等差数列 习题 简单
等差数列习题
一、选择题（共14小题；共70分）
1. 在等差数列{a n}中，a1+a9=10，则a5的值为( )
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10
2. 已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+?+a101=0，则有( )
A. a1+a101>0
B. a2+a100<0
C. a3+a99=0
D. a51=51
3. 已知在等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是( )
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
4. 等差数列{a n}中，a3=5，a4+a8=22，则{a n}的前8项和为( )
A. 32
B. 64
C. 108
D. 128
5. 下列数列不是等差数列的是( )
A. 6，6，6，?，6，?
B. ?2，?1，0，?，n?3，?
C. 5，8，11，?，3n+2，?
D. 0，1，3，?，n2?n
2
，?
6. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a3=6，则S4的值为( )
A. 12
B. 11
C. 10
D. 9
7. 若首项为?24的等差数列从第10项起为正数，则公差的取值范围是( )
A. (8
3,+∞) B. (?∞,3) C. [8
3
,3) D. (8
3
,3]
8. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=10，S3=3，则首项a1与公差d为( )
A. a1=?2，d=3
B. a1=2，d=?3
C. a1=?3，d=2
D. a1=3，d=?2
9. 若等差数列的首项是?24，且从第10项开始大于0，则公差d的取值范围是( )
A. [8
3,+∞) B. (?∞,3) C. [8
3
,3) D. (8
3
,3]
10. 设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2且S5=30，则S8等于( )
A. 31
B. 32
C. 33
D. 34
11. 在等差数列{a n}中，a4+a5=15，a7=15，则a2=( )
A. ?3
B. 0
C. 1
D. 2
12. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
13. 等差数列{a n}中，a1=84，a2=80，则使a k≥0，且a k+1<0的正整数k=( )
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
14. 在等差数列{a n}中，a9=1
2
a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=( )
A. 24
B. 48
C. 66
D. 132
二、填空题（共4小题；共20分）
15. 等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b 的．
16. 已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1+a22=?3，S5=10，则a9的值是．
17. 若2，a，b，c，9构成等差数列，则c?a=．
18. 完成下列各题．
（1）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3=．
（2）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=?1，S4=?8，则a n=；
S n=．
三、解答题（共2小题；共26分）
19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=16，S10=64，求S15．
20. 已知数列{a n}中，a1=1，a3=4．
（1）若数列{a n}是等差数列，求a11的值；
}是等差数列，求数列{a n}的通项公式．
（2）若数列{1
1+a n
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
高考“等差数列”试题精选(含答案)
高考“等差数列”试题精选 1.(2007安徽文)等差数列n 的前项和为n ，若432（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6 2． (2008重庆文)已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 3.（2006全国Ⅰ卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 4．(2008广东文)记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 2 5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{}n a 中，已知3 1 a 1= ，4a a 52=+，33a n =， 则n 为（ ） （A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51 6.（2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ） (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 8.（2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( ) A ．α1＋α101＞0 B ．α2＋α100＜0 C ．α3＋α99＝0 D ．α51＝51 9.（2005全国卷II 理）如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10.（2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和 为390，则这个数列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
等差数列基础测试题(附详细答案)
姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________ 等差数列基础检测题 一、选择题（共60分，每小题5分） 1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 2、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n D ．2(n －1) 4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( ) A ．是公差为d 的等差数列 B ．是公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13 C ．－12 D ．－13 6、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( ) A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k b 1 . c o m 7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x ，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823 8、已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列 9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10、若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 11、下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，… ④110，210，310，410 ，…新 课 标 第 一 网 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12、首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞83 B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
等差数列练习题(含答案)
2019年04月12日数学试卷 ：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.在等差数列中,已知4816a a +=,则该数列前项和( ) A. B. C. D. 2.设是等差数列的前项和,已知263,11a a ==,则等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 3在数列中,,则=( ) A. B. C. D. 4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,则第节的容积为( ) A. 升 B. 6766升 C. 4744升 D. 3733 升 5.若等差数列的前5项和525S =,且,则 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 6.已知是等差数列, 311 40a a +=,则6?7?8 a a a -+等于( ). A.5 B.6 C.7 D.不存在 7.设是等差数列的前项和，若1353a a a ++=，则等于( ). A.5 B.7 C.9 D.11 8.已知是等差数列, 311 40a a +=,则6?7?8 a a a -+等于( ). A.20 B.48 C.60 D.72 二、填空题 9.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,则第节的容积为__________升. 10.已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14 的等差数列, 则=__________. 11.已知△的一个角为,并且三边长构成公差为的等差数列,则△的面积为__________. 12.在等差数列中,若4681012240a a a a a ++++=,则91113 a a - 的值为__________. 13.在等差数列中, 是方程2610x x --=的两根,则7891011a a a a a ++++=__________. 14.已知数列是等差数列,若1591317117a a a a a -+-+=,则315a a +=__________. 三、解答题 15.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,11a =-,,222a b +=. 1).若335a b +=,求的通项公式; 2).若321T =,求. 16.在公差为的等差数列中,已知110a =,且,222a +,成等比数列. 1).求,; 2).若,求123n a a a a ++++.
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
等差数列练习题及答案
等差数列 1、已知等差数列{}n a 满足010121=+++a a a ，则有 （ ） A 、01011>+a a B 、01002>+a a C 、0993=+a a D 、5151=a 2、等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若1542a a a ++得值是一个确定的常数,则数列{}n S 中也为常数的值为 ( ) A 、7S B 、8S C 、13S D 、15S 3、在等差数列{}n a 中,93a a =,公差0 第四章 数列 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2; (2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和. [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12 ++=n n S n 求数列{}n a 的通项公式。 正解： ①当1=n 时，1 11==S a 当2≥n 时，3 4)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3 11==S a 当2≥n 时，n n n n n a n 21)1()1(12 2=-----++= ∴ ?? ?=n a n 23 ) 2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。 正解：由题意：??? ????=?+=?+70 2293030102 9101011d a d a 得152,521= =d a 代入得S 40 ＝120402 39 40401=??+ d a 。 [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和； 正解： ??? ????≥+--≤-6,502)5)(520(5,2 ) 545(n n n n n n [例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 由此可以确定求其前n 项和的公式吗？ [例7]已知：n n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为 等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣ 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（） A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d __表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最__大__值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最__小__值． 一、等差数列选择题 1．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ） A ．24 B ．23 C ．17 D ．16 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．21 3．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知数列{}n a 满足25111,,25 a a a ==且 *121 2 1 0,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使 等差数列知识点及经典例题 一、数列 由n a 与n S 的关系求n a 由n S 求n a 时，要分n=1和n ≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为1 1(1)(2) n n n S n a S S n -=?=? -≥?。 〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a 的通项公式。 分析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解； （3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。 （一）等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n --=≥常数，第二种是利用等差中项，即112(2)n n n a a a n +-=+≥。 2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。 （1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列； （2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn = + 的形式（A ，B 是常数），则{n a }是等差数列。 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{ n a }的前n 项和为 n S ，且满足 111120(2),2 n n n n S S S S n a ---+=≥= （1）求证：{ 1n S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。 分析：（1）1120n n n n S S S S ---+= →1n S 与 1 1n S -的关系→结论； （2）由 1n S 的关系式→n S 的关系式→n a 注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可 等差数列典型例题 类型一：直接利用等差数列的定义、公式求解 例1.（1）求等差数列3，7，11，……的第11项. （2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是， 说明理由. 思路点拨:（1）根据所给数列的前2项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项；（2）题中要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 总结升华： 1.根据所给数列的前2项求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a . 2.要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三： 【变式1】求等差数列8，5，2…的第21项 【变式2】－20是不是等差数列0，7 2 -，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 【变式3】求集合* {|7,,100}M m m n n N m ==∈<的元素的个数，并求这些元素的和 类型二：根据公式列方程（组）求解 例2．已知等差数列{}n a 中，1533a =，45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由。 思路点拨:由于在条件中已知两项的值（两个等式），所以在求解方法上，可以考虑运用方程思想求解基本量首项1a 和公差d ，也可以利用性质求d ，再就是考虑运用等差数列的几何意义。 总结升华： 1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ；五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中，已知三个基本量便可求出其余两个量； 2.列方程（组）求等差数列的首项1a 和公差d ，再求出n a 、n S ，是数列中的基本方法. 举一反三： 【变式1】等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 【变式2】等差数列{}n a 中, 4d =, 18n a =, 48n S =,求1a 的值. 【变式3】已知等差数列{}n a ，354a =，73 4 a =-，则15a = 。 类型三：等差数列的判断与证明 例3.已知数列{}n a 的前n 项和为2 43n S n n =+，求证：数列{}n a 为等差数列. 高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′ ，期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数． 第四章 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相 同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2(212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2 d ，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和. 数列 §4.1等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同 而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：?? ?≥-==-). 2(),1(1 1 n S S n S a n n n 若a 1适合 a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n . 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为 n d a n d S n )2 (212-+= ，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d ，则n S ＝An 2+Bn. 6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲 [例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3,指出这个数列的通项公式； [例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=2 2 ② 12 ++=n n S n . 2014-2015学年度襄阳二中测试卷 4.21 一、选择题 1．在等差数列3，8，13…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．在等差数列}{n a 中，21232a a +=，则1532a a +的值是（ ） A ．24 B ． 48 C ．96 D ．无法确定 3． 已知数列的前几项为1， 2 2 1，231，K ，它的第n 项(+∈N n )是( ) A. ()2 11 -n B. 21n C.() 211+n D.()221+n 4．若数列 {}n a 为等差数列，且 35791120a a a a a ++++=，则 891 2 a a -= (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 5．已知数列的一个通项公式为113 (1)2 n n n n a +-+=-，则5a =（ ） A ．12 B ．12- C ．932 D ．9 32 - 6．已知等差数列{a n }一共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为( ) A ．12 B ．5 C ．2 D ．1 7．设a n =－n 2 +10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 8．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 ==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．16 10．在等差数列{}n a 中，若134=a ，257=a ，则公差d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )． A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 12．若数列{}n a 是等差数列，首项01>a ，且0,02013201220132012<>+a a a a ，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( ) A 、4023 B 、4024 C 、4025 D 、4026 二、填空题 13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1211=a ，则=21S 14．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a = . 15．如图，第n 个图形是由正n + 2 边形“ 扩展 ” 而来，( n = 1、2、3、… ) 则在第n 个图形中共 有___________个顶点.(用n 表示) 16．若等差数列{}n a 的首项为10-、公差为2，则它的前n 项n S 的最小值是______________。 17．已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为______ . 三、解答题 18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝5，S 3＝9. (1)求首项a 1和公差d 的值； (2)若S n ＝100，求n 的值． 2019年04月12日数学试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.在等差数列{}n a 中,已知4816a a +=,则该数列前11项和11S =( ) A.58 B.88 C.143 D.176 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知263,11a a ==,则7S 等于( ) 3在数列 中, ,则 =( ) A. B. C. D. < 4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A. 1升 B. 6766升 C. 4744升 D. 3733 升 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a = ( ) 6.已知{}n a 是等差数列, 311 40a a +=,则6?7?8 a a a -+等于( ). D.不存在 7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S 等于( ). 8.已知{}n a 是等差数列, 311 40a a +=,则6?7?8 a a a -+等于( ). … 二、填空题 9.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为__________升. 10.已知方程( )()22 220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14 的等差数列, 则m n -=__________. 11.已知△ABC 的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积 为__________. 12.在等差数列{}n a 中,若4681012240a a a a a ++++=,则9111 3 a a - 的值为__________. 13.在等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根,则 7891011a a a a a ++++=__________. 14.已知数列{}n a 是等差数列,若1591317117a a a a a -+-+=,则315a a +=__________. 三、解答题 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为 n T ,11a =-,11b =,222a b +=. 1).若335a b +=,求{}n b 的通项公式; 】等差数列典型例题及分析
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