高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

高考圆锥曲线中的定点定值问题

定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可

类型一：“手电筒”模型

例题、已知椭圆C ：13

42

2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22

3412

y kx m x y =+??

+=?得222

(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->

2121222

84(3)

,3434mk m x x x x k k

-+=-?=++ 222

2

121212122

3(4)

()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k

-?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，

1212122

y y

x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222

3(4)4(3)1640343434m k m mk

k k k

--+++=+++， 整理得：2

2

71640m mk k ++=，解得：1222,7

k m k m =-=-

，且满足22

340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

当27k m =-时，2

:()7

l y k x =-，直线过定点2(,0)7

综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2

(,0).7

◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直

线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))

(,)((

2

222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆类型题训练

练习1：过抛物线M:px y 22

=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

练习2：过抛物线M:x y 42

=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。

练习3：过122

2=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=?AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2

2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4

π

αβ+=

时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4

π

αβ+=，

故0,4

π

αβ<<

，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为π从而设AB 方程为

y kx b =+，显然22

12

12,22y y x x p p ==

， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2

220ky py pb -+=

由韦达定理知121222,p pb

y y y y k k

+=?=

① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4

π

αβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-

将①式代入上式整理化简可得：

212p

b pk

=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=

所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.

练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是的角

平分线, 证明直线过定点.

l PBQ ∠l

【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C

(Ⅱ) 点B (-1,0),

.

直线PQ 方程为:

所以,直线PQ 过定点(1,0)

练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r

（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.

【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 （5分）

).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线

）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=?-=?=+t m t y y m y y y x E y x D

4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-?+++-=--+--=?∴y y y y x x x x y y x x

5)(2)4

4(4421212

2212221++-?++-?=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-?+?-+-?=y y y y y y y y y y

m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4

)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得

)1(23)1(434849622

22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>?+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE 2222,2

),,(EC ME CM CA MN

ME E MN y x +===

，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=?+=+-?（22

2121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设080)()(88

811211221212222112211=+?=+++?+-=+?+-=+?

y y y y y y y y y y

y y x y x y )8(1)(2

11

21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-?---=

-1,088)(8)()(122

112112==?=++?-=+-+?x y x y y y y x y y y y y y

练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2

=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.

（I ）证明: OM OP ?u u u u r u u u r

为定值;

（II ）若△POM 的面积为2

5

，求向量OM 与OP 的夹角；

（Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.

解：（I ）设点P y y P y y M Θ),,4(),,4(22

2

121、M 、A 三点共线， ,4

414,2

2

212

1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .54

4212

2

21=+?=?∴y y y y OP OM

(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=??αOP OM

.5sin ||||,2

5

=??∴=

?αOP OM S ROM Θ由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(??=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα

(Ⅲ)设点M y y Q Θ),,4(32

3

、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222

331313

2

3133131311,,41444

(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=L L L L 即即即分

,044

4,4,432

322121=+++?∴==y y y y y y y y 即Θ

即.(*)04)(43232=+++y y y y

,44

43223

2

232y y y y y y k PQ +=--=

Θ )4(4

2

2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线

即.4)(,4))((32322

2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即

由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.

类型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆2

22r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2

00r y y y x =+”，类比也有

结论：“椭圆),()0(10022

22y x P b a b

y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：

14

22

=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；

（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33

4(

11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13

322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13

3

ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）

（2）把AB 的方程0167,14

)1(322

=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+?+=AB 又M 到AB 的距离3323

1|

334|=+=d ∴△ABM 的面积21

316||21=??=d AB S

◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

练习1：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:

.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.

(Ⅰ) 求抛物线的方程;

(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程; (Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由

结合,解得.所以抛物线的方程为

.

(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,

求导得 设,(其中), 则切线的斜率分别为,,

所以切线：,即,即 同理可得切线的方程为

因为切线均过点,所以, 所以为方程的两组解. 所以直线的方程为.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,

C ()()0,0F c c >l 20x y --=P l P C ,PA PB ,A B C ()00,P x y l AB P l AF BF ?C 2

4x cy =2

=

0c >1c =C 2

4x y =C 2

4x y =214y x =

12y x '=()11,A x y ()22,B x y 22

1212,44x x y y ==,PA PB 11

2

x 212x PA ()1112x y y x x -=-2

11122

x x y x y =

-+11220x x y y --=PB 22220x x y y --=,PA PB ()00,P x y 1001220x x y y --=2002220x x y y --=()()1122,,,x y x y 00220x x y y --=AB 00220x x y y --=11AF y =+21BF y =+

所以

联立方程,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得,

所以

又点在直线上,所以,

所以

所以当时, 取得最小值,且最小值为.

练习2：如图,抛物线,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),切线的斜率为. (I)求的值;(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方.

()()()121212111AF BF y y y y y y ?=++=+++0022204x x y y x y

--=??=?x ()222

00020y y x y y +-+=212002y y x y +=-2

120y y y =()2

2

1212000121AF BF y y y y y x y ?=+++=+-+()00,P x y l 002x y =+2

222

0000001921225222y x y y y y ??+-+=++=++ ??

?01

2

y =-AF BF ?92()22

12:4,:20C x y C x py p ==->()00,M x y 2C M 1

C ,A B M O ,A B

O 01x =.MA 1

2

-p M 2C AB N (),,.A B O O 重合于时

中点为

类型三：相交弦过定点

相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3下，优酷视频。但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题、已知椭圆C：

2

21

4

x

y

+=，若直线:(2)

l

x t t

=>与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

解：设

11

(,)

M x y，

22

(,)

N x y，直线

1

A M的斜率为

1

k,则直线

1

A M的方程为

1

(2)

y k x

=+，由

1

22

(2)

44

y k x

x y

=+

?

?

+=

?

消y整理得222

121

(14)161640

k x k x k

+++-=

1

2x

-

Q和是方程的两个根，

2

1

12

1

164

2

14

k

x

k

-

∴-=

+

则

2

1

12

1

28

14

k

x

k

-

=

+

，1

12

1

4

14

k

y

k

=

+

，即点M的坐标为

2

11

22

11

284

(,)

1414

k k

k k

-

++

，

同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为

2

22

22

22

824

(,)

1414

k k

k k

--

++

12

(2),(2)

p p

y k t y k t

=+=-

Q

12

12

2

k k

k k t

-

∴=-

+

，Q直线MN的方程为：121

121

y y y y

x x x x

--

=

--

，

∴令y=0，得2112

12

x y x y

x

y y

-

=

-

，将点M、N的坐标代入，化简后得：

4

x

t

=

又2

t>

Q，∴

4

02

t

<

4

3

t

∴=

43

3

t=

故当

3

3

t=时，MN过椭圆的焦点。

练习：已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点Q.

（1）求椭圆的方程：

（2）是否存在这样直线，使得点Q恒在直线上移动？若存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为

将、、代入椭圆E的方程，得

解得. ∴椭圆的方程

（也可设标准方程，知类似计分）

（2）可知：将直线

代入椭圆的方程并整理．得

设直线与椭圆的交点，

由根系数的关系，得

直线的方程为：

E(2,0)

A-(2,0)

B

3

1,

2

C

??

?

??

l E M N AM BN

E

m m m

221(0,0),

mx my m n

+=>>

(2,0)

A-(2,0)

B

3

(1,)

2

C

41,

9

1

4

m

m n

=

?

?

?

+=

??

11

,

43

m n

==E

22

1

43

x y

+=

2

=

a

:(1)

l y k x

=-

E

22

1

43

x y

+=2222

(34)84(3)0

k x k x k

+-+-=

l E

1122

(,),(,)

M x y N x y

2

1212

22

14(3)

,

3434

k

x x x x

k k

-

+==

++

AM11

(1)

(2),(2)

22

y k x

y x y x

x x

-

=+=+

++

即

由直线的方程为：，即 由直线与直线的方程消去，得

∴直线与直线的交点在直线上． 故这样的直线存在

类型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例 1.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。（I ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点)3

1,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222

=+-+???=+=b x b x y x

y b

x y 得消去 AM 2

2(2)2

y y x x =

--22(1)(2)2k x y x x -=

--AM BN y 121212122121222(3)2[23()4]

34()24

x x x x x x x x x x x x x x x -+-++=

=+-++-22222222

22

2

2

22

8(3)24462443434344846423434k k k x x k k k k k x x k k ????-+-+-+ ???+++????===+-+-+++AM BN 4x =

因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(2

2=--=?∴b b 1=∴b

22222

2

1,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=Q .12

22=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222

)3

4()31(=++y x

当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12

2

=+y x ,由???==??

???=+=++101)34()31(22222

y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。 当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）

若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3

1-

=kx y 由01612)918(:12

312222

=--+???????

=+-=kx x k y y x kx y 得消去 记点),(11y x A 、???

????

+-=

+=+9181691812),,(2212212

2k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-u u r u u r 又因为 1212121244

(1)(1)()()33

TA TB x x y y x x kx kx ?=+--=+--u u r u u r 所以

916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09

16

918123491816)1(222=++?-+-?+=k k k k k

∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.

例2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

，12,A A 分别是椭圆C 的左、右两个顶

点，点F 是椭圆C 的右焦点。点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足

121122A D A D FD

+==。 （1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；

（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx m =+ 与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线n 于点 Q 。求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定 点的坐标。 解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ，

由

1211

2A D A D

+=有

112x a x a +=+-， 又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是

11

211c a c a +=+++-

1(1)(1)c c a c a ?+=+++-

，又c a a =?=Q ，

1(1)(1)c c c ∴+=+++

2

0c c ?-=，又0c >

，1,1c a b ∴=∴=，椭圆2

2:12

x C y +=，且(2,0)D 。

（2）(2,2)Q k m +Q ，设00(,)P x y ，由22

22

()121

2

y kx m

x kx m x y =+???++=?+=?? 222()2x kx m ?++=222(21)4220k x kmx m ?+++-=，

由于22222222

164(21)(22)021021k m k m k m m k ?=-+-=?-+=?=+（*），

而由韦达定理：*00

222422222121km km km k x x k k m m ---=?===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21

(,)k P m m

∴-，

设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ?=u u u r u u u u r

有

2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k

x x y y k m x y x k m y m m m m m +-+--+=?++-++++-=由对

称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。

练习：已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点2F 与抛物线2

2:4C y x =的焦点重合，椭圆1C 与抛

物线2C 在第一象限的交点为P ，25

||3

PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点,圆3C 与y 轴交于

,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；

（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.

∵抛物线2

2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).

∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由

抛物线的定义可知211PF x =+,∵253

PF =

,∴1513x +=，解得123x =.由2

11843y x ==，且10y >,

得1y =

∴点P

的坐标为23,? ?. 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中， 1c =

.122||||4a PF PF =+=+=

22x y

（2 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，

∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴

||4MN ==.

∴r =

∴圆3C 的方程为222

000()()4x x y y x -+-=+.()*

∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2

004y x =(00x ≥).∴2

0014

x y =

. 把20014

x y =代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()**

方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.

x y x y ?-=??-=??+-=??

解得2,

0.x y =??=?

∵点(2,0)在椭圆1C :22

143

x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.