抽象函数的周期性
抽象函数的周期
抽象函数的周期没有具体公式,它需要掌握一定的规律,记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的抽象函数的周期类型,供大家参考(以下x 取定义域内的任意值且a 、b 、T 为非零常数,a ≠b )。
1. f x f x T ()()=+型:f x ()的周期为T 。
证明:对x 取定义域内的每一个值时,都有f x T f x ()()+=,则f x ()为周期函数,T
叫函数f x ()的周期。
2. f x a f x b ()()+=+型:f x ()的周期为||b a -。
证明:f x a f x b f x f x b a ()()()()+=+?=+-。 3. f x a f x ()()+=-型:f x ()的周期为2a 。
证明:f x a f x a a f x a f x ()[()]()[()]+=++=-+=--2=f x ()
例. 设f x ()是R 上的奇函数,f x f x ()()+=-2,当01≤≤x 时,f x x ()=,则
f (.)20055等于( )
A. 0.5
B. -0.5
C. 1.5
D. -1.5
4. f x a f x ()()
+=-
1
型:f x ()的周期为2a 。 证明:f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=21
1
1。 5. f x a f x ()()
+=
1
型:f x ()的周期为2a 。 证明:f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=
+=
=21
1
1。 6. f x a f x f x ()()
()
+=
+-11型:f x ()的周期为4a 。
证明:f x a f x a a f x a f x a ()[()]()
()+=++=++-+211 =
+
+--+-
=-1111111f x f x f x f x f x ()
()()()
(), ∴f x a f x a a f x a f x f x ()[()]()
()
()+=++=-
+=-
-
=4221
21
1。 7. 两线对称型:函数f x ()关于直线x a =、x b =对称,则f x ()的周期为||22b a -。
证明:
f x f a x f x f b x f a x f b x f x f x b a ()()()()()()()()=-=-??
?
?-=-?=+-222222,
。 正弦函数y x =sin 关于直线x =
π
2
、x =
32
π
对称,则y x =sin 的周期为||23222
2×
×ππ
π-=。 8. 一线一点对称型 : 函数f x ()关于直线x a =及点(b ,0)对称,则f x ()的周期为
||44b a -。
证明:
f x f a x f b x f x f a x f b x f x b a f x ()()
()()()()()()=--=-??
?
?-=--?+-=-222222,所以f x b a f x b a b a f x b a f x f x ()[()]()[()]()
+-=+-+-=-+-=--=44222222余弦函数y x =cos 关于直线x =0及点(
π
2
0,)对称,则y x =cos 的周期为
||42
402×
×π
π-=。
9. 两点对称型: 函数f x ()关于点(a ,0)、(b ,0)对称,则f x ()的周期为||22b a -。
证明:f a x f x f b x f x f a x f b x f x f x b a ()()
()()
()()()()222222-=--=-??
??-=-?=+-。
正弦函数y x =sin 关于点(0,0)、()π,0对称,则y x =sin 的周期为
||2202××ππ-=。
习题
⒈ 若)x 2(f y =的图象关于直线2a x =
和)a b (2
b x >=对称,则)x (f 的一个周期为 A.
2b a + B. )a b (2- C. 2
a
b - D. )a b (4- ⒉ 设函数)x (f y =是定义在R 上的偶函数,它的图象关于直线2x =对称,已知
]2,2[x -∈时,函数1x )x (f 2+-=,则]2,6[x --∈时,=)x (f .
⒊在R 上定义的函数)x (f 是偶函数,且)x 2(f )x (f -=,若)x (f 在 区间]2,1[上是减函数,则)x (f
A. 在区间]1,2[--上是增函数,在区间]4,3[上是增函数
B. 在区间]1,2[--上是增函数,在区间]4,3[上是减函数
C. 在区间]1,2[--上是减函数,在区间]4,3[上是增函数
D. 在区间]1,2[--上是减函数,在区间]4,3[上是减函数
⒋设)x (f 是定义在R 上的奇函数,且)x (f y =的图象关于直线2
1
x = 对称,则=++++)5(f )4(f )3(f )2(f )1(f . ⒌ 已知定义在R 上的奇函数)x (f 满足)x (f )2x (f -=+,则)6(f 的值为 A. 1- B. 0 C. 1 D. 2
⒍ 已知偶函数)x (f y =满足)1x (f )1x (f -=+,且当]0,1[x -∈时,9
43)x (f x +=, 则)5log (f 3
1的值等于
A. 1-
B.
5029 C. 45
101 D. 1 ⒎ 设)x (f 为R 上的奇函数,且0)3x (f )x (f =++-,若1)1(f -=-, 2log )2(f a <,则a 的取值范围是 . ⒏ 函数)x (f 对于任意实数x 满足条件)
x (f 1
)2x (f =+,若5)1(f -=,则))5(f (f 等于 A. 5 B. 5- C.
51 D. 5
1- ⒐ 已知定义在R 上的函数)x (f y =满足下列三个条件: ① 对于任意的R x ∈,都有)x (f )4x (f =+;
② 对于任意的2x x 021≤<≤,都有)x (f )x (f 21<; ③ 函数)2x (f y +=的图象关于y 轴对称。 则下列结论正确的是
A. )5.15(f )5(f )5.6(f >>
B. )5.15(f )5.6(f )5(f >>
C. )5.6(f )5.15(f )5(f >>
D. )5.6(f )5(f )5.15(f >> ⒑定义在),(∞+∞-上的偶函数)x (f 满足)x (f )1x (f -=+,且在]0,1[- 上是增函数,下面是关于)x (f 的判断: ① )x (f 是周期函数;
② )x (f 的图象关于直线1x =对称; ③ )x (f 在]1,0[上是增函数; ④ ).0(f )2(f =
其中正确的判断是 (把你认为正确的判断都填上)。 ⒒
设
函
数
)x (f 在),(∞+∞-上满足)x 2(f )x 2(f +=-,
)x 7(f )x 7(f +=-,且在闭区间]7,0[上只有.0)3(f )1(f == ⑴ 试判断函数)x (f y =的奇偶性;
⑵ 试求方程0)x (f =在闭区间]2005,2005[-上的根的个数,并证明你的结论。 ⒓ 函数)x (f y =的图象为1C ,1C 关于直线1x =对称的图象为2C ,将2C 向左平移2个单位后得到图象3C ,则3C 对应函数为
A. )x (f y -=
B. )x 1(f y -=
C. )x 2(f y -=
D. )x 3(f y -=
⒔ 函数)R x ()x (f y ∈=满足)x (f 是偶函数,又2003)0(f =,
)1x (f )x (g -=为奇函数,则=)2004(f .
答案:⒈ D ;⒉ 1)4x ()x (f 2
++-=;⒊ B ;⒋ 0;⒌ B ;⒍ D ;⒎ 1a >或2
1
a 0<
< ⒏ D ;⒐ A ;⒑ ①②④;⒒ ⑴ 非奇非偶函数;⑵ 802个根;⒓ A ;⒔ 2003.