计算机考博试题计算理论及答案
计算理论
字母表：一个有穷的符号集合。
字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。
一个字符串的长度是它作为序列的长度。
连接反转Kleene星号L* ，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。
有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。
有穷自动机是一个5元组M=(K,∑,?,s,F),其中
1）K是一个有穷的集合，称为状态集
2）∑是一个有穷的集合，称为字母表
3）?是从KX∑→K的函数，称为转移函数
4）s∈K是初始状态
5）F?K是接收状态集
M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L(M).
对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机
有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。
每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。
正则表达式：称R是一个正则表达式，如果R是
1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。
2）?，只包含一个字符串空串的语言
3）?，不包含任何字符串的语言
4)(R1∪R2),这里R1和R2是正则表达式
5）(R10R2),这里R1和R2是正则表达式
6）(R1*),这里R1*是正则表达式
一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。
2000年4月
1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。
1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中
的应用》。在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并
提出著名的“图灵机”(Turing Machine)的设想。“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。这个装置由下面几个部分组成：一个无限长的纸带，一个读写头。（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。这一理论奠定了整个
现
代计算机的理论基础。“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载
入计算机的发展史中。
图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。实际上,一切可计算函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。
2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系
乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string的有限的或无限的集合，记为L。数目有限的规则叫文法，记为G。刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。文法与自动机的关系:形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。对某种语言来说,如果存在一个该语言的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和
自动机是统一的.文法在形式上定义为四元组：G＝（VN,VT,S,P）,VN是非终极符号，VT是终极符号，S是VN中的初始符号，P是重写规则。
?文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。
?对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：一个自动机接受的语言，可以构造对应的文法产生该语言。一定类型的自动机和某种类型的文法具有等价性。
2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。每类文法的生成能力与相应的语言自动机（识别语言的装置）的识别能力等价，即4类文法分别与4种语言自动机对应：
类型文法自动机
0型无限制文法图灵机
1型上下文有关文法线性有界自动机
2型上下文无关文法后进先出自动机
3型有限状态的正则文法有限自动机
最常见文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四类型：无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和
正规文法。四类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文无关语言和正规语言。这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能表达的言也越来越少。尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。例如对下文无关语言存在算法可以生
成高效的LL 分析器和LR 分析器。
3、证明HALT(X R,X)不是可计算的。
4、（1）、证明递归集都是递归可枚举集。
（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。
5、（1）、证明L＝{(a,b)*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。
（2）、并证明其不是正则的。P56
假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={ a i b i:i ≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。考虑字符串w= a n b n∈L。根据定
理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=a i，其中i＞0.但是xz= a n-i b n?L，与定
理矛盾。
2000年10月
1、
（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。
(2 ) 对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。
2、证明φ（X，X）是不可计算的。
3、证明L={ambn|m,n>0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。
利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。
正则语言在交运算下封闭。
4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，
（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。
（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？
2001年4月
1、（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。
（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）通用图灵机的描述。
2、（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L （2）L={a3n bn |n>0}为上下文无关,但不是正则。
3、A为字母表，L为A*上任意的语言。阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。
4、证明不存在可计算函数h(x)，使φ(x,x)↓时h(x,x)= φ(x,x)+a,a∈N,φ(x,y)是编号为y输入为x时的程序。
2001年10月
1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？证明
2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）？证明p95
证：不是上下文无关的。假设L是上下文无关的，则它与正则语言a* b*
c*
的交也是上下文无关的。令L1={a n b n c n:n≧0}
假设L1是上下文无关语言。
取常数p，ω＝a p b p c p
,∣ω∣＝3p≥p
将ω写成ω＝uvxyz使得v或y不是空串且uv i xy i z∈L1
I=0,1,2……其中∣xy∣≥1 且∣xuy∣≤p. 有两种可能他们都导致矛盾。
如果vy中a、b、c三个符号都出现，则v和y中必有一个至