MATLAB在数据误差处理中的应用

《MATLAB语言》课程论文

MATLAB在数据误差处理中的应用

姓名：于海艳

学号：12010245217

专业：通信工程

班级：2010级通信一班

指导老师：汤全武

学院：物理电气信息学院

完成日期：2011年12月23日

MATLAB 在数据误差处理中的应用

（于海艳 12010245217 2010级通信班）

【摘要】伴随着越来越多的数据的产生，数据处理的任务越来越重，本文就计算机软件MATLAB 在

数据处理的应用作一大只介绍。文章首先说明了误差理论与数据处理中的几个基本概念，然后详细介绍了数据样本误差请定的几个数字特征在MATLAB 中计算方法，接着介绍在的数据处理中广为应用的最小二乘法以及其在MATLAB 中的计算过程，文章的最后又大体说明了MATLAB 在数据样本的回归分析与利用经验公式求解数据规律中的应用。

【关键字】MATLAB 误差 数据处理 正态分布 最小二乘法 回归分析 经验公式

一、问题的提出

随着国民经济的迅速发展，大量的数据需要处理，误差理论和数据处理的任务也原来越重，传统的手算以及计算器等工具已不能满足需要。另一方面，计算机在我们的日常生活中的越来越普及，显然，运用计算机惊醒数据处理意识大势所趋。

MATLAB 是美国MathWorks 公司推出的一种简洁方便的工程计算语言，自从其问世就以其友好的用户界面和多种功能深受各方面欢迎。

测量数据的数据处理和数据分析涉及到最小二乘法、回归分析、曲线拟合以及线性方程组的求解内容，而这些正是MATLAB 的强项，另外，通过MATLAB 强大的图形功能，我们还能方便地将数据图形化，从而进行直观地分析处理数据。

二、几个基本概念

1、误差

在测量中，误差表示测得值与真值之差，若令测量误差为δ，测得值为x,真值为，则有

δ=x-x 0或x 0=x-δ (1) 由于实际应用中真值一般是无从知道或无法确定的，所以，在统计学中，常以测量次数足够大时的测得值的算术平均值近似代替真值。 2、算术平均值x

对一真值为x 0的物理量进行等精度的n 次测量，得n 个测得值x 1,x 2,L,x n ，它们都含有随机误差δ1,δ2,…δn ，统称真差。我们常以算术平均值作为n 次测量的结果，即

x

=x 1+ x 2+L+ x n )=n

x

i

∑

（2）

3、残差v

各测得值x i 对其算术平均值的误差量叫做残余误差，简称残差，即 v= x i -x (3) 4、标准差（标准偏差）σ

在计量学中，常用标准差来评定测得值的精度，即 σ=

n

L n

δ

δ

δ

222

21

+++ (n ∞→) （4）

式中：δi ：真差（随机误差）； n ：测量次数。

但在实际应用中，真差δi 往往是不可知的，而常根据有限个测量值的残差v 来求取随机测量误差方差的估计值σ2

x ，开方，得 1

222

21

2

-+

++

=

n L v

v

v

n

x σ （5）

式2-5称为贝塞尔（Bessel ）公式，称为试验标准差，即是标准差σ的估计值。 5、随机误差的正态分布：

正态分布是随机误差的一种重要分布。实践表明，在大多数情况下，在测量过程中 产生的误差服从正态分布。 图一的程序如下 >> x=0:0.02:5;

y=1/(.5*sqrt(2*pi))*exp((x*2.5).^2/(2*.5^2)); plot(x,y)

ylim{[0,1]};xlim{[0,5]} xlabel('x'),ylabel('y')

正态分布的分布曲线如图1所示，

其分布密度函数为

y=f(x)=e

u x σπ

σ2)

(21

2

2

--

（6）

式中，y ：概率密度； x ：随机变量； σ ：标准差；

u ：理论均值或随机变量x 的数学期望。

因被测量的真值无法知道，对连续型随机函数，可将理论均值看作真值，故式2-6可写作

y=f(δ)=e

σδ

π

σ221

2

2

（7）

若用代替u ，则分布密度函数又可化为 y=f(v)= e

v

σπ

σ221

2

2

（8）

式2-8说明，测量次数足够大时，正态分布方程式同样适用于残差v 。 6、非等精度测量的加权平均值x p '

及其精度参数σ

x p

'

：

“权”对的可信赖程度，一般用符号p 代表“权”，所以求取加权平均值可使用下式 p

p L p x

p x p

x p

x m L m

m

p 2

1

''

22

'

11

'

+

+

++

=

++（9）

而各组测量的“权”，与各组测量结果的方差成反比，即 P

σ

σ

σ

x L x x L m

p

p

p m

2

'2

'2

2

'1

1

:

:1

:

1

:

::2

1

=

（10）

单位权化以后所得的单位权的标准差σδ为

σδ=1

2'-∑m v

p i

m

i

i

（11）

m ：测量组数。

而加权平均值的标准差为 ∑==

m

i i

p

x p

1

'σ

σ

δ

（12）

三 在计算几个基本的数字特征中的应用

1、求算术平均值x

计算一组数据的算术平均值，使用mean函数，其语法格式为：

m=mean(x)

x为所求的一组数据组成的行向量。

测量一个长度10次，所得结果如表1，求数据的算术平均值：

表1

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

长度(mm) 25.125 25.126 25.127 25.128 25.129 25.130 25.131 25.132 25.133 25.134 程序如下，可得结果为＝25.1295。

>> y=25.125:0.001:25.134;%将初值为25.125，步长是0.001，末值是25.134的行向量赋值给y

m=mean(y)%运用mean函数求y的算术平均值

m =

25.1295 %得到m的值

2、求残差v

计算一组数据样本的程序十分简单，故MATLAB中没有相应的子程序供调用，但我们可以用下面的程序进行求解（设m是数据样本的算术平均值）：

例2．求例1中的数据样本的残差：

程序如下：

>> y=25.125:0.001:25.134;%将初值是25,125，步长是0.001，末值是25.134的行向量赋值给y

m=mean(y);%运用mean函数求y的算术平均值

vi=y-m %求vi的表达式

vi =

Columns 1 through 9

-0.0045 -0.0035 -0.0025 -0.0015 -0.0005 0.0005 0.0015 0.0025 0.0035 Column 10

0.0045

>> y=25.125:.001:25.134;%

所得vi即为所求的残差。

3、求标准差σ

计算一组数据的标准差σ，常用计算试验标准差σδ代替，此时使用std函数，其

格式为

σ＝std(x)

x为数据样本组成的一组行向量。

例3．计算例1中的数据的标准差：

程序如下，可得结果为s＝0.0030。

>> y=25.125:.001:25.134; %将初值是25.125，步长是0.001，末值是25.134赋值给y

s=std(y) %计算数据的标准差s

s =

0.0030 %得到标准差的值

4、正态分布的随机误差的一些参数的求法：

数据样本的随机误差多服从正态分布，用normstat函数求正态分布的均值和方差，其语法格式为：

[m,v]=normstat(mu,sigma)

5、计算非等精度测量的加权平均值及其精度参数：

例4．1m米尺由3位观测者测量，其结果如表2，求加权平均值及标准差：

>> format long

sig=[5 20 10];%定义一个矩阵

mx=[1000.045 1000.015 1000.060];% 将平均值以矩阵形式赋值给mx

p=1./sig.^2

p=p.*400

xp=sum(mx.*p)/sum(p)% 求加权平均值

sis=sqrt(sum(p.*(mx-xp).^2)/(3-1))%求单位权组的标准差

simx=sis/(sqrt(sum(p)))%求加权平均值的标准差

p =

0.0400 0.0025 0.0100

p =

16 1 4

xp = %得到加权平均值

1.0000e+003

sis =

0.0296

simx = %得到加权平均值的标准差

0.0065

四、在使用最小二乘法时的应用

众所周知，最小二乘法在数据处理中具有无法取代的重要地位。最小二乘法既可处理满足线性函数关系的数据样本，也可以处理满足非线性函数关系的数据样本。

1、线性函数的最小二乘法处理：

已知数据样本符合线性函数关系，即：y=ax+b ，测得的数据样本为长度相等的x,y 向量。在MATLAB 中通常使用矩阵除法来求解： 设矩阵A 、c 、y 如下：

A=??

??

??11

1

2

1

L

L x x

x n

、c=?

?

????b

a 、y=[]y

y y n

L

2

1

则问题可化为解线性方程：cA=y ，在MATLAB 中可用c=A\y 进行求解，求得列向量c 即可得出系数a=c(1,1)、b=(2,1)，然后得出线性函数关系。

例5．为研究20mm 轴的几何形状误差，在40mm 长度内选5个断面测得直径偏差如表3，试确定沿长度方向形状误差的规律

图二例5 数据图示

经初步分析即知误差呈线性规律。

设此规律的线性方程为：

然后在MATLAB中用最小二乘法线性拟合可得近似y、x值为：y=0.4185； x=1.2617。程序如下:

li=[2 10 20 30 40];%给长度赋值

dd=[3 5 8 15 18];

plot(li,dd,'r+') % 利用plot函数画出函数图象

hold on;%保持原图像

ylim(gca),[0 42]）xlim(gca,[0 20])% 具有两个元素的数值向量

p=polyfit(li,dd,1); %得到最小二乘拟合多项式的系数

xx=0:0.2:42; %初值是0，步长为0.2，末值是42的行向量

plot(xx,y)

所以，所求的规律近似为：2617

?l i

d

=

.0+

.1

4185

图示于图2（图中黑色实线）。

尽管MATLAB中没有直接供调用的最小二乘法处理系统函数，但我们可以自己直接编写.m文件来供调用.

文件保存为lsline.m，即可供调用。调用程序如下：

li=[2 10 20 30 40];

dd=[3 5 8 15 18];

[a,b]=lsline(li,dd) 利用函数文件求系数

a =

0.4185

b =

1.2617 %得到两个系数

即可得出所求的线性规律。

2、非线性函数的最小二乘法处理：

MATLAB中非线性最小二乘的处理使用nlinfit函数，下面我们通过一个例子来介绍它的使用方法。

例6.在化工生产中获得的氯气的等级y随生产时间x下降，已知在x>=8时，y与x之间有如下的非线性模型：

现收集了10组数据，如表4：

表四：y随x非线性变化

y 0.49 0.48 0.46 0.43 0.43 0.45 0.41 0.40 0.40 0.40

要求利用该数据样本求a、b的值，以确定模型。

首先定义非线性函数的.m文件model.m

Function yy=model(be,x)%定义函数文件model

a=be(1);

b=be(2);%两个系数

yy=a+(0.49-a)*exp(-b*(x-8)); %函数表达式

值

然后在命令窗口中输入程序：

>> x=[8 10 12 14 16 18 20 22 24 26];

>> y=[0.49 0.48 0.46 0.43 0.43 0.45 0.41 0.40 0.40 0.40]; %?定义氯气等级y时间x

>> be=[0 0];

>> befit=nlinfit(x,y,'model',be)%利用nlinfit对函数进行最小二乘法处理

befit =

0.3584 0.0692%得到处理后结果

五、在回归分析与经验公式中的应用

在日常生活中，人们常应用试验的方法，寻找出数据样本之间的相互关系。但是通常使用的方法往往不能深刻反映变量间的内在关系，而应用经验公式却能充分表达数据样本各变量之间的变化规律，而且便于从理论上作进一步的研究。回归分析法就是应用数理统计的方法，对数据样本进行分析和处理，从而得出反映各变量间相互关系的经验公式，这就是回归方程。

1、一元线性经验公式

一元线性经验公式是指自变量x与因变量y存在的线性变化的规律，其形式为

y=ax+b

式中：a、b即为需要由数据样本确定的回归参数。

在MATLAB中，我们通常使用一次曲线拟合的方法来求解回归参数，曲线拟合的命令语法格式为

p=polyfit(x,y,1) %得到最小二乘拟合多项式的系数

求得的p为向量[a,b]。

例7. 用X光机检查镁合金铸件内部缺陷时，为获得最佳灵敏度，透视电压y应随被透视件的厚度x而改变，试验中获得了如表5所示的数据表，试用其中数据确定其一元线性经验公式：

x/mm 12 13 14 15 16 18 20 22 24 26

y/kV 52 55 58 61 65 70 75 80 85 91

程序如下，得所求公式为：y=2.7429x+19.8286，图示于图4中：

x=[12:16,18:2:26];

y=[52 55 58 61 65 70 75 80 85 91];% 定义透视电压和被透视得厚度

plot(x,y,'r+')%利用plot函数画出y随x变化的曲线

hold on%保持原图形

xlim(gca,[6 28])%具有两个元素的数值向量

xlabel('x'),ylabel('y')%xy轴的说明文字

p= polyfit(x,y,1);% 得到最小二乘拟合多项式的系数

xx=10:0.2:28;%初值是10，步长是0.2，末值是28的行向量

yy=polyval(p,xx)% 利用polyval函数计算函数近似值

plot(xx,yy) % 画出误差函数曲线

图四 y随x线性变化曲线

>> x=[12:16,18:2:26];

>> y=[52 55 58 61 65 70 75 80 85 91];

>> p=polyfit(x,y,1) %得到最小二乘拟合多项式的系数

p =

2.7429 19.8286

2、一元非线性经验公式

首先将初步选定的经验公式变换为直线式

Y=AX+B

式中，Y,X为只含有一个变量x或y的函数，A和B是与变换前经验公式参数a、b有关的常数和系数。

常用的变换如下面的表6：

例8.下面的测量数据（表7），若用指数形式的经验公式拟合，试计算公式的参数a与b。

x 2 4 8 16 25 32 50 64 100

y 24.5 37 56.8 85.5 112.5 129.5 171.5 200 260.5

如表6中所示，用lny=lna+blnx对非线性方程线性化，写作

y’=a’+bx’

其中y’=lny,x’=lnx,a’=lna即a e a

MA TLAB中程序如下

生成图五的程序：

x=[2 4 8 16 25 32 50 64 100]

y=[24.5 37 56.8 85.5 112.5 129.5 171.5 200 260.5];%给出两个矩阵

xs=log(x);ys=log(y); % 将两个函数值赋值给两个变量

p=polyfit(xs,ys,1); %得到最小二乘拟合多项式的系数

a=exp(p(2));b=p(1)%定义函数的系数

plot(x,y,'r+')%用plot函数画图

hold on%保持原图像

xlabel('x'),ylabel('y')%x,y轴说明文字的句柄

xlim(gac,[0 102]) %具有两个元素的数值向量

xx=0:0.2;102%初值是0，步长为0.2，末值是102的行向量

yy=a.*xx.^b;%函数表达式

plot(xx,yy) % 利用plot画出y随x变化的图像

3、多元线性经验公式

多元线性经验公式是反映一个因变量与两个或两个以上自变量关系的线性函数式，多元线性经验公式的一般形式为

y=a0+a1x1+a2x2+L+a n x n

式中，a0,a1,a2,L,a n:线性回归参数用regress函数，调用格式为

b=regress(y,x)

y为因变量，是一m行1列的列向量；x为自变量，是一m行n列的矩阵；b返回各个自变量的系数，与自变量x中各变量的顺序对应一致，也是一个m行1列的列向量。六、结论

采用MATLAB对数据误差进行处理是简便、快捷和直观的。其中，根据最小二乘原理拟合出的图形可供试验报告中采用或手工计算时查找，得出的多项式可供理论分析或产品的CAD中使用。该方法同样适合于其它行业中图表曲线的处理，而且能满足工程的精度要求。

七、心得体会

MATLAB功能强大，从数学计算到数据处理，从信号处理到控制理论，MATLAB正在逐渐深入到我们生活和学习中的方方面面，即使仅在数据处理一方面，其强大的功能也绝非一篇小文所能充分论述。我仅希望本文能够抛砖引玉，对大家在数据处理课程中使用MATLAB起到一定的引进作用，为MATLAB在数据处理中的更为普遍的推广应用起到一点作用。

参考文献

[1] 梁晋文，陈林才，何贡. 误差理论与数据处理[M]. 北京：中国计量出版社，2001

[2] 苏金明，张莲花，刘波. MATLAB工具箱应用[M]. 北京：电子工业出版社，2004

[3] 聂桂根. MATLAB在测量数据测量中的应用[J]. 《测绘通报》，2001，2.