匀强电场中的力学问题

匀强电场中的力学问题，是常见的力电综合问题，也是高考命题的热点，这类问题有以下几种类型。

一、静止问题

处在匀强电场中的速度为零的带电物体所受的外力的合力为零时，带电物体处于静止状态。求解这类问题的基本方法是力的平衡条件。

例1如图1-a所示，有三根长度皆为L=1．00m的不可伸长的绝缘轻线，其中两根绳的一端固定在天花板上的O点，另一端分别挂有质量皆为m=1．0010-2kg的带电小球A和B，它们的电量分别为-q和+q，且q=1．0010-7C．A、B球之间用第三根线连接起来。空间存在E=1．00106N/C的匀强电场，场强方向水平向右，平衡时A、B两球的位置如图示．现将O、B之间的线烧断，由于有空气阻力，A、B两球最后会达到新的平衡为位置。问：最后两球的机械能与电势能的总和与烧断前相比减少了多少？（不计两小球间相互作用的静电力）

分析与求解：设烧断OB线后，两球最终静止后的位置如图1-b所示，此时线OA、OB与竖直方向的夹

角分别为，A球受力如图1-c所示，由力的平衡条件有：

，B球受力如图1-d所示，由力的平衡条件有：

解以上四式得：，，由此可知，最终静止后两球的位置如图1-e所示。

与烧断OB线之前相比：A球的重力势能减少了，B球的重力势能减少了

，A球的电势能增加了，B球的电势能减少了。

两球的机械能与电势能总和减少了W=W

B -W

A

+E

A

+E

B

，代入已知数据解以上几式得W=6．810-2J。

本题解答中，求解最终静止后两球的位置时，若选两球整体为研究对象，则这个整体只受重力和OA线的拉力作用，由此便可很方便的知道，即OA线处在竖直位置。

二、匀速直线运动问题

处在静电场中的速度不为零的带电体，所受外力的合力为零时，带电体做匀速直线运动。这两类问题的基本方法是力的平衡条件。

例2如图2所示，在水平地面上有一倾角为θ的绝缘斜面，斜面所处空间有水平向右的匀强电场，电场强度为E。有质量为m，带电量为+q的小球沿斜面匀速滑下。求小球和斜面间的滑动摩擦因数。

分析与求解：小球下滑时受力如图2右所示，对小球运用力的平衡条件，在水平方向有：

，竖直方向上有：。解此两式得：

。

三、匀变速直线运动问题

若带电粒子只受电场力的作用，粒子在电场中被由静止释放或顺着、逆着电场方向进入电场，粒子做匀变速直线运动；若粒子除电场力外还受有其它恒力，粒子被由静止释放后，沿合力的方向匀变速直线运动；若粒子的初速度不为零，合力方向与初速度方向相同或相反，粒子沿原运动方向匀变速直线运动。这类问题可运用牛顿运动定律、动量定理、动能定理或运用能量观点求解。

例3如图3所示，平行板电容器的板长为，板间距为L，板B与水平方向的夹角为α，两板间所加电压为U。有一带负电液滴，带电量为q，以速度v o沿水平方向自A板边沿进入板间后仍沿水平方向运动，恰好从B板边沿水平飞出．求液滴的质量及飞出时的速度。

分析与求解：液滴在板间受重力、电场力作用，由于沿水平方向运动，这两个力的合力方向必沿水平

方向．所以，在竖直方向上应有：，而，由此两式可得：。

液滴在板间运动过程中，对液滴运用动能定理有：，代入解此式得：

。

四、非匀变速直线运动问题

带电粒子在电场中所受各力的合力方向恒定不变，大小变化，粒子具有与合力同向或反向的初速度或粒子由静止释放，粒子做非匀变速直线运动。这类问题求解时，根据题中所求量，可灵活选用牛顿定律、力的平衡条件或能量观点。

例4如图4所示，一根长L = 1．5m的光滑绝缘细直杆MN，竖直固定在场强为E ==1．0×105N/C、与水平方向成θ＝300角的倾斜向上的匀强电场中。杆的下端M固定一个带电小球A，电荷量Q＝+4．5×10－6C；另一带电小球B 穿在杆上可自由滑动，电荷量q＝+1．0×10-6C，质量m＝1．0×10一2kg。现将小球B 从杆的上端N静止释放，小球B开始运动。（静电力常量k＝9．0×10 9N·m2／C2，取g =l0m / s2)

(1）小球B开始运动时的加速度为多大？

(2）小球B的速度最大时，距M端的高度h1为多大？

(3）小球B从N端运动到距M端的高度h2＝0．6lm时，速度为v＝1．0m/s，求此过程中小球B的电势能改变了多少？

分析与求解：（1）开始运动时，小球受力如图4下所示，其合力必沿沿竖直方向，在竖直方向上对小球运用牛顿定律有：，代入已知数据解此得小球B开始运动时的加速度为：

。

(2)小球B开始运动后，小球A对它的库仑力逐渐增大，它所受的合力逐渐减小，运动中向下的加速度逐渐减小，当向下的合力为零时，加速度为零，此后，合力方向向上，且逐渐增大，小球做加速度逐渐增

大的减速运动。因此，合力为零时，小球B速度最大，由力的平衡条件有：，代入已知数据解此式得：。

（3）小球从开始运动到速度为的过程中，设A球对B求的库仑力做功为W1，匀强电场对小球B做的功为W2，对小球运用动能定理有：，而此过程中小球B的电势能增量为：，代入已知数据解此两式得小球B的电势能增量为：。

五、匀变速曲线运动问题

粒子在电场中所受各力的合力恒定，但方向与粒子的初速度方向不在一条直线上，粒子做匀变速曲线运动。常见问题是合力方向与初速度方向垂直，粒子做类平抛运动。这类问题求解时，根据所求量的特点，可灵活选用牛顿定律、动量定理、动能定理、能量观点。

例5如图5所示，边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场电量为q、动能为E k的带电粒子从a点沿ab方向进入电场，不计重力。

（1）若粒子从c点离开电场，求电场强度的大小和粒子离开电场时的动能？

（2）若粒子离开电场时动能为E k/，则电场强度为多大？

分析与求解：（1）设粒子的入射速度为，粒子离开电场时的动能为E k/，电厂的电场强度为E．则粒子由入射到从c点离开电场过程中，由牛顿第二定律有：，由运动学公式知，bc方向上有：

，ab方向上有：，考虑到和，解以上五式得：

；。

（2）粒子离开电场有三种情况，一是从c点离开，此时必有。二是从bc边离开，此时

必有。三是从cd边离开，此时必有．其中第一种情况(1)中已解答，现就后两种情况解答如下：

若，设出射点到b点的距离为h，则粒子在电场中运动过程中有：，，

，，，解此五式得：。

若，则粒子在电场中运动过程中有：，解之得：。

六、圆周运动问题

在匀强电场中的带电粒子，由于受圆环、绳子、硬杆等的约束，若具有沿环切线方向或垂直于绳、杆末端的速度，粒子可以作圆周运动。这类问题求解时运用动能定理或运用能量观点比较方便。

例6如图6所示，一半径为Ｒ的光滑绝缘圆环竖直固定在水平桌面上，桌面所在空间有水平向右的匀强电场，电场强度为E．在此圆环上套着一个质量为m、带电量为+q的小圆环。现让小圆环由静止从环A 处开始下滑。求小环在环上滑过四分之一圆周过B处时对环的压力是多大？

分析与求解：设小环过B时环对它的压力为Ｎ，速度为v．则这一过程中，对小环运用动能定理有：

，小环过B处时，在BO方向上对其运用牛顿定律有：，解此两式得：

，由牛顿第三定律知，此时它对环的压力大小为，方向沿OB向外。