二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2

x

C

O

y A

B

D 1

1

二次函数的存在性问题(面积问题)

1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴

的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC 的面积； （4）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ， 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标， 判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

2、 [09湖南益阳]阅读材料：

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算

PAB

CAB 98

S

S =三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=

?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?； (3)是否存在一点P ，使PAB

CAB

98

S S =若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

3、[09吉林长春]如图，在直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上，点A 、C 的坐标分别 为（0，1）（2，4）．点P 从点A 出发，沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动，到点C 停止；点Q 在x 轴

上，横坐标为点P 的横、纵坐标之和．抛物线c bx x y ++-=2

4

1经过A 、C 两点．过点P 作x 轴的垂线， 垂足为M ，交抛物线于点R ．设点P 的运动时间为t （秒），△PQR 的面积为S （平方单位）．

（1）求抛物线对应的函数关系式．（2分） （2）分别求t=1和t=4时，点Q 的坐标．（3分）

（3）当0＜t ≤5时，求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出S 的最大值．（5分）

4、（07云南昆明）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB 。

（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由。

答案

1、[08云南双柏]

解：（1）解方程x 2

－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0）

∴A、B 、C 三点的坐标分别是A （－6，0）、B （2，0）、C （0，8） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象上

∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式y ＝ax 2

＋bx ＋8，得

?

??

??

0＝36a －6b ＋8

0＝4a ＋2b ＋8 解得?????

a ＝－2

3

b ＝－8

3

∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8

3

x ＋8

（3）∵AB ＝8，OC ＝8∴S △ABC ＝1

2×8×8=32

（4）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8， ∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45

∴

FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4

＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1

2（8－m ）（8－m ）

＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2

＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （5）存在． 理由：

∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2

＋8 且－12＜0，

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形． 2、 [09湖南益阳]

解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2

1+-=x a y

把A （3,0）代入解析式求得1-=a ，所以324)1(2

2

1++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：b kx y +=2 ， 由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(

把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中解得：3,1=-=b k 所以32+-=x y (2)因为C 点坐标为(１,4) 所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝2

3232

1

=??=

?CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ， 则x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-=

由S △PAB =

89

S △CAB 得：389)3(3212?=+-??x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将23=x 代入322

1++-=x x y 中，解得P 点坐标为)4

15,23(

3、[09吉林长春] 解：（1）由抛物线经过点A (0，1)，C (2，4)，

得2

1,

122 4.4

c b c =??

?-?++=??解得2,1.b c =??=? ∴抛物线对应的函数关系式为：21214y x x =-++． （2）当1t =时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)．

当4t =时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)．

（3）当0t <≤2时，211(211)124S t t =-++-?． S 218t t =-+．

当2t <≤5时，1(5)(2212)2S t t =-+-+-． S 215

322

t t =-+-． （8分）

当3t =时，S 的最大值为2． ···················· （10分） 4、（07云南昆明） 解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，由已知可得： OB ＝OA=2，∠BOD ＝60°

在Rt △OBD 中，∠ODB ＝90°，∠OBD ＝30°

∴OD ＝1，DB

∴点B 的坐标是（1

） （2）设所求抛物线的解析式为2

y ax bx c =++，由已知可得：

0420c a b c a b c =??++=??-+=?

解得：3a b c ===03

∴所求抛物线解析式为233

y x x =

+ ――――――――4分 （3）存在

由233y x x =

+

配方后得：2(1)33

y x =+- ∴抛物线的对称轴为1x =- ――――――――6分

∵点C 在对称轴1x =-上，△BOC 的周长＝OB+BC+CO ； ∵OB=2，要使△BOC 的周长最小，必须BC+CO 最小，

∵点O 与点A 关于直线1x =-对称，有CO=CA △BOC 的周长＝OB+BC+CO ＝OB+BC+CA

∴当A 、C 、B 三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时△BOC 的周长最小。

设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有：20

k b k b ?+=??-+=?? 解得：33k b ==

∴直线AB 的解析式为33

y x =

+――――――7分

当1x =-时，y =

∴所求点C 的坐标为（－1）―――――――8分

（4）设P ()x y ，（200x y <<<－，），则2y x x =

① 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ， PG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AF ⊥PQ 轴于点F ，过点B 作BE ⊥PQ 轴于

点E ，则PQ=x -，PG=y -，由题意可得：

PAB AFP BEP AFEB S S S S △△△梯形＝－－ ――――――9分

＝111

()222AF BE FE AF FP PE BE +?-?-?

=111

()(12)()(2)(1)222

y y y x x y -++--+--

＝322

y x -

++ ②

将①代入②，化简得：222PAB S x x -+△＝-

――――――10分

＝21)2x ++

∴当1

2

x =-

时，△PAB 。――――――11分

此时11()42y =

-=

∴点P 的坐标为1

(2

4

--，

――――――12分 （解法不唯一，其它解法参照此标准给分）