矩形薄板的几种解法

（范文素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制, 期待你的好评与关注）

弹力小结

矩形薄板的几种解法

矩形薄板的几种解法

?:纳维解法

四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为

O

二 0

_a

y 厂

O

二 0

-0.

纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:

为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即

q"4

D 芸M C mn sin ^sin 也。 m ± n a b

血x

现在来求出式（（中的系数C mn 。将式C ）左右两边都乘以n ,其中的

a

为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意

=o

x _0

n ::

A mn m 土 n 三

sin

sin

a

b

（a ）

其中m 和n 都是任意正整数。 弹性曲面微分方

显然，上列的边界条件都能满足。将式 代入 程

::n m 2 n 2

冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。（ b ）

a b

到

（C ）

A

y

a sin .0

sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdx

a 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到

b ，注意

b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j

因为i 和j 式任意正整数,

可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin ab

C 4 mn

解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U

与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) A

mn

4a 4 0

b

q sin

4

二 abD

sin n Ldxdy a

b

m 2

. n 2~2

当薄板受均布荷载时，

q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为

q 0 sin

sin

:a

=q 0

q 0 sin

a

m ?:; x dx a

dxdy b

b . n 二 y sin dy 0 b

q 0 ab

2 ------

■：\ mn

一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 A

mn 1 - cos n ■：!；

4 q 0 1 一 cos m 尹 —y

—-J 二6

D mn A mn 16 q 0

? 2 2 I m_ . n

J 厂 .2 >,- b

。m = 1 ,3,5, I H ； n =1 ,3,5, I | I

代入式即得挠度的表达式

当薄板在任意一点：，H ）受集中荷载时，可以用微分面积dy 上的均布

荷载F 来代替分布荷载于是，式d X 中的除了在（J 口）处的微分面积上

dxdy

等于F

以外其余各处都等于零。因此，式成为

dxdy

代入式（），即得挠度的表达式

值得指出：当x 及y 分别等于?及 时，各个内力的级数表达式都不收敛这 是可以预见的，因为在集中荷载作用处应力是无限大的从而内力也是无限大） 但挠度的级数表达式的仍然收敛于有限打的确定值。

显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把■和 当做变量并取F

，

则该式的将成汝x,y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动 时，该点的挠度变化率。同样。在由式e ）对X 及y 求导而得到的内力表达式

中，命x 和y 等于常量并IF = 1，则各该表达式将成为在x, y ）点的各该内

q 0 sin n ? x sin

a

M x 由此可以用公剩y M xy F sx ’求得内力。

--D 二?w, F sx - -D 二 '■ ?w,

jx

jx

A mn

.n | dxdy

F sin

———:—sin

n

dxdy

b

二4 abD

sin

a

m C in n 二.。 n

sin

b ----sin

②=兀4 abD~巳已—

2

2 7

m

-n

a 2

b 2

sin

a

b

mn

--D

--D

二 M yz iig, a

n 二

b sin

l^sin

力的影响函数。

本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简 单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载, 也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内 力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。

二：莱维解法

对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。 设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边x = 0及x 二a ，其余两边

b/2式任意边，承受任意横向荷载莱维把挠度的表达式取为如下的单三

角级数:

sin

其中Y m 是的任意函数，而m 为任意正整数。极易看出, 级数（a ）能满足x = 0及x =a 两边的边界条件。因此， 只需选择函数Y m ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方 程，即：

a

』sin 』

dx si 亠。

D

a

a

(b )

图 13-8

并在y 二b/2的两边上满足边界条件。

将式（a ）代入（b ），得

冷d 2

Y m +嗜兀Y 亍 —

2 1

sin

(c )

现在须将式（

右边的q / D 展为sin

咗也的级数。按照傅里叶级数展开式的法

a

x

这一常微分方程的解答可以写成

Y

m = A m 8Sh __--L - B __丄 Sinh a a m — y

m y

C m sinh

D m

cosh

a

a

B m 、

C m 、

D m 是任意常数，决定圭土 b/ 2两边的边界条件。将上式代入

式（a ）,即得挠度w 的表达式

coshm^+B 皿sinh m 即

m

a

a

作为例题，设图13 — 8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载 q=q o 。 这时，微分方程（d ）的右边成为

2q ° aD

于是微分方程（d ）的特解可以取为

c 4 2q 0a

5

5

1 —cosm 二

兀Dm

应用边界条件

W y =b2 =0

由式（f ）得出决定A m 及B m 的联立方程

与式（C ）对比，可见| 4Y m ?心応］

d 2Y

m

m-x q sin ---- -- dx

a

(d)

其中f m （y ）是任意一个特解，可以按照式d ）

右边积分以后的结果来选择;

+c sinh +

m

a

a

myir myn

D^-^osh —+ f m Cy)]sin —

(e)

-cos m 二

_

Dm

1 —cos m ■■: m.： .■ .Dm

带入式（e ），并注意薄板的挠度 w 应当是

y 的偶函数，因而有C m =0，D m =O ,

2q °a

二5Dm 5

1-cosm 二 kin^

a

(f )

w

cosh 凹■B m my sinh^y a

这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板, 得岀 在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。但是，在其他各点的挠度

表达式 中，级数收敛就没有这样快。在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。

应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷 载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。

亠般解法

cos ha A”

- a m Sin ha m B

cos ha

A m

亠2 B m 广a

4q °a "

if D

sinh a m B m

=0,

=0,

m _1 ,3 ,5...

或者

cos ha m A m cos ha 一

-.-a m sinh B m =0 ?2B m ? a m sinh

B m

(m=2,4,6.。o )

mjb

其中a m

2T 。求得A m 及B m ，得出

W

max

4q o a 4

f ￡ 1

2 - a m tanh a m

■—

5 i

4,3,5... m

n D mg3,5…

2 2 a tanha m qa 4

2 cosha m

2q o a 4

或者得岀

n 5Dm 5

cosha m

B _______________ m

"Dm 5

cosha m

；(m=1,3,5,。)

q °a 4

(0.314 -o.004) =0.00406

J! D

D

A m 刃

B m T (

2,4,6.oo )

将求岀的系数带入式(f ),得挠度w 的最后表达式

W

max

4q 0a 4

旳 w 0

-

K 5

D 乙

m ±3,5..

I 1 片 _2 也口 tanh a

m 5

2 cosh a

cosh 2a m y

mxr

r

7T

(g )

并可以从而求得内力的表达式。

最大挠度的、发生在薄板的中心。将

a

x =2及y = o 代入公式(g )，即得

b 二 a ，am m_：

此外在§ 13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。于是可得 矩形薄板的一个一般解法，说明如下。

采用结构力学中的力法。位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基 本系。对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数 的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数 级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未 知值，应用上面所述的解答，求岀夹边上的法线斜率，自由边上的分布反 力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已 知荷载来表示），命夹边上的法向斜率等于零，自由边上的分布反力等于零， 两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未 知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率

，内力和反力。当然，求解时的运算

是很繁琐的。在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解 对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中 给岀了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。为了节省篇幅，对 于只具有简支边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中

I 4

Dw = q 。

大都给岀泊松比等于某一指定数值时的弯矩。但是，我们极易由此求得泊松 比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下

薄板的弹性曲面微分方程可以写成 夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式:

把Dw 看作基本未知函数，则显而易见， Dw 的微分方程及边界条件中都不

包含泊松比，因而 Dw 的解答不会包含泊松比，于是 泊松比而变。

现在，根据公式（13-12），当泊松比为亠时，弯矩为

当泊松比为时，弯矩为

Q o =0

一一

*一

* .、！

1 X .、

?；！

y DwDw :—:-T

一 一

■■

- y

Dw

=0

? ??

x

Dw M x

M y

Dw -二一^ Dw ； _y :x

(h)

4 .：y

y

士

-2 -2 -2 -2

M x =-牙Dw- 牙Dw, M y 二-2Dw- 2D W ;

2 - 2 2 - 2

.：2.?

'夕Dw 2 Dw

由式（h）解出tx 及3，然后代入式（i）,得到关系式

M X =1^2 h -小M x r」M y ,

0_PK M y 弋山_哪。

1一卜（13-26）于是可见，如果已知泊松比为卩时的弯矩M X及M Y,就很容易求得泊松比

为卩时的弯矩M x及M Y。在p=0的情况下（表格或图线所示的M x及M Y

是取

尸0而算出的），上式简化为

M X=M x，〔」M y,M y=M y Ad M x

（13-27）

注意，如果薄板具有自由边，则由于自由边的边界条件方程中包含着泊松

比，因而Dw的解答将随泊松比而变。于是，式（h）中的Dw与式（i）中

的Dw-

般并不相同，因而就得不出关系式（13-26 ）及（13-27 ）