北京市西城区鲁迅中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

北京市西城区鲁迅中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）

1.如图图形中，是中心对称图形的是()

A. B. C. D.

2.二次函数y=3x2+2x的图象的对称轴为()

A. B. C. D.

3.如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，

BC=8，则OD的长为()

A. 8

B. 10

C. 4√3

D. 3

4.下列图形中，由原图旋转得到的是()

A. B. C. D.

5.将二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，得到该二次函数的表达式是()

A. y=2(x+2)2

B. y=2(x?2)2

C. y=2x2+2

D. y=2x2?2

6.如图，在平面直角坐标系中，点A(?1,m)在直线y=2x+3上，连接OA，将线段OA绕点O顺

时针旋转90°，点A的对应点B恰好落在直线y=?x+b上，则b的值为()

D. 2

A. ?2

B. 1

C. 3

2

7.圆O的半径为5，若直线与该圆相离，则圆心O到该直线的距离可能是()

A. 2.5

B. √5

C. 5

D. 6

8.如图，在△ABC中，以AB为直径的圆O交AC于点D，过D作DE⊥

BC于点E，且∠BDE=∠A，若AB=10，AC=16，则sinA=()

A. 4

5B. 3

5

C. 1

2

D.

√3

2

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=40°，则∠BCD=________，

∠BOD=________．

10.请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=__________ ．

11.18.如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将

△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过

E点作EH⊥CD于H，则EH的长为_____．

12.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为______ ．

13.某班为筹备运动会准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元

/套，在钱都用尽的条件下，有_____种购买方案．

14.如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为

平行四边形，则∠OAD+∠OCD=______ °.

15.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示：

(1)当y<0时，x的取值范围是______；

(2)方程ax2+bx+c=3的解是______；

16.如图，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，若∠O=70°，则∠A+∠C=

______ 度．

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.如图1，是一座圆弧形涵洞的入口，图2是涵洞的示意图，如果涵洞的拱高CD为6米，涵洞入

口处的地面的宽度AB为4米，请你求这座涵洞圆弧所在圆的半径长．

四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）

18.已知二次函数y=x2+bx?3

4的图象经过点(2,5

4

).

(1)求这个二次函数的函数解析式；

(2)若抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于C点，顶点为D，求以A、B、C、D为顶点的四边

形面积．

19.如图，每个小方格都是边长为1的小正方形．

(1)△ABC向右平移6个单位，画出平移后的△A1B1C1；

(2)将△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2；

(3)连接A1B、A2B、A1A2，并直接写出△BA1A2的面积．

20.如下图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC，点E为垂足，点D在优弧BC?上．

(1)若∠AOB=56°，求∠ADC的度数；

(2)若BC=6，AE=1，求⊙O的半径．

21.已知点A(1,1)在二次函数y=x2?2ax+b的图象上．

(1)用含a的代数式表示b；

(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．

22.某商场以42元的价钱购进一种服装，根据试销得知，这种服装每天的销售量t(件)，与每件的销

售价x(元/件)可看成是一次函数关系：t=?3x+204．

(1)写出商场卖出这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式；

(2)商场若要每天获利432元，则售价为多少元？

(3)商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

23.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=60°，CD为直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC.求

证：PA是⊙O的切线．

24. 2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截至到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万

辆．求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率．

25.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O

的切线，AD与BC相交于点E，与⊙O相切于点F，连接BF．

(1)求证：BD=BE；

(2)若DE=2，BD=2√5，求AE的长．

26.已知抛物线G1：y=a(x??)2+2的对称轴为x=?1，且经过原点．

(1)求抛物线G1的表达式；

(2)将抛物线G1先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，与x轴分别交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，与y轴交于C点，求A点的坐标；

(3)记抛物线在点A，C之间的部分为图象G2(包含A，C两点)，如果直线m：y=kx?2与图象G2只有一个公共点，请结合函数图象，求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围．

27.正方形ABCD的边长为2，将射线AB绕点A顺时针旋转α，所得射线与线段BD交于点M，作

CE⊥AM于点E，点N与点M关于直线CE对称，连接

CN．

(1)如图1，当0°<α<45°时，

①依题意补全图1．

②用等式表示∠NCE与∠BAM之间的数量关系：__________．

(2)当45°<α<90°时，探究∠NCE与∠BAM之间的数量关系并加以证明．

(3)当0°<α<90°时，若边AD的中点为F，直接写出线段EF长的最大值．

28.如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与x轴交于A点，与反比例函数y2=c

的图象相交于

x

,d)两点．点P(m,n)是一次函数y1=kx+b图象上的动点．B(?1,5)，C(5

2

(1)求k ，b 的值．

(2)设?1

x 的图象相交于点D.试问△PAD 的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)设m =1?a ，如果在两实数m 与n 之间(不包括m 和n)有且只有一个整数，求实数a 的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：A、是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：A．

根据中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.答案：D

解析：

此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键.直接利用公式法得出二次函数的对称轴．

解：y=3x2+2x的对称轴为：直线x=?2

2×3=?1

3

．

故选D．

3.答案：D

解析：

本题主要考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD的长即可．

解：连接OB，

∵AO⊥BC，AO过O，BC=8，

∴BD=CD=4，∠BDO=90°，

由勾股定理得：OD=√BO2?BD2=√52?42=3．

故选D．

4.答案：D

解析：[分析]

旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键，据此解答即可．

此题主要考查了旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．

[详解]

解：A.是由图形通过轴对称得到的；

B.是由图形通过轴对称得到的；

C.是通过轴对称和旋转得到的；

D.是由图形通过顺时针旋转90°得到的．

故选D．

5.答案：B

解析：解：二次函数y=2x2的图象向右平移2个单位，

得：y=2(x?2)2．

故选：B．

可根据二次函数图象左加右减的平移规律进行解答．

主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

6.答案：D

解析：

此题考查了一次函数图象上点的坐标特征和旋转中的坐标变换，关键是把A点的坐标代入解析式求出m的值，然后利用旋转的性质求出点B的坐标.先把点A坐标代入y=2x+3，得出m的值，然后根据旋转的性质得出点B的坐标，再代入直线y=?x+b解答即可．

解：把A(?1,m)代入直线y=2x+3，可得：m=?2+3=1，

因为线段OA绕点O顺时针旋转90°，所以点B的坐标为(1,1)，

把点B代入直线y=?x+b，可得：1=?1+b，b=2．

故选D．

7.答案：D

解析：解：∵直线与圆相离，

∴圆心到直线的距离>5，

故选：D．

根据直线与圆相离的条件即可判断．

本题考查直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交?dr．

8.答案：B

解析：解：∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠A+∠ABD=90°，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB+∠DBE=90°，

∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠DBE，

在△BDA和△BDC中，

{∠BDA=∠BDC BD=BD

∠ABD=∠CBD

，

∴△BDA≌△BDC(ASA)

∴AD=DC=1

2

AC=8，

由勾股定理得，BD=√AB2?AD2=6，

∴sinA=BD

AB =3

5

，

故选：B．

根据圆周角定理得到∠ADB=90°，证明△BDA≌△BDC，得到AD=8，根据勾股定理求出BD，根据正弦的定义解答．

本题考查的是圆周角定理、解直角三角形，掌握直径所对的圆周角是90°是解题的关键．

9.答案：50°；100°

解析：

本题考查了圆周角定理，注意：①直径所对的圆周角是直角．②同圆或等圆中，圆周角等于它所夹弧所对的圆心角的一半．

根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACB=90°，即可求出答案．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠ACD=40°，

，

∴∠BOD=2∠BCD=2×50°=100°．

故答案为50°；100°．

10.答案：y=?(x?1)2(答案不唯一)

解析：

主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y=a(x??)2+k，顶点坐标是(?,k)，对称轴是x=?.a>0时，开口向上，a<0时，开口向下．开口向下，二次项系数为负，对称轴为直线x=1，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式．

解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线x=1，

根据顶点式，得抛物线解析式为y=?(x?1)2.本题答案不唯一，

故答案为y=?(x?1)2(答案不唯一)．

11.答案：

解析：解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，

∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE=5，CE=BD=6，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE=AD=5，

设DH=x，则CH=CD?DH=4?x，

在Rt△DHE中，EH2+x2=52，①

在Rt△CHE中，EH2+(4?x)2=62，②

②?①得16?8x=11，解得x=，

∴EH==．

故答案为．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．

12.答案：40

解析：解：据切线长定理有AD=AE，BD=BF，CE=CF；

则△ABC的周长=AB+BC+AC

=AB+BF+CF+AC

=AB+BD+AC+CE

=AD+AE=2AD=40．

根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．

本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．

13.答案：2

解析：

【分析】此题考查了二元一次方程的应用，找出方程的正整数解是解本题的关键．设甲种运动服买了x/套，乙种运动服买了y套，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可．

【解答】解：设购买甲种运动服x套，乙种运动服y套．

根据题意得20x+35y=365，

则x=73?7y

，

4

又x、y均为正整数，

所以，当y=3时，x=13;

当y=7时，x=6．

故有2种购买方案．

14.答案：60

解析：解：∵四边形OABC为平行四边形，

∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．

∵四边形ABCD是圆的内接四边形，

∴∠D+∠B=180°．

∠AOC，

又∠D=1

2

∴3∠D=180°，

解得∠D=60°．

∴∠OAB=∠OCB=180°?∠B=60°．

∴∠OAD+∠OCD=360°?(∠D+∠B+∠OAB+∠OCB)=360°?(60°+120°+60°+60°)=60°．

利用四边形OABC为平行四边形，可得∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°.利用四边形ABCD是圆的内接四边形，可得∠D+∠B=180°.利用同弧所对的圆周角和圆心角可得∠D=

1

∠AOC，求出∠D=60°，进而即可得出．

2

本题考查了平行四边形的性质、圆的内接四边形的性质、同弧所对的圆周角和圆心角的关系，属于基础题．

15.答案：x1；x1=?4，x2=0

解析：解：(1)∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(1,0)，

而抛物线的对称轴为直线x=?2，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?5,0)，

∴当y<0时，x的取值范围是x1；

(2)∵抛物线与y轴的交点为(0,3)，利用抛物线对称性得到抛物线过点(?4,3)，

∴方程ax2+bx+c=3的解为x1=?4，x2=0．

故答案为x1；x1=?4，x2=0．

(1)利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(?5,0)，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可；

(2)抛物线与y轴的交点为(0,3)，利用抛物线对称性得到抛物线过点(?4,3)，从而得到方程ax2+bx+ c=3的解．

本题考查了抛物线与x轴的交点，也考查了二次函数的性质，属于基础题．

16.答案：55

解析：解：如图，连接OB，

∵OA=OB，

∴∠A=∠ABO．

又∵OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于E，∠O=70°，

∴AD?=BD?，∠AOB=140°，

∠AOD=35°，∠A=∠ABO=20°，

∴∠C=1

2

∴∠A+∠C=55°．

如图，连接OB，利用等腰△OAB的性质可以求得∠ABO的度数；结合垂径定理、圆周角定理来求∠C 的度数，易得∠A+∠C的值．

本题考查了垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．

17.答案：解：依题意，CD过点O且垂直于

AB，连接OA，设半径为x米，

所以AD=DB=2，

在Rt△ADO中，由勾股定理，有OA2=OD2+

AD2，

即x2=(6?x)2+22，

得x=10

3

．

答：半径为10

3

米．

解析：本题考查勾股定理和垂径定理，注意构造直角三角形，熟练运用勾股定理和垂径定理．

连接OA，构造直角三角形．根据垂径定理和勾股定理进行计算．

18.答案：解：(1)将(2,5

4)代入y=x2+bx?3

4

，得：4+2b?3

4

=5

4

，

解得：b=?1，

所以二次函数为y=x2?x?3

4

；

(2)由题意可得：A(?1

2,0)，B(3

2

,0)，C(0,?3

4

)，D(1

2

,?1)，

所以四边形面积为：1

2×1

2

×3

4

+1

2

×(3

4

+1)×1

2

+1

2

×1×1=9

8

．

解析：本题考查抛物线与X轴的交点、二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

(1)利用待定系数法即可解决问题；

(2)求出A、B、C、D的坐标即可解决问题；

19.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△A2B2C2即为所求；

(3)如图，S△BA

1A2=5×6?1

2

×3×5?1

2

×3×3?1

2

×2×6

=30?

9

2

?6

=12．

解析：本题考查的是作图?旋转变换，熟知图形旋转的不变性是解答此题的关键．

(1)根据图形平移的性质画出平移后的△A1B1C1即可；

(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△A2B2C2即可；

(3)连接A1B、A2B、A1A2，利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．20.答案：解：(1)∵OA⊥BC，

∴弧AC=弧AB，

∴∠ADC=1

2

∠AOB，

∵∠AOB=56°，

∴∠ADC=28°；

(2)∵OA⊥BC，

∴CE=BE=1

2

BC=3，

设⊙O的半径为r，则OE=r?1，OB=r，

在Rt△BOE中，OE2+BE2=OB2，

∵BE=3，则32+(r?1)2=r2

解这个方程，得r=5．

解析：此题考查了圆周角与圆心角定理以及垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．

(1)利用圆周角与圆心角的关系即可求解．

BC=3，然后根据勾股定理即可求得．

(2)利用垂径定理可以得到CE=BE=1

2

21.答案：解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y=x2?2ax+b的图象上，

∴把A(1,1)点带入y=x2?2ax+b中得b=2a，

∴b=2a；

(2)∵该二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴方程x2?2ax+b=0有两个相等的实数根，

∴△=0，

即4a2?4b=4a2?8a=0，

解得a=0，或a=2，

当a=0时，函数解析式为y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)，

当a=2时，函数解析式为y=x2?4x+4=(x?2)2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)，故这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．

解析：此题考查的是二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数与一元二次方程的关系，

(1)因为二次函数y=x2?2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2?2ax+b，所以，把点A(1,1)代入方程求解即可；

(2)根据b2?4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2?2x+1的图象与x轴交点的个数．22.答案：解：(1)由题意，销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系为：

y=(x?42)(?3x+204)，

即y=?3x2+330x?8568．

故商场卖这种服装每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式为：

y=?3x2+330x?8568；

(2)由题意得出：432=?3x2+330x?8568

解得：x1=50，x2=60，

答：商场若要每天获利432元，则售价为50元或60元；