微积分2期末复习提纲答案
2015年6月微积分2期末复习提纲
1、 本学期期末考试考察的知识点如下:
第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接
展开以
1
,,ln(1)1x e x x
+-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则
D
d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆)
● 或D ：9122≤+≤y x ，则
??=D
dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环)
● 或2
2
:4D x y y +≤，将
dxdy y D
??化为极坐标系下的累次积分4sin 20
sin d r dr π
θ
θθ?
?
．
(判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入)
7.3极坐标系下二重积分的计算
2、交换积分次序
1
1
(,)y
dy f x y dx =
?
?1
(,)x
dx f x y dy ?
?。
（依题得：010<
<
1
<
(,)x dx f x y dy ??）
● 或
110
(,)x
dx f x y dy -=
??
11
1(,)-??
y
dy f x y dx 。
（依题得：0101<
<<-?x y x 推出01
01<
，得：1101(,)-??y
dy f x y dx ）
● 或
660
cos y
x
dy dx x
ππ
=?
?
12。
（依题得：06
6ππ?
<
y y x 推出06π<< 最后得：6 cos π?? x x dx dy x ） 666600 000cos cos 1cos sin 2 π πππ ====? ? ??x x x x dx dy dx xdx x x x ● 比较二重积分大小：()2 σ+??D x y d 与()3 σ+??D x y d ，其中D 是由直线 x=0,y=0,x+y=1所围成的区域。 （由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的区域满足1+ ∴+≤x y ()3 +x y ） ()2 σ∴+≤ ??D x y d ()3 σ+??D x y d P209课后两题 7.1交换积分次序&二重积分比较大小 3、若级数1 n n u ∞ =∑的前n 项和1n n s n =+，则n u =1 (n 1)n +，1n n u ∞=∑=111-+n 。 解：2211(1)1 1(n 1)(n 1) ----=-=-== +++n n n n n n n u s s n n n n 11111 111(n 1)11∞ ∞ ∞===??==-=- ?+++??∑∑∑n n n n u n n n n 4、级数112 n n n x n ∞ =?∑的收敛域为[)2,2-。 解：()()1 1 1 1 122lim lim lim 21212+→∞→∞→∞+++??====?+?n n n n n n n n n n a n R a n n 当x=-2时，()()111 1112122∞ ∞∞ ====-=-??∑∑∑n n n n n n n n x n n n 是交错级数，条件收敛 当x=2时，111 111 222∞ ∞∞=====??∑∑∑n n n n n n n x n n n 是调和级数，发散，得收敛域为[)2,2- ● 或级数 ∑∞ =?12 21 n n n x n 的收敛域为[]2,2-。 解：() ()2 1 221 2 1 1122lim lim lim 21 2 12+→∞→∞ →∞ +++??====?+?n n n n n n n n n n a n R a n n 当x=-2时，()()222111 1112122∞ ∞∞ ====-=-??∑∑∑n n n n n n n n x n n n 是交错级数，绝对收敛 当x=2时，222111111222∞ ∞∞ =====??∑∑∑n n n n n n n x n n n 是P>1的P 级数，收敛，得收敛域为[]2,2- 8.4幂级数收敛半径&收敛域的计算 5、级数1(1)n n u ∞ =-∑收敛，则lim n n u →∞ = 1 。 解：已知级数1 (1)n n u ∞=-∑收敛，根据级数收敛的必要条件，可得：()lim 10→∞-=n n u ，得lim 1→∞ =n n u 6、级数123n n ∞ =??= ???∑ 2 。或1 1!n n ∞==∑ 。或级数12(1)3n n n n ∞=+-=∑ 7/4 。 解：1111221 22(1)2(1)173332,2221344333111333∞ ∞∞∞ ====-+--??====+=+=-= ?????---- ? ?? ∑∑∑∑n n n n n n n n n n n n 8.1常数项级数 7、方程4cot 2=-'y x y 满足条件2)0(=y 的特解是 。 8、方程x x y y sec tan =-'满足条件0)0(=y 的特解是 。 9.2一阶微分方程 9、方程x xe y y y 396=+'-''的一个特解形式为=*y 。 10、若微分方程60y y ay '''-+=的通解为2412x x y C e C e =+，则a = 。 11、微分方程03512=+'-''y y y 的通解为 。 12、微分方程034=+'-''y y y 的通解为 。 13、方程x e x y y y --=+'+'')1(2的一个特解形式为=*y 。 14、若通解为x e x C C 221)(+的微分方程为 。 9.3二阶常系数线性微分方程 二、计算下列二重积分（5小题） 1、求22 ()D I x y dxdy = +?? ，其中{}22(,)4D x y x y =+≤。22 300 d r dr πθ=?? 2、求?? --=D dxdy y x I )4(，其中y y x D 2:22≤+。()2sin 0 4cos sin d r r rdr π θ θθθ= --? ? 7.3极坐标系下二重积分的计算 3、求D I xydxdy = ?? ，其中D 由2,,2x y x y x ===所围。2 20 x x dx xydy = ? ? 4、求?? = D dxdy xy I 2 ，其中由21 2,2 y x x ==所围。 21 11 22220 1 2 y dx xy dy dy xy dx -= =? ?? 5、求 66 cos ππ ? ?y x dy dx x 12= 7.2直角坐标系下二重积分的计算 三、判断下列级数的敛散性(若收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？)（9小题） 1、113n n n ∞ =+∑ 2、1 1(1)ln(1)n n n ∞ =-+∑ 3、152∞ =??= ???∑n n 。 4、21(!)(2)! n n n ∞ =∑ 5、 ∞=n 6、11(1)ln(1)n n n ∞=-+∑ 7、25127∞ =+∑n n n 8、11sin ∞=∑n n 9 、11n ∞=? - ? ∑ 8.2正项级数&8.3任意项级数 四、解下列各方程（7小题） 1、求微分方程 28dy y dx +=满足初始条件(0)5y =的特解。 2、设函数()f x 可导，且满足0 ()()x x f x f t dt e = +? ，求()f x 。 3、设某曲线过点(0,1)，且其上每一点的切线斜率都比该点的纵坐标大2,求该曲线方程。 4、求微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解。 9.2一阶微分方程 5、二阶常系数微分方程230y y y '''+-=满足(0)1,(0)1y y '==的特解。 6、求微分方程242y y x '''+=-的通解。 7、求微分方程x e y y y 2244=+'-''的通解。 9.3二阶常系数线性微分方程 五、 （12分）（7小题） 1、求级数01 n n x n ∞ =+∑的和函数()s x ，并求112(1)n n n ∞ =+∑的和。 2、求级数211 1 (1) 21n n n x n -∞ -=--∑的和函数()s x ，并求11 1 (1)21n n n ∞ -=--∑的和。 3、求级数2111(1)3n n n n x ∞ +=-∑的收敛域，和函数，并求11 1 (1)3n n n ∞+=-∑的和。 8.4幂级数和函数的计算 4、将函数2 ()ln(23)f x x x =-++展开为x 的幂级数。 5、将函数2 1 ()2f x x =+展开为x 的幂级数。 6、将函数x x x f -= 2)(展开为x 的幂级数。 8.5函数的幂级数展开 7、设lim n n a →∞ =∞，证明：（1）11 ()n n n a a ∞+=-∑发散； （2）1111n n n a a ∞ =+??- ???∑收敛，且和为11a . 六、证明题（6分） 设(1,2,3,)n n n a c b n ≤≤= ，且级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑都收证明： 级数 1 n n c ∞ =∑也收敛。 第8章幂级数证明题 微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2 地基与基础、微积分基础试题 地基与基础试题 1、土颗粒级配曲线越缓，说明土颗粒越不均匀，级配良好。 2、土中的气体如果处于封闭状态，则土不易压实，形成高压缩性土。 3、单粒结构的土如果孔隙比较小，且土体强度大，则可以作为天然地基。 4、地基土的自重应力图线是一条折线。 5、【判断】10 、土松而湿则强度低且压缩性大，反之，则强度高且压缩性小。 6、根据塑性指数的不同，粘性土可分为粘土和粉质粘土。 7、随着压力的变化，同一种土的压缩系数是一个常数。 8、沉井基础是一种深基础。 9、桩基础按承载性状可分为挤土桩和摩擦型桩。 10、土粒由粗变细，则土由无粘性变成有粘性，且由透水性强变为透水性弱。 11、土颗粒级配曲线越陡，说明级配越良。 12、达西定律是土中水渗流时的基本规律。 13、击实曲线中，最大干密度对应的含水量是最佳含水量。 14、地基是具有一定的深度和广度范围的。 15、【判断】57 、CFG桩的加固原理是置换和挤密。 16、土的液限与其天然含水量无关。 17、为防止不均匀挤土，可采用跳打法打桩。 18、压缩模量大的土是高压缩性土。 19、地基附加应力就是地基土自重引起的应力。 20、由于粉土的毛细现象剧烈，所以粉土是一种良好的路基填料。 21、大直径桥墩的灌注桩基础常采用人工挖孔。 22、抗剪强度库仑定律的表达式为。 23、饱和度反映了土体孔隙被水充满的程度。 24、与直剪试验相比，三轴试验显得简单、快捷。 25、土的塑限与其天然含水量无关。 26、塑性指数越小，说明土越具有高塑性。 27、泥浆护壁成孔时，泥浆的主要作用是清渣和护壁。 28、同一土体的最佳含水量是固定不变的。 29、土体的孔隙比也叫孔隙率。 《微积分》期末复习指导 一、复习要求和重点 函数 ⒈理解函数概念，了解函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。 ⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。 本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。 一元函数微分学 ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件： 且 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。 两个重要极限的一般形式是： ， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 ⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。 ⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。 ⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。 本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。 导数的应用 ⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。 2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010< 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.函数2 e e x x y -= -的图形关于（ ）对称． (A)坐标原点 (B)x 轴 (C)y 轴 (D)x y = 2.在下列指定的变化过程中，（）是无穷小量． (A))(1sin ∞→x x x (B))0(1sin →x x k 4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ． 5.若 ?+=c x x x f sin d )(，则=')(x f ． 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1) 1sin(lim 21-+-→x x x ． 2.设x x y 3e cos +=，求y d ． 3.计算不定积分?x x x d e 21． 4.计算定积分 ? e 1 d ln x x ． 四、应用题（本题16分） 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容径与高各为多少时用料最省？ 答案 一、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1.A 2.C 3.C 4.B 5.D 二、填空题（每小题4分，本题共20分） 1.)2, 1(- 2.e 3.3 4.),(∞+-∞ 5.sin - 三、计算题（每小题11分，共44分） 1.解：21 )1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x )3(d )e (cos x x + h ，则其表面积为 ，由实际问题可知，当 3 π 4V =，即当容器 x (B) )(x x f =x ln (D)ln )(x x f =),+∞，则函数 轴 坐标原点 (A)x 1 (B)x x sin (C)1e -x (D)32x x ⑷设)(x f 在点1=x 处可导，则--→h f h f h ( )21(lim 0（ ）． (A))1(f ' (B))1(f '- (C))1(2f ' (D))1(2f '- ⑸函数322 -+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）． (A)先单调上升再单调下降 (B)单调上升 《高等数学基础》课程期末考试复习资料册 一、单项选择题 1.设函数f(x)的定义域为，则函数f(x)+f(-x)的图形关于(C)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 2.函数在x=0处连续，则k=(C）. A.1 B.5 D.0 3.下列等式中正确的是(C). 4.若F(x)是4.f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A). 5.下列无穷限积分收敛的是(D). 6.设函数f (x)的定义域为，则函数f(x)- f(-x)的图形关于( D)对称. A.y=x B.x轴 C.y轴 D.坐标原点 7.当时，下列变量中( A)是无穷大量. 8.设f (x)在点x=1处可导，则 =(B). 9.函数在区间(2,4)满足(A). A.先单调下降再单调上升 B.单调上升 C.先单调上升再单调下降 D.单调下降 10.=(B). A.0 B. П C.2П D. П/2 11.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 12.当，变量(C)是无穷小量. 13.设f(x)在点x=0处可导，则=(A). 14.若f(x)的一个原函数是，则=（D）. 15.下列无穷限积分收敛的是(C). 16.设函数f(x)的定义域为，则函数的图形关于(A)对称. A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D. y=x 17.当时，变量(D)是无穷小量. 18.设f(x)在x。可导，则=（C）. 19.若则=（B）. 20. =（A）. 21.下列各函数对中，(B)中的两个函数相等. 22.当k=（C）时，在点x=0处连续. A. -1 B. 0 c.1 D.2 23. 函数在区间(2,4)满足(B). A. 先单调下降再单调上升 B.单调上升 C. 先单调上升再单调下降 D.单调下降 《微积分》复习及解题技巧 第一章 函数 一、据定义用代入法求函数值： 典型例题：《综合练习》第二大题之2 二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示） 对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x 的取值范围（集合） 主要根据： ①分式函数：分母≠0 ②偶次根式函数：被开方式≥0 ③对数函数式：真数式＞0 ④反正（余）弦函数式：自变量 ≤1 在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。 典型例题：《综合练习》第二大题之1 补充：求y=x x 212-+的定义域。（答案：2 12<≤ -x ） 三、判断函数的奇偶性： 典型例题：《综合练习》第一大题之3、4 第二章 极限与连续 求极限主要根据： 1、常见的极限： 2、利用连续函数： 初等函数在其定义域上都连续。 例： 3、求极限 的思路： 可考虑以下9种可能： ①0 0型不定式（用罗彼塔法则） ② 2 0C =0 ③∞ 0=0 ④01 C =∞ ⑤21C C ⑥∞ 1C =0 ⑦ 0∞=∞ ⑧2C ∞=∞ ⑨∞ ∞ 型不定 式（用罗彼塔法则） 1sin lim 0 =→x x x e x x x =??? ? ?+∞→11lim )0(01 lim >=∞→αα x x ) ()(0 lim 0 x f x f x x =→11 lim 1 =→x x 1) () (lim =→x g x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0 )(11lim 常数C C x f x α?? ???∞ ≠=→)0(0)(22lim 常数C C x g x α 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ?=)()(x g x f :Note 1)(,1 1)(2+=--=x x g x x x f E xample )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x 6) inverse trigonometric functions 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 （1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 （2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差 一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积 分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换 解题思路：“去根号”； 解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??； 特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换 二次函数） 解题思路：“去根号”； 解题方法： （1） 令sin x a t =，有cos dx a tdt =； （2） 令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =； （3） 令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题： 注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法 大学微积分l知识点讲解总结(二) 【第五部分】不定积分 1.书本知识(包含一些补充知识) (1)原函数:F ’(x )=f (x ),x ∈I ,则称 F (x )是 f (x )的一个“原函数”。 (2)若F (x )是f (x )在区间上的一个原函数,则f (x )在区间上的全体函数为F (x )+c (其c 为常数) (3)基本积分表 ??+==c x dx dx 1 c x dx x +?+?=?+???11 1 (α≠1,α为常数) c dx x x +=??ln 1 ()()()??? ??+-?=?+-=?-+-=?++=?≠+=?c x x x dx x c x x dx x c x arc x dx x c e dx e a a a c a a dx a x x x x ln ln arccos arcsin 11 cot arctan 1110ln 2 2或或为常数,,> ()c x a x a a dx x a c a x a dx x a c a x dx x a c x x dx x +-+?=?-+=?++=?-+++=?+????ln 211arctan 11arcsin 11ln 11 c x x x d c shx dx chx c chx dx shx +-=-+=?+=????cos ln cos cos c x dx x c x dx x c x dx x +=?+=?+-=????cos ln tan sin cos cos sin c x dx x +=??sin ln cot c x dx x x c x dx x x c x dx x c x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x c x x dx x +-=??+=??+-=?+=?+--=?+-=?++=?+-= ?+-=?++=???????????csc cot csc sec tan sec cot csc tan sec cot cot tan tan 2sin 4 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 微积分初步期末模拟试题 一、填空题（每小题4分，本题共20分） 1．函数24)2(2+-=-x x x f ，则=)(x f 22-x 。 2．若函数?? ??? =≠+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f ,在0=x 处连续，则=k 1 。 3．曲线x y =在点)1,1(处的切线斜率是 2 1 。 4．=-?-x x x x d )2cos (sin 112 3 2 - 。 5．微分方程x y xy y sin 4)(6 )5(3=+''的阶数为 5 。 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） 1．函数x x x x f -+-= 5) 2ln()(的定义域是（ D ）。 A ．),2(+∞ B ．]5,2( C ．)5,3()3,2(? D ．]5,3()3,2(? 2．设x y 2lg =，则=y d （ A ）。 A ．x x d 10ln 1 B ．x x d 1 C ．x x d 21 D ．x x d 10ln 3．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ B ）。 A ．x sin B ．x -3 C ．2x D ．x e 4．若函数)0()(>+=x x x x f ，则='?x x f d )(（ C ）。 A ．c x x ++2 B ．c x x ++23 23 2 21 C ．c x x ++ D ．c x x ++232 2 3 5．微分方程0='y 的通解为（ D ）。 A ．0=y B ．cx y = C ．c x y += D ． c y = 三、计算题（本题共44分，每小题11分） 1．计算极限9 15 2lim 223--+→x x x x 。 解：原式3 4 )3)(3()3)(5(lim 3=+--+=→x x x x x 2．设x x x y 3cos +=，求y d 。 解：x s x y in332 3 21 -=' x x s x y d )i n 3 32 3(d 2 1-= 微积分期末复习总结资料（精品） 首先，就是要有正确的复习方法。在这里，我们也给大家提供几种有效的方法以供参考： 第一、大家首先要克服浮躁的毛病，养成看课本的习惯。其实，所有的考试都是从课本知识中发散来的，所以在复习时就必须看课本，反复的看，细节很重要，特别是基本概念和定理。详细浏览完课本之后，认真复习课本上的课后习题和学习指导上每章的复习小结，力争复习参考题每题都过关。复习小结了然于心，然后再复习。 第二、制定复习计划，把时间合理分配到四个章节，尤其是第二章极限尤为重点，是整个上学期微积分理论的基础。学好极限，对于理解连续还有导数有着重要意义，很多同学觉得越学越吃力的原因还是在于学期初没有扎实的打好知识基础。 第三、理清知识结构网络图（极限、连续、导数、不定积分），然后根据知识结构网络图去发散、联想基础概念和基本定理和每个知识点的应用计算题，对本章节的内容有个清晰的思路，这样就可以在整体上把握书本知识。从整体上把握书本知识有利于我们对于试卷中的一些基本的题目有一个宏观的把握，对于试卷中的问答题，可以从多角度去理解和把握，这样就能够做到回答问题的严密性。 第四、将课上老师所讲授的典型例题及做习题过程遇到的难题还有易错的题归纳整理，分析。数学当中很容易出现同一个问题有几种不同的解决方法的情况，但是经过总结归纳之后在应试时可以选取一个最简单而且效率最高的解法。比如，求极限的13种方法要分别练习，还有求导、求微分及求不定积分公式表要经常回顾。 第五、有条件的话可以看看往年的考试真题，针对出现较频率较高的题型，适当的做些有针对性的模拟试题。另外，应该多做那些自己认为知识点理解、应用薄弱的题，对一些难题可在自己思考的基础上加强与同学、老师的交流，对于那些偏题、怪题笑而弃之。 其次，有了好的复习方法，还要注意复习内容，也就是复习要点。微积分上学期的主要内容及基本要求经过详细整理分类主要包括以下三个部分，希望能够对大家的复习起到事半功倍的效果： 函数、极限与连续 (一)基本概念 1．函数：常量与变量，函数的定义 大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外) 存在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 0或∞，则a x g x f x x =→) () (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 ) 2(1 4--= x x y （ ）。 (A) 只有水平渐近线； (B) 只有垂直渐近线； (C) 没有渐近线； (D) 既有水平渐近线， 又有垂直渐近线 8. 假设)(x f 连续，其导函数图形如右图所示，则)(x f 具有 (A) 两个极大值一个极小值 (B) 两个极小值一个极大值 (C) 两个极大值两个极小值 (D) 三个极大值一个极小值 9. 若?(x )的导函数是2 -x ，则?(x )有一个原函数为 ( ) 。 x 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1．(2013·汕尾质检)??01(e x ＋2x)d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1 2．(2013·湛江模拟)曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π 2所围成的平面区域的面积为( ) A ．∫π 20(sin x －cos x)d x B ．2∫x 40(sin x －cos x)d x C ．2∫π 40(cos x －sin x)d x D ．∫π 20(cos x －sin x)d x 3．(2013·潮州模拟)设f(x)＝??0x sin t d t ，则f[f(π 2)]的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－cos 1 D ．1－cos 1 图2－13－3 4．如图2－13－3，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝1 4，所围成的图形(阴影部分)的面积为( ) A.23 B.13 C.12 D.14 5．一物体在力F(x)＝???10， （0≤x ≤2）， 3x ＋4， （x ＞2）(单位：N )的作用下沿与力F(x)相同的 方向运动了4米，力F(x)做功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J 二、填空题 6．设函数f(x)＝ax 2＋1，若??0 1f(x)d x ＝2，则a ＝________． 图2－13－4 7．(2013·肇庆模拟)如图2－13－4，是一个质点做直线运动的v —t 图象，则质点在前6 s 内的位移为________m . 8．(2013·广州调研)若f(x)＝???? ?f （x －4），x ＞0， 2x ＋∫π 60cos 3x d x ，x ≤0，则f(2 013)＝________． 三、解答题 9．已知f(x)在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3， 试求??0 3f(x)d x 的值． 10．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 图2－13－5 11．如图2－13－5所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解析及答案 一、选择题 1．【解析】 ??0 1(e x ＋2x)d x ＝(e x ＋x 2 )|1 0＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e . 【答案】 C 2．【解析】 当x ∈[0，π 4]时，cos x ≥sin x ， 当x ∈(π4，π 2)时，sin x ＞cos x. 故所求平面区域的面积为∫π40(cos x －sin x)d x ＋∫π 2π4 (sin x －cos x)d x ，微积分试题及答案(5)
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