2009《应用数学基础》考试题

《应用数学基础》考试题（2010.1.11）

学院 姓名 学号 一、填空题（10?3分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号） 1.若z z -=，则=)Re(z ；2.=i

i ；3.=-?

=1

||2

2010

4z i

z z

；4.

Res =]0,sin

[4

2z

z ；

5.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在iy x z +=可导，则=')(z f ；

6. =-?

=dz z z z 2

||3

)

1(sin π ；7.1

3

+-z i z 在0=z 展成泰勒级数的收敛域为 ；8.z

e w =将直线1=x 映射成 ；9.傅氏变换)()]([ωF t

f F =，则=)]([at f F ；其中a 为非零常数；10.拉氏变换=][3t L ，且其收敛域为 。 二、计算题（10?6分=60分；要求写出主要计算步骤）

1.求c b a ,,的值，使)2()(2222y xy cx i by axy x z f +++++=在复平面上处处解析；

2.求dz z z z z ?=--2

||)

1(12，沿正向；3.把

2

)

1(z z +展成z 的幂级数，并指出收敛域；4.

将

)

1(2

+z z e

z

在1||0<

z

z z ?

=+1

||3

2

cos ，沿

正向；6.求dz

z z i z z ?

=--+2

||10

)

3)(1()(1

，沿正向；7.用留数计算

dx x

x

x ?+∞

+0

2

4sin ；8.求

共形映射，将0)Im(>z 映成1||

,2

]1[|

|2

1>=

+--a e

a a F t ω

）；

10.用留数方法，求拉氏变换)

1(1)(2

+=

s s s F 的逆变换。

三、证明题（2?5分=10分；任选其中两题）

1.利用复数的几何意义证明：三角形内角和等于π；

2.试证：z

e

z z Im sin Im ≤≤；

3.设函数)(z f 在1≤z 上解析，且1)(≤z f ，试证：1)0(≤'f ，进一步证明，这个结论是最优的；

4.设0z 是函数)(z p 的k 级零点，且是)(z q 的1+k 级零点（0≥k 是整数），令)

()

()(z q z p z f =

，试证：Res [])

()

()1(),(0)

1(0)

(0z q

z p

k z z f k k ++=

。