用列表法解应用题

用列表法解应用题

初中一年级学生刚刚进入少年期，机械记忆力较强，分析能力仍然较差。初学列方程解应用题时主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系。（2）找出相等关系后不会列方程。（3）习惯于算术解法。鉴此，要提高初一年级数学应用题教学效果，务必要提高学生的分析能力。这是每一个初一数学老师值得认真探索的问题。

下面通过举例，重点说明用列表法解几类应用题。

一、解题思路

1、在仔细审题的过程中，边阅读边将复杂背景中的已知量、未知量（可用字母代替）分类

列成表格；

2、利用表格的横向、纵向联系便很容易把握各量之间的关系，准确地得到方程、方程组，

不等式、不等式组。

二、应用举例

㈠行程问题

例1、甲、乙两人从相距为195千米的A,B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时。如果甲先行1时后乙才出发，问甲再行多少时间与乙相遇？

分析：这是一道行程问题中的相遇问题。有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要

求所走的路程，故分3列。设甲再行x小时与乙相遇，列表如下：

相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲、乙相距的路程

列方程：15+15x+45x=195，

解得：x=3.

答：甲再行3时与乙相遇。

例2、甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时、同向出发，甲在前，乙在后。

甲骑自行车的速度为15千米/时，乙骑摩托车的速度为45千米/时。问：几小时后，他们相遇？分析：这是一道行程问题中的追及问题。追及问题中的等量关系是：

“追者”的路程-“逃者”的路程=两者相距的路程。

有甲、乙两人，故分两行，每个人又都要考察所走的路程、时间、速度，故分3列。

设x小时后，他们相遇。列表如下：

此题的相等关系：乙行进的路程-甲行进的路程=30千米

列方程：45x-15x=30，

解得：x=1.

答：1小时后，他们相遇。

例3、甲、乙两地相距168千米，一辆小汽车以60千米/时的速度从甲地开往乙地，2小时后，一辆拖拉机以48千米/时的速度也由甲地向乙地驶去，如果小汽车到达乙地后立即返回甲地，问小汽车开出多少小时后与拖拉机相遇？

分析：考察对象为交通工具，为小汽车、拖拉机，故分成两行，每一对象又都要考察其速度、时间、路程，故分成3列。设小汽车开出x小时后与拖拉机相遇，列表如下：

相等关系：小汽车行使路程+拖拉机行使路程=168×2.

列方程：60x+48（x-2）=168×2

解得x=4.

答：小汽车开出4小时后与拖拉机相遇。

㈡工程问题

例1、某村承担水利工地的部分运土任务，参加运土的人中，有的一人挑两筐，有的两人抬一筐，现仓库有108只箩筐和57条扁担，村里需要安排多少人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处？

分析：运土的方式分挑和抬，故分两行，每种运土方式又都要考察扁担数、箩筐数和人数，故分3列。设挑土的扁担数为x，列表如下：

相等关系：挑的箩筐数+抬的箩筐数=108

列方程：2x+（57-x）=108，

解得x=51.

∴去工地的人数是：51+2×（57-51）=63（人）

答：村里需要安排63人去工地，才能使现有的箩筐和扁担都派上用处。

例2、父子二人在同一工厂工作，两人要生产一批数量相同的零件。父亲生产这批零件要用30分钟，儿子生产这批零件只用20分钟，父亲比儿子早做5分钟，问过多少时间儿子能追上父亲？

分析：此即工程问题中的追及，考察对象为父亲和儿子，故分成两行，每一对象又都涉及工作效率（把这批零件看作1）、工作时间、工作量，故分成3列。设儿子追上父亲需要x

分钟，列表如下：

相等关系：父亲做的零件=儿子做的零件。 列方程：

305+x =20

x

， 解得 x=10.

答：过10分钟后儿子能追上父亲。

例3、某村承担某段水渠复修任务，第一天甲村民组派了15人，乙村民组派了18人，分别负责挖土和运土。为了提高劳动效率，第二天对劳力进行了合理调配，使运土的人数等于挖土的人数的2倍。问：需要从甲村民组中抽调多少人到乙村民组？

分析：水渠的复修任务有挖土和运土，故分两行，每种任务又都要考察两天的人数、抽调人数，故分3列。设需要从甲村民组中抽调x 人到乙村民组。列表如下：

相等关系：调配后的运土人数=2×调配后的挖土人数， 列方程： 18+x=2×（15-x ）， 解得 x=4.

答：需要从甲村民组中抽调4人到乙村民组。

㈢ 浓度问题

例1、 现有质量分数为15％的盐水60克，要配制成质量分数为25％的盐水，需要加盐多少克？

分析：这是一道浓度问题的应用题。这类问题的基本关系式是：

溶液质量=溶质质量+溶剂质量，质量分数=溶液质量溶质质量

×100％.

考察对象为加盐前后的盐水，故分成两行，每一对象又都涉及含盐量、含水量和盐水的质量，故分成3列。设需要加盐x 克。列表如下：

相等关系：加盐前的含水量=加盐后的含水量， 列方程： （1-15％）×60=（1-25％）×（60+x ）， 解得 x=8. 答：需要加盐8克。

例2、 现有质量分数为15％的酒精溶液60克，要配制成质量分数为10％的酒精溶液，需要加水多少克？

分析：考察对象为加水前后的酒精溶液，故分成两行，每一对象又都涉及含纯酒精量、含水量和酒精溶液的质量，故分成3列。设需要加水x 克。列表如下：

相等关系：加水前含酒精的质量=加水后含酒精的质量， 列方程： 15％×60=10％×（60+x ）， 解得 x=30. 答：需要加水30克。

例3、 现有质量分数为20％和12％的两种硫酸溶液，要配制成质量分数为15％的硫酸溶液80

克，这两种硫酸溶液应各取多少克？

分析：考察对象为配制前后的两种硫酸溶液，故分成两行，每一对象又都涉及纯硫酸质量、溶剂质量和硫酸溶液质量，故分成3列。设需要质量分数为20％的硫酸溶液x克和12％的硫酸溶液y克。列表如下：

相等关系：配制前含纯硫酸的质量=配制后含纯硫酸的质量，（或者是配制前含溶剂的质量=配制后含溶剂的质量）

质量分数为20％的硫酸溶液+质量分数为12％的硫酸溶液=质量分数为15％的硫酸溶液列方程组：20％x +12％y =15％×80，

x+y=80.

x=30，

解得y=50.

答：需要质量分数为20％的硫酸溶液30克和12％的硫酸溶液50克。

㈣与经济有关的应用题

随着市场经济日益繁荣，与经营、经济有关的数学问题不断在生活中出现，因此就相关的经济问题简析如下：

例1、商店将超级VCD按进价提高35％后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”广告，结果每台超级VCD仍获利208元，那么每台超级VCD的进价是多少元？

分析：考察对象是超级VCD，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣和出售价，故分成四列。设每台超级VCD的进价是x元，列表如下：

相等关系：出售价-进价-出租车费=利润.

列方程：（1+35％）×90％x –x-50=208，

解得x=1200.

答：每台超级VCD的进价是1200元。

例2、某商场将某种商品按标价的8折出售，此时商品的利润率是10％，若此商品的进价为1600元，则商品的标价是多少？

分析：考察对象是某种商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、折扣、利润率和出售价，故分成五列。设此商品的标价是x元，列表如下：

∵商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣-商品进价，

又∵商品的利润=商品进价×商品利润率，

∴相等关系：商品标价×折扣-商品进价=商品进价×利润率。

列方程：80％x-1600=1600×10％,

解得：x=2200.

答：此商品的标价为2200元。

例3、某商品的进价是1000元，标价为1500元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

分析：考察对象是某商品，故分成一行，要考察它的进价、标价、出售价和利润率，故分成四列。设售货员最低可以打x折出售此商品，列表如下：

相等关系：商品出售价-商品进价=商品进价×利润率，

x-1000=1000×5％,

列方程：1500×

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解得：x=7.

答：售货员最低可以打七折出售此商品。

1或10％出售。）

（备注：打一折即按原价的

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例4、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息×20％，银行一年定期储蓄的年利率为1.98％。今小刚取出一年到期的本金及利息时，交了3.96元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为多少元？

分析：考察对象是存款问题，故分成一行，要考察存款问题中的本金、利率、利息、期数和利息税，故分成四列。设小刚一年前存入银行的钱为x 元，

其中，利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息。列表如下：

相等关系：利息税=利息×20％

列方程：x×1.98％×20％=3.96，

解得x=1000.

答：小刚一年前存入银行的钱为1000元。

例5、张大妈参加了2003年4月18日经中国保险监督管理委员会批准的人保理财——金牛投资保障型（3年期）家庭财产保险，她一次投资2000元，投保3年，每年须交保险费12元。期满后，保险公司从收益金中扣除每年须交的保险费后，连同保险投入资金，张大妈一共能领到2096元，试问：

（1）张大妈投保3年期的收益率是多少？（收益金=投入资金×年收益率×保险年数）

1.若张大妈把2000元存入银行存期3年，仅从现金的角度考虑（不考虑财产

损失后是否有赔），请你为张大妈算一算，上述两种投资，哪一种更合算？

（利息=本金×年利率×存期，3年期年利率为2.52％，利息税是20％）分析：考察对象是投保问题，故分成二行，要考察投保问题中的投入资金、年收益率、保险年数和每年须交的保险费，故分成四列。设3年期的年收益率是x，

列表如下：

相等关系：收益金=投入资金×年收益率×保险年数

利息=本金×利率×期数，

列方程：2000x×3=2096-2000，

解得x=0.016，即x=1.6％。

∴张大妈投保3年期的收益率是1.6％。

（2）利息=2000×2.52％×3=151.2（元），

利息税=151.2×20％=30.24（元），

151.2-30.24=120.96（元），有120.96元＞96元。

（又解因为2.52％×（1-20％）=2.018％＞1.6）

故仅从现金的角度考虑，存入银行合算。

例6、王明于2002年购买一辆帕萨特轿车，并参加了车辆财产保险,至2006年,四年共交了保险费8320元.在2006年因车祸造成财产严重损失.事后理赔调查时,按当地的完好市价估计总值为25万元,残存车辆的残值15万元,于是保险公司赔款10.4万元.问王明2002年参加车辆财产保险的金额是多少?保险费率是多少?

分析: 保险公司赔偿损失是按保险金额和损失程度确定的.计算公式为

保险赔款=保险金额×损失程度, 损失程度=

完好价值

保险财产受损当时市场保险财产受损价值

×100％,

本题中“保险财产受损价值”为（25-15）万元。 解： 设王明2002年参加车辆财产保险的金额为x 万元。 因为损失程度=

25

15

25 ×100％=40％， 则有 10.4=x ×40％， 解得 x=26.

所以参加家庭财产保险的金额为26万元。 又设保险费率为p ‰，则 26×p ‰×4=0.832， 解得 p ‰= 8‰. 所以保险费率为8‰。 ㈤ 其他问题

例1、 父子两人年龄之和是60，10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍，求父亲今年的年龄。

分析：考察对象有父亲和儿子，故分成两行，每一考察对象又都要涉及现在年龄和10年前年龄，故又分成两列。设父亲现在的年龄为x 岁，列表如下：

相等关系：10年前父亲的年龄=10年前儿子年龄的7倍. 列 方 程：x-10=7（50-x ）, 解得 x=45.