随机事件的概率考点与题型归纳
随机事件的概率考点与题型归纳
一、基础知识
1.频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数?，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A
n 为事件A 出现的频率?.
(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率.
2.事件的关系与运算 名称
条件
结论
符号表示 包含关系
A 发生?
B 发生
事件B 包含事件A (事件
A 包含于事件
B )
B ?A (或A ?B )
相等关系 若B ?A 且A ?B
事件A 与事件B 相等 A ＝B 并(和)
事件 A 发生或B 发生
事件A 与事件B 的并事件(或和事件)?
A ∪
B (或A ＋B )
交(积)
事件 A 发生且B 发生
事件A 与事件B 的交事件(或积事件)
A ∩
B (或AB ) 互斥事件 A ∩B 为不可能事件 事件A 与事件B 互斥? A ∩B ＝? 对立事件 A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件 事件A 与事件B 互为对立事件?
A ∩
B ＝?， P (A ∪B )＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (E )＝1. (3)不可能事件的概率：P (F )＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ).
(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B ).
频数是一个整数，其取值范围为0≤n A ≤n ，n A ∈N ，因此随机事件A 发生的频率f n (A )
＝n A
的可能取值介于0与1之间，即0≤f n(A)≤1.
n
频率在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小.但是，频率不是一个完全确定的数，随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同.
并(和)事件包含三种情况：①事件A发生，事件B不发生；②事件A不发生，事件B 发生；③事件A，B都发生.即事件A，B至少有一个发生.
互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B都不发生.
“事件A与事件B是对立事件”是“其概率满足P(A)＋P(B)＝1”的充分不必要条件，这里一定不要认为是充要条件.事实上，若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；反之不一定成立.
二、常用结论
探究概率加法公式的推广
(1)当一个事件包含多个结果时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n).
(2)P(A1∪A2∪…∪A n))＝1－P(A1∪A2∪…∪A n)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(A n).注意涉及的各事件要彼此互斥.
考点一随机事件的关系
1.一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
解析：选D事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况.由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥.
2.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是()
A.①
B.②④
C.③
D.①③
解析：选C“至少有一个是奇数”即“两个都是奇数或一奇一偶”，而从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，根据取到数的奇偶性知共有三种情况：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.故选C.
3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移
动卡”的概率是3
10，那么概率是7
10的事件是()
A.至多有一张移动卡
B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡
D.至少有一张移动卡
解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.
4.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________________，互为对立事件的是________.
解析：设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C ＝?，B∩D＝?，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件.而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件.
答案：A与B，A与C，B与C，B与D B与D
考点二))))随机事件的频率与概率
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为
450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.
[解] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25)℃，由表格数据知，最高气温低于25)℃的频率为2＋16＋36
90＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过
300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25)℃，则Y ＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20)℃，则Y ＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20)℃，由表格数据知，最高气温不低于20)℃的频率为36＋25＋7＋490
＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
[题组训练]
某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
(1)记A (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P (B )的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200
＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200
＝0.30，故P (B )的估计
值为0.30.
(3)由所给数据得如下关系：
调查的0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192)5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192)5a .
考点三 互斥事件、对立事件概率公式的应用
[典例精析]
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1)000)张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：
(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. [解] (1)易知P (A )＝11)000，P (B )＝1100，P (C )＝120
.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .
因为A ，B ，C 两两互斥，
所以P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501)000＝61
1)000.
故1张奖券的中奖概率为
61
1)000
. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
所以P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－????11)000＋1100＝989
1)000.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989
1)000
.
[题组训练]
某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100
＝1.9(分钟).
(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.则P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝7
10
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7
10
.
[课时跟踪检测]
A 级
1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“都是红球”
C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：选D A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；
C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；
D 中的两个事件是互斥而不对立的关系.
2.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为1
7，都是白子的
概率为12
35
.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )
A.1
7 B.1235 C.1735
D.1
解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为1735
.
3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95
B.0.97
C.0.92
D.0.08
解析：选C 记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.
4.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )
A.1
3 B.12 C.23
D.56
解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝2
3，
所以P (B )＝1－P (B )＝1－23＝1
3
，
因为B 表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23
.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A 为掷出向上为偶数点，事件B 为掷出向上为3点，则P (A ∪B )＝( )
A.13
B.23
C.12
D.56
解析：选B 事件A 为掷出向上为偶数点，所以P (A )＝1
2.
事件B 为掷出向上为3点，所以P (B )＝1
6.
又事件A ，B 是互斥事件， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝2
3
.
6.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )
A.????54，2
B.????
54，32)) C.????54，32
D.????54，43
解析：选D
由题意可得????
?
0＜P (A )＜1，
0＜P (B )＜1，
P (A )＋P (B )≤1，
即????
?
0＜2－a ＜1，
0＜4a －5＜1，3a －3≤1，
解得54＜a ≤4
3
.
7.若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ∪B )＝0.7，则P (B )＝________. 解析：∵A ，B 为互斥事件， ∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，
∴P (B )＝P (A ∪B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3. 答案：0.3
8.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.
解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2
＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.
答案：0.97 0.03
9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9)600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人.
解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝18
25，则可估计该地区对“键
盘侠”持反对态度的有9)600×18
25
＝6)912(人).
答案：6)912
10.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为1
15，则取得两个同色玻
璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.
解析：由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件，取得两个同色玻璃球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色玻璃球的概率为P ＝715＋115＝8
15
.
由于事件A “至少取得一个红玻璃球”与事件B “取得两个绿玻璃球”是对立事件，则至少取得一个红玻璃球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－
115＝1415
. 答案：815 14
15
11.(2019·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1)000名网络购物者进行调查.这1)000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3，0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：
电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下： 购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 发放金额
50
100
150
200
(2)以这1)000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率.
解：(1)购物者的购物金额x 与获得优惠券金额y 的频率分布如下表：
这1
1)000
(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96. (2)由获得优惠券金额y 与购物金额x 的对应关系及(1)知 P (y ＝150)＝P (0.6≤x ＜0.8)＝0.28， P (y ＝200)＝P (0.8≤x ≤0.9)＝0.02，
从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P (y ≥150)＝P (y ＝150)＋P (y ＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.
12.某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4)000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4)000元的概率.
解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3)000元”，B 表示事件“赔付金额为4)000元”，以频率估计概率得
P (A )＝1501)000＝0.15，P (B )＝120
1)000
＝0.12.
由于投保金额为2)800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3)000元和4)000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4)000元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1)000＝100(辆)，而赔付金额为4)000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4)000元的频率为24
100＝0.24，由
频率估计概率得P (C )＝0.24.
B 级
1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1)534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石
B.169石
C.338石
D.1)365石
解析：选B 这批米内夹谷约为28
254
×1)534≈169石，故选B).
2.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )
A.35
B.12
C.310
D.15
解析：选A 由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以所求概率P ＝610＝3
5
.
3.[与不等式交汇]若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1
y ，则x ＋y 的
最小值为________.
解析：由题意，x ＞0，y ＞0，4x ＋1
y ＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·????4x ＋1y ＝5＋????4y x ＋x y ≥5＋2)4y x ·x
y
＝9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.
答案：9
4.某超市随机选取1)000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1)000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为200
1)000
＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1)000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001)000
＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为200
1)000
＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋300
1)000＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100
1)000
＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 5.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数
4
16
16
4
(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.
解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 用频率估计概率，可得所求概率为0.44. (2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人， 故由调查结果得频率分布如下表：
所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.
用频率估计概率及
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，
P(A1)＞P(A2)，故甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，故乙应选择L2.