中考数学压轴题(最新整理)百度文库

一、中考数学压轴题

1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；

（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；

（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．

2．如图，已知抛物线()2

y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，

直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；

（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知抛物线217

22

2

y

x mx m

的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；

（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，

直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．

4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13． （1）求直线AD 和BC 之间的距离；

（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？

（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．

5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，

AF CD ⊥，垂足为F ．

（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；

（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；

②若1

2,(33)2

ADH

a S

==

+，求sin GAB ∠的值．

6．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

7．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4

tan 3

A =

，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．

（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于

t 的函数关系式．

（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出

t 的值．

8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2

2(0)y ax ax a =->交x

轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AB 的表达式；

（3）设抛物线2

2(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．

①若2AE AO =，求抛物线表达式；

②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）

10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝

4

3

AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．

（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示) （2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．

（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）

11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，

8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A

开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，

08t <<．

（1）当t 为何值时，PQ

BD ？

（2）设五边形QPBCM 的面积为(

)2

S cm

，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的11

15

？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出

t 的值；若不存在，请说明理由．

12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k

y k x

=

<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．

（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；

②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．

（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．

13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

（1）求证：DE＝BO；

（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，

（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）

（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。请直接写出∠PQF、∠A、∠ACE 之间的关系．

15．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．

（1）求A ，B ，C 三点坐标；

（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；

（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．

16．已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为弧AB 的中点，点D 为⊙O 上一点，连接CD ，交AB 于点M ，AE 为∠DAM 的平分线，交CD 于点E ．

（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；

（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ． ①求证：DM 2+CN 2=CM 2；

②如图3，当AD=1，AB=10时，请直接写出．．．．

线段ME 的长． 17．如图，平面直角坐标系中，抛物线2

28y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在

点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，25AB =．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作

EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=?，在

射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．

18．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．

例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．

（1）当m ＝0时

①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ； ②点（

1

2，﹣98

）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．

（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12

m 2

关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．

19．如图，在?ABCD 中，对角线AC ⊥BC ，∠BAC ＝30°，BC ＝23，在AB 边的下方作射线AG ，使得∠BAG ＝30°，E 为线段DC 上一个动点，在射线AG 上取一点P ，连接BP ，使得∠EBP ＝60°，连接EP 交AC 于点F ，在点E 的运动过程中，当∠BPE ＝60°时，则AF ＝_____．

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在

x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛

物线2

12y ax bx =++过D ，C ，E 三点．

（1）当//DE AB 时， ①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，

H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．

（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在

x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．

点E 的坐标． 21．如图1，D 是等边△ABC 外一点，且AD ＝AC ，连接BD ，∠CAD 的角平分交BD 于E ． （1）求证：∠ABD ＝∠D ； （2）求∠AEB 的度数；

（3）△ABC 的中线AF 交BD 于G （如图2），若BG ＝DE ，求

AF

DE

的值．

22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4

x 0x

y =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4

x 0x

y =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．

（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；

（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4

x 0x

y =

>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．

23．（操作发现）如图1，ABC ?为等腰直角三角形，90ACB ∠=?，先将三角板的90?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于45?），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使

CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=?，连接AF ，EF ．

（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；

（类比探究）如图2，ABC ?为等边三角形，先将三角板中的60?角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0?且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使

30DCE ∠=?，连接AF ，EF .

（3）直接写出EAF

∠=_________度；

（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.

24．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =2，AC =4．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°（0°＜α＜180°），分别交直线BC 、AD 于点E 、F ．

（1）当α=_____°时，四边形ABEF 是平行四边形；

（2）在旋转的过程中，从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形， ①当α=_______°时，构造的四边形是菱形；

②若构造的四边形是矩形，求该矩形的两边长． 25．如图，抛物线2

14

y x bx c =

++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．B

解析：（1）8

3

；（2）3或433）565x ≤＜【解析】 【分析】

（1）设BP=a ，则PC=8-a ，由△MBP ～△DCP 知

MB BP

DC CP

=，代入计算可得； （2）分别求出⊙P 与边CD 相切时和⊙P 与边AD 相切时BP 的长即可得； （3）①当PM=5时，⊙P 经过点M ，点C ；②当⊙P 经过点M 、点D 时，由PC 2+DC 2=BM 2+PB 2，可求得BP=7，继而知227465PM =+=．据此可得答案．

【详解】

（1）设BP=a ，则PC=8-a ，

∵AB=8，M是AB中点，∴AM=BM=4，

∵△MBP～△DCP，

∴MB BP

DC CP

=，即

4

88

a

a

=

-

，

解得

8

3

a=，

故答案为：8

3

．

（2）如图1，当⊙P与边CD相切时，

设PC=PM=x，

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8-x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC-PC=8-5=3．

如图2，当⊙P与边AD相切时，

设切点为K，连接PK，

则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，22

8443

PB-=

＝

综上所述，BP的长为3或43

（3）如图1，当PM=5时，⊙P经过点M，点C；

如图3，当⊙P 经过点M 、点D 时，

∵PC 2+DC 2=BM 2+PB 2， ∴42+BP 2=（8-BP ）2+82， ∴BP=7， ∴227465PM

=+=

综上，565x ≤＜ 【点睛】

本题是圆的综合问题，主要考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．

2．B

解析：（1）213

y x x 222

=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】

()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

()2由题意设点M 的坐标为2

13x,x x 222??+- ??

?

，则点1

K x,x 22

??-- ??

?

，BMC

1

S

MK OB 2

=

??，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2

∠=，在Rt

QNH 中，QH m 6=+，

2

2

2

QN OQ (2)m m 4==-+=+2QN m 4

sin QHN QH

m 65∠+=

==+，进行分析计算即可求解． 【详解】

解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：4223

16420a b a b +-=??--=?

，解得：

1 2 3

2

a

b

?

=

??

?

?=

??

，

则抛物线的解析式为：2

13

y x x2

22

=+-；

()2过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'

=+得：

04''

'2

k b

b

=-+

?

?

=-

?

，解得：

1

'

2

'2

k

b

?

=-

?

?

?=-

?

，

则直线BC的表达式为：

1

y x2

2

=--，

设点M的坐标为2

13

x,x x2

22

??

+-

?

??

，则点

1

K x,x2

2

??

--

?

??

，

22

BMC

1113

S MK OB2x2x x2x4x

2222

??

=??=----+=--

?

??

，

a10

=-<，BMC

S

∴有最大值，

当

b

x2

2a

=-=-时，

BMC

S最大值为4，

点M的坐标为()

2,3

--；

()3如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，

点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1

tan OCA OC 2

∠=

=， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1

tan QHN 2∠∴=

，则sin QHN 5

∠= 将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：0

2m n n +=??=-?

，

则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，

在Rt QNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=

+

2QN m 4

sin QHN QH m 65

∠+===

+， 解得：m 4=或1-，

即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】

本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．

3．（1）详见解析；（2）3m =，点C 坐标为(3,2)-；（3）5k =或4

17k 或

4

17k

时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形．

【解析】 【分析】 （1）从2

1

7202

2

x mx

m

的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得；

（2）根据抛物线的对称轴32b x

a

来求m 的值；然后利用配方法把抛物线解析式转

化为顶点式，由此可以写出点C 的坐标；

（3

）根据平行四边形的性质得到：2

15

|1(3)|42

2

MN k k k

CD ． 需要分类讨论：①当四边形CDMN 是平行四边形，2

1

51(3)42

2

MN k k k

，通过

解该方程可以求得k 的值；

②当四边形CDNM 是平行四边形，2153(1)42

2

NM k k

k ，通过解该方程可以求

得k 的值． 【详解】 解：（1）

2

2

17()4(2)(2)32

2

m m m

， ∵不论m 为何实数，总有2(2)0m -≥，

2

(2)3

0m ，

∴无论m 为何实数，关于x 的一元二次方程217202

2

x mx

m

总有两个不相等的实数

根，

∴无论m 为何实数，抛物线217

22

2

y x mx

m

与x 轴总有两个不同的交点． （2）

抛物线的对称轴为直线3x =，

3

122

m ，即3m =，

此时，抛物线的解析式为22

1513(3)22

2

2

y x x

x ，

∴顶点C 坐标为(3,2)-；

（3）//,CD MN C D M N 、、、为顶点的四边形是平行四边形，

∴四边形CDMN 是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形CDMN （直线在抛物线

的下方），如图所示，

由已知2

15(3,2),(,1),(3)2

2

D M k k N k k k

，， (3,2)C ，

4CD ∴=，

2

1

51(3)42

2

MN

k k k

CD

，

①当四边形CDMN 是平行四边形，

2

1

51(3)42

2

MN

k k k

，

整理得，28150k k -+=，

解得13k =（不合题意，舍去），25k =； ②当四边形CDNM 是平行四边形，

2153(1)

42

2

NM

k k

k ，

整理得2810k k ， 解得，12

4

174

17k k ，，

综上，5k =或4

17k

或4

17k

时，可使得C D M N 、、、为顶点的四边形是平行

四边形． 【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

4．A

解析：（1）12；（2）5s 或373s ；（3）163s 或685

s 或7

2s 【解析】 【分析】

（1）AD 与BC 之间的距离即AB 的长，如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E ，在RtDEC 中可求得DE 的长，即AB 的长，即AD 与BC 间的距离； （2）四边形QDCP 为平行四边形，只需QD=CP 即可；

（3）存在3大类情况，情况一：QP=PD ，情况二：PD=QD ，情况三：QP=QD ，而每大类中，点P 存在2种情况，一种为点P 还未到达点C ，另一种为点P 从点C 处返回． 【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点E

∵∠B=90°，AD ∥BC ∴AB ⊥BC ，AB ⊥AD

∴AB 的长即为AD 与BC 之间的距离

∵AD=16，BC=21， ∴EC=5 ∵DC=13

∴在Rt DEC 中，DE=12

同理，DE 的长也是AD 与BC 之间的距离 ∴AD 与BC 之间的距离为12 （2）∵AD ∥BC

∴只需QD=PC ，则四边形QDCP 是平行四边形 QD=16－t ，PC=21－2t 或PC=2t －21 ∴16－t=21－2t 或16－t=2t －21 解得：t=5s 或t=

373

s （3）情况一：QP=PD

图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F

∵PQ=PD ，PF ⊥QD ， ∴QF=FD

∵AF ∥BP ，AB ∥FP ，∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形， ∴AF=BP

由题意得：AQ=t ，则QD=16－t ，QF=8－2t ，AF=8+2

t BP=2t 或BP=21－(2t －21)=42－2t ∵AF=BP ∴8+

2t =2t 或8+2

t

=42－2t 解得：t=

16

3或t=685

情况二：PD=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F

同理QD=16－t ，PF=AB=12 BP=2t 或21－(2t －21)=42－2t

则FD=AD －AF=AD －BP=16－2t 或FD=16－(42－2t)=2t －26

∴在Rt PFD 中，()22212162PD t =+-或()2

2212226PD t =+- ∵PD=QD ， ∴2

2

PD QD =

∴()()2

2

216t 12162t =+-－或()()2

2

216t 12226t =+-－ 解得：2个方程都无解

情况三：QP=QD ，图形如下，过点P 作AD 的垂线，交AD 于点F

同理：QD=16－t ，FP=12 BP=2t 或BP=42－2t

QF=AF －AQ=BP －AQ=2t －t=t 或QF=42－2t －t=42－3t

在Rt QFP 中，222

12PQ t =+或()2

2212423PQ t =+-

∵PQ=QD ， ∴2

2

PQ QD =

∴()2

2216t 12t =+－或()()2

2

216t 12423t =+-－ 第一个方程解得：t=7

2

，第二个方程解得：无解 综上得：t=163或685

或72 【点睛】

本题考查四边形中的动点问题，用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质，解题关键是根据点Q 运动的轨迹，得出BP 的长度．

5．E

解析：（1）3EF EC =，见解析；（2）27

7

BK a =

；（3）①AGH 是等边三角形，见解析；②1

(62)4

【解析】 【分析】

（1）连接EF ，AC ，由菱形的性质，可证Rt AEB Rt AFD ???，然后得到AEF ?为等边

三角形，由解直角三角形得到3AE EC =，即可得到答案；

（2）由菱形的性质和等边三角形的性质，求出AF 的长度，然后得到BF 的长度，然后由相似三角形的性质，得到

AB BK

FB BA

=，即可求出答案； （3）①由等边三角形的性质，先证明ABG ACH ?，然后得到AG AH =，然后得到

60BAH GAB GAH ?∠+∠=∠=，即可得到答案；

②由三角形的面积公式得到31DH =+，然后得到AHF △为等腰直角三角形，再由解直角三角形的性质，即可求出答案． 【详解】 解：（1）3EF EC =

；

理由：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=?，

,60,//AB AD BC ABC ADC AD BC ?∴==∠=∠=， 120BAD ?∴∠=，

∵AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ，

90AEB AFD ?∴∠=∠=

Rt AEB Rt AFD ∴???，

,30AE AF BAE DAF ∴=∠=∠=?， 60EAF ∴∠=?，

AEF ∴?为等边三角形， EF AE ∴=.

连接AC ，1

602

BAC BAD ?∴∠=

∠= 30EAC ?∴∠=

在Rt AEC ?中，tan EC

EAC AE

∠=

3AE EC ∴=， 3EF EC ∴=

（2）如图：