北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案

第二章 一元二次方程

2.1 认识一元二次方程 同步练习题

1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )

A ．x 2＋1

x ＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝0

2．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．任何实数 B ．m≠0 C ．m≠1 D．m≠－1

3．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．

4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x 2＝5x －3；

(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.

5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( ) A ．x(x ＋2)＝323 B ．x(x －2)＝323

C ．x(x ＋1)＝323

D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝323

6．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；

(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.

7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；

(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.

8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)

D ．3.25

12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m≠1 13．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( ) A ．k ≠1 B ．k ≥0 C ．k ≥0且k ≠1 D ．k 为任意实数 2

A ．解的整数部分是0，十分位是5

B ．解的整数部分是0，十分位是8

C ．解的整数部分是1，十分位是1

D ．解的整数部分是1，十分位是2

15．若关于x 的方程x 2

＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )

A ．－52 B.12 C ．－52或1

2 D ．1

16．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．

17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？

18. 有这样的题目：把方程12x 2

－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：

(1)下面式子中是方程12x 2

－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号) ①12x 2－x －2＝0，②－1

2x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.

(2)方程12x 2

－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？

2.1答案： 1. C 2. C

3. 3x 2－5x －12＝0 3 －5 －12

4. (1) 一般形式是3x 2－5x ＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.

(2) 一般形式是x 2＋3x －8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8. 5. D

6. (1) x(x －5)＝150. (2) (x ＋1)2－1＝24.

7. (1)6x 2＝36，一般形式为6x 2－36＝0.

(2)x(x －1)＝1 980，一般形式为x 2－x －1 980＝0. 8. D 9. C 10. 6 11. －1 12. B 13. C 14. C 15. C

16. ≠±2 ＝－2

17. 整理方程，得(m ＋3)x 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0，由题意，得m ＋3－(2m ＋1)＝0，解得m ＝2.

18. (1) ①②④⑤

(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a ，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)

2.2 用配方法求解一元二次方程

同步课堂练习

1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )

A ．(x －3)2

＝13 B ．3(x －1)2＝13 C ．(3x －1)2＝1 D ．(x －1)2

＝23

2．小明同学解方程6x 2－x －1＝0的简要步骤如下：

解：6x 2

－x －1＝0，两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，移项第二步x 2－16x ＝16，配方

第三步

(x

－19)2＝16＋19，两边开方第四步x －1

9＝±518，移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－10

6

.上述步骤，发生第一次错误是在( )

A ．第一步

B ．第二步

C ．第三步

D ．第四步 3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100

B ．2x 2

－7x －4＝0化为(x －74)2＝81

16

C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25

D ．3x 2

－4x －2＝0化为(x －23)2＝10

9

4．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，此方程可变形为( )

A.? ????x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2

B.? ????x ＋b 2a 2＝4ac －b 2

4a 2

C.? ????x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2

D.? ??

??x －b 2a 2＝4ac －b 2

4a 2

5．一个一元二次方程的二次项是2x 2

，它经过配方整理得(x ＋12

)2

＝1，那么它的

一次项和常数项分别是( )

A ．x ，－34

B ．2x ，－12

C ．2x ，－32

D ．x ，－3

2

6．若代数式16x 2＋kxy ＋4y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．8 B ．16 C ．－16 D ．±16

7. 若代数式2x 2－6x ＋b 可化为2(x －a)2－1，则a ＋b ＝________．

8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 9．若代数式2x 2－5x 与－2x ＋3的值互为相反数，则x 的值为____________． 10．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程15x 2－7

5x ＋2＝0的根，则该三

角形的周长为________．

11．已知a 为实数，则代数式2a 2－12a ＋27的最小值为________．

12．已知实数m ，n 满足m －n 2＝1，则代数式m 2＋2n 2＋4m －1的最小值等于_______． 13．读诗词解题(通过列方程式)，算出周瑜去世时的年龄： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

14. 用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．

15. 一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住．修整蔬菜园的费用是15元/平方米，而购买篱笆材料的费用是30元/米，这两项支出一共为3 600元．求此正方形蔬菜园的边长．

2.2答案:

1---6 DCCAC D 7. 5

8. 1 3

2

9. 1

2或3

10. 12 11. 3 12. 4

13. 设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为(x ＋3)，这个两位数为10x ＋(x ＋3)，依题意得10x ＋(x ＋3)＝(x ＋3)2，解得x 1＝2，x 2＝3，∴这个两位数是25或36，又∵周瑜已过而立之年，∴周瑜去世时36岁．

14. 3x －2x 2

－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－7

8

<0，∴

不论x 取何值时，这个代数式的值总是负数．当x ＝3

4时，这个代数式的值最大，

最大值为－7

8

.

15. 设此正方形蔬菜园的边长为x 米，由题意可得15x 2＋30×4x＝3 600，解得

x 1＝12，x 2＝－20(舍)．故此正方形蔬菜园的边长为12米．

2.3 用公式法求解一元二次方程

基础题

知识点1 用求根公式求解一元二次方程

1．利用求根公式求方程5x 2

＋1

2

＝6x 的根时，a 、b 、c 的值分别是( )

A ．5，12，6

B ．5，6，1

2

C ．5，－6，12

D ．5，－6，－1

2

2．用公式法解方程3x 2＋4＝12x ，下列代入公式正确的是( ) A ．x ＝12±122－3×4

2

B ．x ＝－12±122×3×4

2×3

C ．x ＝12±122＋3×4

2

D ．x ＝－（－12）±（－12）2－4×3×4

2×3

3．解方程： (1)x 2＋1＝3x ； (2)3x 2＋2x ＋1＝0.

知识点2 利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况

4．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )

A．方程有两个相等的实数根

B．方程有两个不相等的实数根

C．没有实数根

D．无法确定

5．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )

A．a＜1 B．a＞1

C．a≤1 D．a≥1

6．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝____________.

知识点3 方案设计的实际问题

7．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )

A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900

C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900

8．如图，某小区规划在一块长30 m、宽20 m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m，则由题意列得方程为( )

A．(30－x)(20－x)＝78

B ．(30－2x)(20－2x)＝78

C ．(30－2x)(20－x)＝6×78

D ．(30－2x)(20－2x)＝6×78

9．如图，小明家有一块长1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为____________m.

中档题

10．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( ) A ．x 1＝x 2＝ 2 B ．x 1＝0，x 2＝－2 2 C ．x 1＝2，x 2＝－3 2 D ．x 1＝－2，x 2＝3 2

11．方程(m －2)x 2

－3－mx ＋1

4

＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( )

A ．m>5

2

B ．m ≤5

2且m ≠2

C ．m ≥3

D ．m ≤3且m ≠2

12．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____________．

13．用公式法解方程：

(1)(x－1)(1＋2x)＝2；

(2)x2－2x＋1＝－32x.

14．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.

(1)不解方程，判别方程的根的情况；

(2)若方程有一个根为3，求m的值．

15．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

综合题

16．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，

①求出该方程的根；

②求2x2－32x－7

x2－8x＋11

的值．

2.3参考答案

1．C 2.D

3．(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x ＋1＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝1，∴b 2

－4ac ＝(－3)2

－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－（－3）±52×1.∴x 1＝3＋5

2

，x 2＝

3－5

2.(2)∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．

4．B 5.B 6.94 7.B 8.C 9.0.25 10.C 11.B 12.x 1＝－1＋5

2，x 2＝

－1－5

2

13．(1)方程化为一般式，得

2x 2－x －3＝0，x ＝

－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝3

2

.(2)方程化为一般式，

得x 2＋22x ＋1＝0，x ＝－22±（22）2

－4×1×1

2×1

，x 1＝1－2，x 2＝－2

－1.

14．(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4. 15．设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5

舍去．∴AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米． 16．(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2

－4×(a －6)×9≥0.解得a ≤70

9

且a ≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当

a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x ＝－（－8）±282，即x ＝4±7.∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次

方程x 2

－8x ＋9＝0的根，∴x 2

－8x ＝－9.∴2x 2

－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2

－32x －7－9＋11

＝2x 2

－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－29

2

.

2.4用因式分解法求解一元二次方程

一．选择题（共10小题）

1．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x 2﹣5x +4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）

A ．6

B ．9

C ．6或9

D ．以上都不正确

2．已知3是关于x 的方程x 2﹣（m +1）x +2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．10 C ．11 D ．10或11

3．解方程（5x ﹣1）2=3（5x ﹣1）的适当方法是（ ） A ．开平方法 B ．配方法 C ．公式法

D ．因式分解法

4．若分式

的值为0，则x 的值为（ ）

A ．3或﹣2

B ．3

C ．﹣2

D ．﹣3或2

5．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或3

6．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

7．使分式的值等于零的x是（）

A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6

8．一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）

A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=

9．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）

A．方程一定有两个不相等的实数根

B．方程一定有两个实数根

C．当k取某些值时，方程没有实数根

D．方程一定有实数根

10．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）

A．12 B．13 C．14 D．12或14

二．填空题（共5小题）

11．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为．

12．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=．

13．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是．

14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为．15．对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=．

三．解答题（共5小题）

16．解方程：

①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；

②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；

③（x+3）（x﹣1）=5；

④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．

17．解下列方程：

（1）9（y+4）2﹣49=0

（2）2x2+3=7x（配方法）；

（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）

（4）x2=6x+16

（5）2x2﹣7x﹣18=0

（6）（2x﹣1）（x+3）=4．

18．用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣5x﹣6=0；

（2）（1﹣x）2﹣1=；

（3）8x（x+2）=3x+6；

（4）．

19．阅读下面的例题与解答过程：

例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．

解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．

设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．

解得y1=2，y2=﹣1．

当y=2时，|x|=2，∴x=±2；

当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．

∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．

在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：

（1）x2﹣2|x|=0；

（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．

20．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab

（1）求4※7的值；

（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；

（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．

用因式分解法求解一元二次方程

一．选择题（共10小题）

1．（2017?新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）

A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确

2．（2016?荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

3．（2016秋?兰州期中）解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法

4．（2016秋?利川市校级月考）若分式的值为0，则x的值为（）A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或2

5．（2016春?长兴县月考）已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）

A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或3

6．（2015?安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

7．（2015?东光县校级二模）使分式的值等于零的x是（）

A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣6

8．（2015春?绍兴期末）一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=

9．（2015春?下城区期末）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）

A．方程一定有两个不相等的实数根

B．方程一定有两个实数根

C．当k取某些值时，方程没有实数根

D．方程一定有实数根

10．（2013秋?惠安县期中）三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）

A．12 B．13 C．14 D．12或14

二．填空题（共5小题）

11．（2017?德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为

12．（2016?磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2= 13．（2016秋?滨州月考）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是14．（2015秋?南江县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为

15．（2015春?婺城区期末）对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=

三．解答题（共5小题）

16．解方程：

①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；

②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；

③（x+3）（x﹣1）=5；

④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．

17．解下列方程：

（1）9（y+4）2﹣49=0

（2）2x2+3=7x（配方法）；

（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）

（4）x2=6x+16

（5）2x2﹣7x﹣18=0

（6）（2x﹣1）（x+3）=4．

18．用适当的方法解下列方程：

（1）x2﹣5x﹣6=0；

（2）（1﹣x）2﹣1=；

（3）8x（x+2）=3x+6；

（4）．

19．（2015春?沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．

解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．

设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．

解得y1=2，y2=﹣1．

当y=2时，|x|=2，∴x=±2；

当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．

∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．

在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：

（1）x2﹣2|x|=0；

（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．

20．（2015秋?平南县月考）现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab

（1）求4※7的值；

（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；

（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．