河南省郑州市高三第一次质量预测考试

河南省郑州市2016年高三第一次质量预测考试

理科数学

（时间120分钟满分150分）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

1．（2016郑州一测）设全集*

U {N 4}x x =∈≤，集合{1,4}A =，{2,4}B =，则()U A B =I e（）

A ．{1,2,3}

B ．{1,2,4}

C ．{1,3,4}

D ．{2,3,4}

【答案】A

【解析】注意全集U 是小于或等于4的正整数，∵{4}A B =I ，∴(){1,2,3}U A B =I e． 2．（2016郑州一测）设1i z =+（i 是虚数单位），则2

=（） A ．i

B ．2i -

C ．1i -

D ．0

【答案】C

【解析】直接代入运算：

221i 1i

z ==-+． 3．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c

sin a

A =

，则cos B =（）

A ．1

B ．

C ．

D 【答案】B

sin a A =

sin sin A

A =．

∴tan B =，0B π<<，∴3B π

，1

cos 2

B =． 4．（2016郑州一测）函数()cos x

f x e x =在点(0,(0))f 处的切线斜率为（） A ．0

B ．1-

C ．1 D

【答案】C

【解析】()cos sin x

f x e x e x '=-，∴0

(0)(cos 0sin 0)1k f e '==-=．

5．（2016郑州一测）已知函数1()()cos 2

f x x =-，则()f x 在[0,2]π上的零点的个数为（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【解析】画出1()2

x y =和cos y x =的图象便知两图象有3个交点，

∴()f x 在[0,2]π上有3个零点．

6．（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】1

333273++=．

7．（2016郑州一测）设双曲线22221x y a b

-=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线2

4y x

=的焦点相同，则此双曲线的方程为（） A ．

225514x y -=

B ．225514y x -=

C ．225514x y -=

D ．22

5514

y x -= 【答案】C

【解析】∵抛物线的焦点为(1,0)．

∴22212c b a

c a b

=???=???=+?解得221

45a b ?=????=??．

8．正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数321

()4633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =（）

A ．1

B ．2

D ．1-

【答案】A

【解析】∵()86f x x x '=-+，

∴140318a a ?=，∴2

2016

6a =， ∵20160a >，∴2016a =20161a =．

9．（2016郑州一测）如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为（） A ．

B ．

C ．

D ．2

【答案】A

【解析】四面体的直观图如图， ∴112(12)2323

V =????=．

10．（2016郑州一测）已知函数4()f x x x =+

，()2x

g x a =+，若11[,3]2

x ?∈，2[2,3]x ?∈使得12()()f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）

A ．1a ≤

B ．1a ≥

C ．0a ≤

D ．0a ≥

【答案】C

【解析】∵1[,3]2x ∈

，()4f x ≥=，当且仅当2x =时，min ()4f x =．

[2,3]x ∈时，∴2min ()24g x a a =+=+．依题意min min ()()f x g x ≥，∴0a ≤．

11．（2016郑州一测）已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线

与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A

．2-

【答案】D

【解析】设1212,F F c AF m ==，

若1F AB ?是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴1AB AF m ==

，1BF

=．

由椭圆的定义可知1F AB ?的周长为4a ，

∴42a m =+

，2(2m a =．

∴222)AF a m a =-=． ∵22

12AF AF F F +=，

∴22222

4(21)4a a c -+=，

∴2

9e =-

e =

12．（2016郑州一测）已知函数222,0()2,0

x x x f x x x x ?-+≥?=?-

[()]()0f x af x +<恰

有1个整数解，则实数a 的最大值是（）

A ．2

B ．3

C ．5

D ．8

【答案】D

【解析】∵不等式2

[()]()0f x af x +<恰有1

当()0f x >时，则0a <，不合题意；当()0f x <时，则2x >．

依题意2

[(3)](3)0[(4)](4)0f af f af ?+

∴9306480

a a -

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．二项式62

()x x

-的展开式中，2

x 的系数是_______．【答案】60

【解析】662166(2)(2)r r r r r r r

r T C x x C x ---+=-=-，

令622r -=，解得2r =，

∴2

x 的系数为226(2)60C -=．

14．若不等式22

2x y +≤所表示的平面区域为M ，不等式组0026x y x y y x -≥??+≥??≥-?

表示的平面区域为N ，现

随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．【答案】

【解析】21142124382

OAB

P S πππ

??===

??．

15．ABC ?的三个内角为,,A B C ，

7tan()12π

=-，则2cos sin 2B C +的最大值

为________．【答案】

【解析】tan

tan

743tan()tan()1243tan tan 143

πππππ+-

=-+=

7tan()12π=-=

∴sin cos A A =，∴4

A π

．

332cos sin 22cos sin 2(

)2cos sin(2)42

B C B B B B ππ

+=+-=+- 22cos cos 22cos 12cos B B B B =-=+-

133

2(cos )222

B =--+≤．

16．已知点(0,1)A -，(3,0)B ，(1,2)C ，平面区域P 是由所有满足AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r

(2,m λ<≤ 2)n μ<≤的点M 组成的区域，若区域P 的面积为16，则m n +的最小值为________．

【答案】4+

【解析】设(,)M x y ，(3,1),(1,3)AB AC ==u u u r u u u r

， ∵AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，

∴(,1)(3,1)(1,3)(3,3)x y λμλμλμ+=+=++．

∴313x y λμλμ=+??+=+?，∴318

338x y x y λμ--?=???-++?=??

，

∵2,2m n λμ<≤<≤，

∴31283328x y m x y n --?<≤???-++?<≤??

，即1738113383x y m x y n <-≤+??<-+≤-?

∴17381

13383

x y m x y n <-≤+??

<-+≤-?表示的可行域为平行四边形，如图：

由317313x y x y -=??-+=?

，得(8,7)A ，

由381313

x y m x y -=+

??-+=?

，得(32,2)B m m ++， ∴(2)AB m =

=-∵(8,7)A 到直线383x y n -+=-

的距离d =， ∴(2)16AB d m ?=-=， ∴(2)(2)2m n -?-=， ∴2

222(2)(2)(

m n m n -+-

=-?-≤，

∴2

(4)8m n +-≥，4m n +≥+

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ??

????是公差为2的等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若(1)n

n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

【解析】（1）由已知得

1(1)221n

S n n n

=+-?=-， ∴2

2n S n n =-．

当2n ≥时，22

12[2(1)(1)]43n n n a S S n n n n n -=-=-----=-．

11413a S ==?-，

∴43n a n =-，*

n ∈N ．

（2）由⑴可得(1)(1)(43)n n n n b a n =-=--．当n 为偶数时，

(15)(913)[(45)(43)]422

n n

T n n n =-++-++???+--+-=?

=，当n 为奇数时，1n +为偶数

112(1)(41)21n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+，

综上，2,2,,

21,21,.

n n n k k T n n k k *

? =∈?=?-+=-∈??N N

18．（本小题满分12分）

某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成

若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a 万元．

已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36．（1）若不额外聘请工人，写出基地收益X 的分布列及基地的预期收益；（2）该基地是否应该外聘工人，请说明理由．【解析】（1）设下周一有雨的概率为p ，由题意，2

0.36,0.6p p ==，

基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则

(20)0.36P X ==，(15)0.24P X ==， (10)0.24P X ==，(7.5)0.16P X ==

∴基地收益X 的分布列为：

()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =?+?+?+?=，

∴基地的预期收益为14.4万元．

（2）设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，

则其预期收益()200.6100.416E Y a a =?+?-=-

（万元），

()() 1.6E Y E X a -=-，

综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；

成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以．

19．（本小题满分12分）

如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，90BAD ADC ∠=∠=o

，

AB AD CD ==，BE DF ⊥．

（1）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ；

（2）求平面EAD 与平面EBC 所成二面角的大小．【解析】（1）证明：设EC 与DF 交于点N ，连接MN ，

在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， ∵M 为EA 中点，∴MN ∥AC ，

又∵AC ?平面MDF ，MN ?平面MDF ， ∴AC ∥平面MDF ．

（2）∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，

平面CDEF I 平面ABCD CD =，

DE ?平面CDEF ，DE CD ⊥，

∴DE ⊥平面ABCD ．

以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设DA a =，DE b =，

(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ， (,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-u u u r u u u r u u u r

∵BE DF ⊥，

∴22

(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ?=--?=-=u u u r u u u r ，b =．

设平面EBC 的法向量(,,)x y z =m ，

则00

BE BC ??=???=??u u u r u u u r

m m ，即00ax ay ax ay ?--=??-+=??，取1x =，则=m ，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)=n ，--10分

D M

而1

cos ,||||2

?<>=

=?m n m n m n ，

∴平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60o

．

20．（本小题满分12分）

已知点(1,0)M -，(1,0)N ，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N

倍．（1）求曲线E 的方程；

（2）已知0m ≠，设直线1:10l x my --=交曲线E 于,A C 两点，直线2:0l mx y m +-=交曲线E 于

,B D 两点，,C D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为1-时，求线段AB 的长．【解析】（1）设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，

整理得22410x y x +-+=，即22

(2)3x y -+=为所求．

（2）由题知12l l ⊥，且两条直线均恒过点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，

线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-, 设直线CD ：y x t =-+，

由2y x y x t =-??

=-+?

，得22

(,)22t t P +-，

由圆的几何性质，1||||2

NP CD ==

而222

22||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =

，22||EP =，解之得0t =或3t =，

又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-．

由22410,,?+-+=?=-?x y x y x

解得1212x y ?=-????=-??

或12 1.

?=+???

?=--??x y

不失一般性，设(11),(11)2222

C D -

-+--，由22410(1)x y x y u x ?+-+=?=-?，得2222

(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴

方程⑴的两根之积为1，∴点A

的横坐标2A x =

∵点(11)22

C -

-在直线1:10l x my --=上，解得1m =，

直线1:1)(1)l y x =-，∴(2A ．

同理可得，(2B ，∴线段AB 的长为．

21．（2016郑州一测）设函数2

1()ln 2

f x x m x =-，2()(1)

g x x m x =-+，0m >．（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）当1m ≥时，讨论函数()f x 与()g x 图象的交点个数．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

()f x '=

当0x <<()0f x '<，函数()f x 的单调递减，

当x >

()0f x '>，函数()f x 的单调递增．

综上，函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是．（2）令2

1()()()(1)ln ,02

F x f x g x x m x m x x =-=-

++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数，

(1)()

()x x m F x x

--'=-

，

当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到3

(1)02

F =>，(4)ln 40F =-<，∴()F x 有唯一零点．

当1m >时，

01x <<或x m >时，()0F x '<，1x m <<时，()0F x '>，

∴函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，

注意到

(1)0

F m

=+>，(22)ln(22)0

F m m m

+=-+<，

∴()

F x有唯一零点．

综上，函数()

F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

请考生在22-24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．

22．（2016郑州一测）如图，BAC ∠的平分线与BC 和ABC ?的外接圆分别相交于D 和E ，延长

AC 交过,,D E C 的三点的圆于点F ．

（1）求证：EC EF =；

（2）若2ED =，3EF =，求AC AF ?的值．

【解析】（1）证明：∵ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠， EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠，AE 平分BAC ∠， ∴ECF EFC ∠=∠，∴EC EF =．

（2）∵ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，

∴CEA ?∽DEC ?，即2

,CE DE EC EA EA CE DE

==，由（1）知，3EC EF ==，∴9

EA =

， ∴45()4

AC AF AD AE AE DE AE ?=?=-?=

． 23．（2016郑州一测）已知曲线1C

的参数方程为2212

x y t ?=--????=??，曲线2

的极坐标方程为)4

ρθ=-．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求曲线2C 的直角坐标方程；

（2）求曲线

C 上的动点M 到曲线C 的距离的最大值．

（2）1C 的直角坐标方程为由（1）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，

且圆心到直线1C 的距离 A

B E

∴动点M 到曲线1C 的距离的最大值为

24．（2016郑州一测）已知函数()21f x x x =--+ （1）解不等式()1f x >；

（2）当0x >时，函数21

()(0)ax x g x a x

-+=

>的最小值总大于函数()f x ，试求实数a 的取值范围．

【解析】∵211x x --+>，

∴131x <-??

>?，或12121x x -≤?，或2

x ≥??->?，

解得0x <，

∴原不等式的解集为(,0)-∞．

（2）∵1

()11g x ax x

-≥，当且仅当x a =时“=”成立，

∴min ()1g x =，

12,02,

()3, 2.

x x f x x -<≤?=?

- >?∴()[3,1)f x ∈-，

∴11≥,即1a ≥为所求．