B 在一条直线上，1∠是锐角，则1∠的余角是（ ）
A ．1
212∠-∠
B ．132122
∠-∠
C ．1
2()12
∠-∠
D ．21∠-∠
3．直线3l 与12,l l 相交得如图所示的5个角，其中互为对顶角的是（ ）
A ．3∠和5∠
B ．3∠和4∠
C ．1∠和5∠
D ．1∠和4∠ 4．若多项式229x mx ++是完全平方式，则常数m 的值为()
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．+6
5．如图，已知直线//a b ,点,A B 分别在直线,a b 上，连结AB .点D 是直线,a b 之间的一个动点，作//CD AB 交直线b 于点C,连结AD .若70ABC ?∠=，则下列选项中D ∠不可能取到的度数为()
A ．60°
B ．80°
C ．150°
D ．170° 6．化简(2x －3y )－3(4x －2y )的结果为( )
A ．－10x －3y
B ．－10x ＋3y
C ．10x －9y
D ．10x ＋9y
7．按如图所示图形中的虚线折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．点()5,3M 在第( )象限． A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．赣州是中国脐橙之乡，据估计2013年全市脐橙总产量将达到150万吨，用科学计数法
表示为 ( )吨. A ．415010?
B ．51510?
C ．70.1510?
D ．61.510?
10．图中是几何体的主视图与左视图, 其中正确的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．用一个平面去截：①圆锥；②圆柱；③球；④五棱柱，能得到截面是圆的图形是（ ） A ．①②④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①③④ 12．若2m ab -与162n a b -是同类项，则m n +=（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
二、填空题
13．在数轴上，若A 点表示数﹣1，点B 表示数2，A 、B 两点之间的距离为 ． 14．多项式2x 3﹣x 2y 2﹣1是_____次_____项式． 15．化简：2xy xy +=__________．
16．如果一个数的平方根等于这个数本身，那么这个数是_____.
17．如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字的和都相等，则这个正方体的六个面上的数字的总和为________．
18．比较大小：﹣（﹣9）_____﹣（+9）填“＞”，“＜”，或”＝”符号） 19．若α与β互为补角，且α＝50°，则β的度数是_____．
20．如图，将1～6这6个整数分别填入如图的圆圈中，使得每边上的三个数之和相等，则符合条件的x 为_____．
21．若
2a +1与212
a +互为相反数，则a ＝_____． 22．如图，将△ABE 向右平移3cm 得到△DCF,若BE=8cm ，则CE=______cm.
23．若代数式x 2+3x ﹣5的值为2，则代数式2x 2+6x ﹣3的值为_____． 24．已知关于x 的方程4mx x -=的解是1x =，则m 的值为______.
三、压轴题
25．小刚运用本学期的知识，设计了一个数学探究活动.如图1，数轴上的点M ，N 所表示的数分别为0，12.将一枚棋子放置在点M 处，让这枚棋子沿数轴在线段MN 上往复运动（即棋子从点M 出发沿数轴向右运动，当运动到点N 处，随即沿数轴向左运动，当运动到点M 处，随即沿数轴向右运动，如此反复?）.并且规定棋子按照如下的步骤运动：第1步，从点M 开始运动t 个单位长度至点1Q 处；第2步，从点1Q 继续运动2t 单位长度至点2Q 处；第3步，从点2Q 继续运动3t 个单位长度至点3Q 处…例如：当3t =时，点1Q 、
2Q 、3Q 的位置如图2所示.
解决如下问题：
（1）如果4t =，那么线段13Q Q =______；
（2）如果4t <，且点3Q 表示的数为3，那么t =______； （3）如果2t ≤，且线段242Q Q =，那么请你求出t 的值. 26．问题：将边长为
的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则
该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
探究：要研究上面的问题，我们不妨先从最简单的情形入手，进而找到一般性规律.
探究一：将边长为2的正三角形的三条边分别二等分，连接各边中点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图①，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下看：
边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，共有个；
边长为2的正三角形一共有1个.
探究二：将边长为3的正三角形的三条边分别三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
如图②，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，共有个；边长为2的正三角形共有个.
探究三：将边长为4的正三角形的三条边分别四等分（图③），连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
结论：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形和边长为2的正三角形分别有多少个？
（仿照上述方法，写出探究过程）
应用：将一个边长为25的正三角形的三条边分别25等分，连接各边对应的等分点，则该三角形中边长为1的正三角形有______个和边长为2的正三角形有______个. 27．已知线段30AB cm =
（1）如图1，点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动，同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动，几秒钟后，P Q 、两点相遇？ （2）如图1，几秒后，点P Q 、两点相距10cm ？
（3）如图2，4AO cm =，2PO cm =，当点P 在AB 的上方，且060=∠POB 时，点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向
A 点运动，假若点P Q 、两点能相遇，求点Q 的运动速度．
28．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（2，8），点N 的坐标为（2，6），将线段MN 向右平移4个单位长度得到线段PQ （点P 和点Q 分别是点M 和点N 的对应点），连接MP 、NQ ，点K 是线段MP 的中点． （1）求点K 的坐标；
（2）若长方形PMNQ 以每秒1个单位长度的速度向正下方运动，（点A 、B 、C 、D 、E 分别是点M 、N 、Q 、P 、K 的对应点），当BC 与x 轴重合时停止运动，连接OA 、OE ，设运动时间为t 秒，请用含t 的式子表示三角形OAE 的面积S （不要求写出t 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，连接OB 、OD ，问是否存在某一时刻t ，使三角形OBD 的面积等于三角形OAE 的面积？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明理由．
29．如图，数轴上有A ， B 两点，分别表示的数为a ，b ，且()2
25350a b ++-=．点
P 从A 点出发以每秒13个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B 点后立即以相同的速度返回往A 点运动，并持续在A ，B 两点间往返运动．在点P 出发的同时，点Q 从B 点出发以每秒2个单位长度向左匀速运动，当点Q 达到A 点时，点P ，Q 停止运动． （1）填空：a = ，b = ；
（2）求运动了多长时间后，点P ，Q 第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
（3）求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；
（4）在整个运动过程中，点P和点Q一共相遇了几次．（直接写出答案）
30．如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c-7）2=0．
（1）a=______，b=______，c=______；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；
（3）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C 之间的距离表示为BC．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t的代数式表示）.（4）直接写出点B为AC中点时的t的值.
31．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BO N= ；（直接写出结果）
（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是
∠AOC的平分线；
（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）
32．如图，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若AC=4cm，求DE的长；
（2）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（3）知识迁移：如图②，已知∠AOB=α，过点O画射线OC，使∠AOB:∠BOC=3:1若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试探究∠DOE与∠AOB的数量关系．
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一、选择题
1．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据选项进行一一排除即可得出正确答案. 【详解】
解：A 中、34y 0x +=，可得34y x =-，故A 错； B 中、8-6y=0x ，可得出43x y =，故B 错； C 中、3+4x y y x =+，可得出23x y =，故C 错；
D 中、
43x y
=，交叉相乘得到34x y =，故D 对. 故答案为：D. 【点睛】
本题考查等式的性质及比例的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
由图知：∠1和∠2互补，可得∠1+∠2=180°，即1
2
（∠1+∠2）=90°①；而∠1的余角为90°-∠1②，可将①中的90°所表示的1
2
（∠1+∠2）代入②中，即可求得结果． 【详解】
解：由图知：∠1+∠2=180°，
∴
1
2
（∠1+∠2）=90°， ∴90°-∠1=12（∠1+∠2）-∠1=1
2
（∠2-∠1）． 故选：C ． 【点睛】
此题综合考查余角与补角，难点在于将∠1+∠2=180°进行适当的变形，从而与∠1的余角产生联系．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
两条直线相交后所得的有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此逐一判断即可． 【详解】
A.3∠和5∠只有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，符合题意，
B.3∠和4∠两边不是互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意，
C.1∠和5∠没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意，
D.1∠和4∠没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意， 故选：A. 【点睛】
本题考查对顶角，两条直线相交后所得的有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；熟练掌握对顶角的定义是解题关键.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用完全平方式的结构特征即可求出m 的值． 【详解】
解：∵多项式2222923x mx x mx ++=++是完全平方式， ∴2m ＝±6， 解得：m ＝±3， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
延长CD交直线a于E．由∠ADC＝∠AED＋∠DAE，判断出∠ADC＞70°即可解决问题．【详解】
解：延长CD交直线a于E．
∵a∥b，
∴∠AED＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝70°，
∴∠AED＝70°
∵∠ADC＝∠AED＋∠DAE，
∴∠ADC＞70°，
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．B
解析：B
【解析】
分析：先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项即可．
详解：原式=2x﹣3y﹣12x+6y
=﹣10x+3y．
故选B．
点睛：本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点．解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用棱柱的展开图中两底面的位置对A、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对B、C进行判断．
【详解】
棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以A、D选项错误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以B选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了棱柱的展开图：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可. 【详解】 ∵5>0,3>0,
∴点()5,3M 在第一象限． 故选A. 【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征.第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
将150万改写为1500000，再根据科学记数法的形式为10n a ?，其中110a ≤<，n 是原数的整数位数减1． 【详解】
150万＝1500000＝61.510?， 故选：D. 【点睛】
本题考查科学记数法，其形式为10n a ?，其中110a ≤<，n 是整数，关键是确定a 和n 的值.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图．根据图中正方体摆放的位置判定则可． 【详解】
解：从正面看，左边1列，中间2列，右边1列；从左边看，只有竖直2列，故选D ． 【点睛】
本题考查简单组合体的三视图．本题考查了空间想象能力及几何体的主视图与左视图．
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据圆锥、圆柱、球、五棱柱的形状特点判断即可． 【详解】
圆锥，如果截面与底面平行，那么截面就是圆； 圆柱，如果截面与上下面平行，那么截面是圆； 球，截面一定是圆；
五棱柱，无论怎么去截，截面都不可能有弧度． 故选B ．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同类项的概念求得m 、n 的值，代入m n +即可． 【详解】
解：∵2m ab -与162n a b -是同类项， ∴2m=6，n-1=1， ∴m=3，n=2， 则325m n +=+=． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．
二、填空题 13．3 【解析】
试题分析：用数轴上右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可得到两点之间的距离．
解：2﹣（﹣1）=3． 故答案为3 考点：数轴．
解析：3 【解析】
试题分析：用数轴上右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可得到两点之间的距离．
解：2﹣（﹣1）=3．
故答案为3
考点：数轴．
14．四三
【解析】
【分析】
找到多项式中的单项式的最高次数即为多项式的最高次数，有几个单项式即为几项式．
【详解】
解：次数最高的项为﹣x2y2，次数为4，一共有3个项，
所以多项式2
解析：四三
【解析】
【分析】
找到多项式中的单项式的最高次数即为多项式的最高次数，有几个单项式即为几项式．【详解】
解：次数最高的项为﹣x2y2，次数为4，一共有3个项，
所以多项式2x3﹣x2y2﹣1是四次三项式．
故答案为：四，三．
【点睛】
此题主要考查了多项式的定义．解题的关键是理解多项式的定义，用到的知识点为：多项式的次数由组成多项式的单项式的最高次数决定；组成多项式的单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式．
15．.
【解析】
【分析】
由题意根据合并同类项法则对题干整式进行化简即可.
【详解】
解：
故填.
【点睛】
本题考查整式的加减，熟练掌握合并同类项法则对式子进行化简是解题关键. 解析：3xy.
【解析】
【分析】
由题意根据合并同类项法则对题干整式进行化简即可.
【详解】
解：23.xy xy xy += 故填3xy . 【点睛】
本题考查整式的加减，熟练掌握合并同类项法则对式子进行化简是解题关键.
16．0 【解析】 【分析】
由于任何一个正数的平方根都有两个，它们互为相反数，由此可以确定平方根等于它本身的数只有0． 【详解】 ∵±=±0=0，
∴0的平方根等于这个数本身． 故答案为0. 【点睛】
解析：0 【解析】 【分析】
由于任何一个正数的平方根都有两个，它们互为相反数，由此可以确定平方根等于它本身的数只有0． 【详解】
∵=±0=0，
∴0的平方根等于这个数本身． 故答案为0. 【点睛】
本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
17．36 【解析】 【分析】
根据题意和展开图,求出x 和A 的值,然后计算数字综合即可解决. 【详解】
解：∵正方体的每两个相对面上的数字的和都相等 ∴
∴x=2,A=14
∴数字总和为：9+3+6+6+
解析：36 【解析】
根据题意和展开图,求出x 和A 的值,然后计算数字综合即可解决. 【详解】
解：∵正方体的每两个相对面上的数字的和都相等
∴
()9
34322
x x x A +=++=+- ∴x=2,A=14
∴数字总和为：9+3+6+6+14-2=36, 故答案为36. 【点睛】
本题考查了正方体的展开图和一元一次方程,解决本题的关键是正确理解题意,能够找到正方体展开图中相对的面
18．＞ 【解析】 【分析】
根据有理数的大小比较的法则负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数进行比较即可． 【详解】 解：，， ．
故答案为： 【点睛】
本题考查了多重符号化简和有理数的大小比较，
解析：＞ 【解析】 【分析】
根据有理数的大小比较的法则负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数进行比较即可． 【详解】
解：(9)9--=，(9)9-+=-， (9)(9)∴-->-+．
故答案为：> 【点睛】
本题考查了多重符号化简和有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键，理数的大小比较法则是负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
19．130°．
【分析】
若两个角的和等于，则这两个角互补，依此计算即可． 【详解】 解：与互为补角， ， ．
故答案为：． 【点睛】
此题考查了补角的定义．补角：如果两个角的和等于（平角），
解析：130°． 【解析】 【分析】
若两个角的和等于180?，则这两个角互补，依此计算即可． 【详解】 解：
α与β互为补角，
180αβ∴+=?，
180********βα∴=?-=?-?=?．
故答案为：130?． 【点睛】
此题考查了补角的定义．补角：如果两个角的和等于180?（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
20．2 【解析】 【分析】
直接利用有理数的加法运算法则得出符合题意的答案． 【详解】
解：如图所示：x 的值为2． 故答案为：2． 【点睛】
此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键
解析：2 【解析】 【分析】
直接利用有理数的加法运算法则得出符合题意的答案．
解：如图所示：x的值为2．
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了有理数的加法，正确掌握相关运算法则是解题关键．21．﹣1
【解析】
【分析】
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】
根据题意得：
去分母得：a+2+2a+1=0，
移项合并得：3a=﹣3，
解得：a=﹣1，
故答案为：
解析：﹣1
【解析】
【分析】
利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到a的值．
【详解】
根据题意得：a2a1
10 22
+
++=
去分母得：a+2+2a+1=0，
移项合并得：3a=﹣3，
解得：a=﹣1，
故答案为：﹣1
【点睛】
本题考查了解一元一次方程的应用、解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1，是解题的关键，此外还需注意移项要变号．
22．5
【解析】
根据平移的性质可得BC=3cm，继而由BE=8cm，CE=BE-BC即可求得答案. 【详解】
∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴BC=3cm，
∵BE=8cm，
∴C
解析：5
【解析】
【分析】
根据平移的性质可得BC=3cm，继而由BE=8cm，CE=BE-BC即可求得答案.
【详解】
∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，
∴BC=3cm，
∵BE=8cm，
∴CE=BE-BC=8-3=5cm，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟练掌握对应点间的距离等于平移距离的性质是解题的关键．23．17
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意可得：+3x=7，则原式=2（+3x）+3=2×7+3=17．
故答案为：17
【点睛】
本题考查代数式的求值，利用整体代入思想解题是关键
解析：17
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据题意可得：2x+3x=7，则原式=2（2x+3x）+3=2×7+3=17．
故答案为：17
【点睛】
本题考查代数式的求值，利用整体代入思想解题是关键
24．5
【解析】
把方程的解代入方程即可得出的值. 【详解】 把代入方程，得 ∴
故答案为5. 【点睛】
此题主要考查根据方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
解析：5 【解析】 【分析】
把方程的解代入方程即可得出m 的值. 【详解】
把1x =代入方程，得
141m ?-=
∴5m = 故答案为5. 【点睛】
此题主要考查根据方程的解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
三、压轴题
25．(1)4；(2)12或72；(3)27或2213
或2 【解析】 【分析】
(1)根据题目得出棋子一共运动了t+2t+3t=6t 个单位长度，当t=4时，6t=24,为MN 长度的整的偶数倍，即棋子回到起点M 处，点3Q 与M 点重合，从而得出13Q Q 的长度.
(2)根据棋子的运动规律可得，到3Q 点时，棋子运动运动的总的单位长度为6t,,因为t<4,由(1)知道，棋子运动的总长度为3或12+9=21，从而得出t 的值.
(3)若t 2,≤则棋子运动的总长度10t 20≤,可知棋子或从M 点未运动到N 点或从N 点返回运动到2Q 的左边或从N 点返回运动到2Q 的右边三种情况可使242Q Q = 【详解】
解：(1)∵t+2t+3t=6t, ∴当t=4时，6t=24, ∵24122=?, ∴点3Q 与M 点重合，
∴134Q Q =
(2)由已知条件得出：6t=3或6t=21,
解得：1t 2=或7t 2
= (3)情况一：3t+4t=2,
解得：2t 7=
情况二：点4Q 在点2Q 右边时：3t+4t+2=2(12-3t) 解得：22t 13
=
情况三：点4Q 在点2Q 左边时：3t+4t-2=2(12-3t) 解得：t=2.
综上所述：t 的值为，2或27或2213
. 【点睛】
本题是一道探索动点的运动规律的题目，考查了学生数形结合的能力，探索规律的能力，用一元一次方程解决问题的能力.最后要注意分多种情况讨论. 26．探究三：16,6；结论：n2, ;应用：625，300.
【解析】 【分析】
探究三：模仿探究一、二即可解决问题； 结论：由探究一、二、三可得：将边长为的正三角形的三条边分别等分，连接各
边对应的等分点，边长为1的正三角形共有个；边长为2
的正三角形共有
个；
应用：根据结论即可解决问题. 【详解】 解：探究三：
如图3，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，共有
个；
边长为2的正三角形有个. 结论：
连接边长为的正三角形三条边的对应等分点，从上往下看：边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有3个，第三层有5个，第四层有7个，……，第层有
个，共有
个；
边长为2的正三角形，共有个.
应用：
边长为1的正三角形有=625（个），
边长为2的正三角形有
（个）. 故答案为探究三：16,6；结论：n2, ;应用：625，300.
【点睛】
本题考查规律型问题，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 27．（1）6秒钟;（2）4秒钟或8秒钟；（3）点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ． 【解析】 【分析】
（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇，根据题意可得方程2330t t +=，解方程即可求得t 值；（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，分相遇前相距10cm 和相遇后相距10cm 两种情况求解即可；（3）由题意可知点P Q 、只能在直线AB 上相遇，由此求得点Q 的速度即可. 【详解】
解：（1）设经过ts 后，点P Q 、相遇． 依题意，有2330t t +=， 解得：6t =．
答：经过6秒钟后，点P Q 、相遇；
（2）设经过xs ，P Q 、两点相距10cm ，由题意得
231030x x ++=或231030x x +-=， 解得：4x =或8x =．
答：经过4秒钟或8秒钟后，P Q 、两点相距10cm ；
（3）点P Q 、只能在直线AB 上相遇，
则点P 旋转到直线AB 上的时间为：()120430s =或()120180
1030
s +=， 设点Q 的速度为/ycm s ，则有4302y =-，
解得：7y =； 或10306y =-， 解得 2.4y =，
答：点Q 的速度为7/cm s 或2.4/cm s ． 【点睛】
本题考查了一元一次方程的综合应用解决第（2）（3）问都要分两种情况进行讨论，注意不要漏解.