删失数据分析

本科毕业论文（设计）

论文（设计）题目：有关删失数据的一些估计与模型学院：＿＿＿理学院＿

专业：＿＿＿数学与应用数学

班级：＿＿＿081 ＿＿＿＿

学号：＿＿＿080701110241＿

学生姓名：＿＿＿黄玉春＿＿＿＿

指导教师：＿＿＿戴家佳＿＿＿＿

2012年6月 2 日

贵州大学本科毕业论文（设计）

诚信责任书

本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所完成。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。

特此声明。

论文（设计）作者签名：

日期：

摘要

本文讨论了近几年有关删失数据的一些估计与模型，对删失数据的几种重要分类进行了讨论，并且针对这几种分类进行了叙述。

本文在第二章着重说明了删失数据的几种重要估计，其中Kaplan-Meier估计、Nelson-Alan估计、Pererson估计、Breslow估计等都是近几年在医学等领域广泛应用的概念，本文详细的阐述了这几种估计，详尽的了解了它的构成与它的定义。

本文在第三章讨论了有关删失数据的一个重要模型——Cox模型，Cox模型是近年来在医学上极为重要的一个模型，在分析删失数据的时候，Cox模型对正确评价医学方面等的治疗效果和进一本改进的治疗方案具有重要的临床意义。本文引用Cox模型分析了乳腺癌因子与生存期之间的数量关系，建立生存模型，最后得到相对危险度来估计每个个体的生存率。最后对Cox模型的一些局限性与应用范围提出了意见。

关键字：删失数据，Cox模型，kaplan-Meier估计，Nelson-Aalen估计

The Estimation And Models Of Censored Data

Abstract

This paper discusses the relevant censored data in recent years and some of its important classifications, and gives an account of the classifications.

The second chapter of this paper mainly focuses on several important estimate to censored data, among which Kaplan-Meier estimate, Nelson-Alan estimate, Pererson estimate, Breslow estimate are all widely applied in medical science and other fields in recent years. This paper expatiates these estimates, their structures and definitions.

In section 3 of this paper discusses an important model about the censored data--Cox model, Cox model is an extremely important model in recent years in medical , when analysis the censored data , Cox model has important clinical significances for the evaluation of medicine, the treatment effect of the and into a treatment plan of this improvement . The paper quotes Cox model to analyze the quantitative relationship between the breast cancer factor and life cycle, and establishing survival model, then get the relative risk ratio to estimate the survival rate of each individual. Finally puts forward opinions about the limitations and application range of the Cox model.

Key word: Censored data，model of Cox，kaplan-Meier estimate，Nelson-Aalen estimate

目录

摘要 (1)

第一章前言 (4)

1.1.研究现状 (4)

1.2删失数据基本概念 (6)

1.3删失数据的几种衍生数据 (9)

小结 (12)

第二章删失数据的几种估计 (13)

2.1 Kaplan-Meier估计 (13)

2.2 Nelson-Aalen估计[22] (14)

2.3 Pererson估计 (14)

2.4 Breslow估计[23] (14)

2.5 Buckley-James估计 (15)

2.6 Lynden-Bell估计[24] (16)

2.7 Turnbull估计 (17)

小结 (17)

第三章Cox模型 (18)

3.1 C ox模型 (18)

3.2 Cox模型的几种常用类型[25] (19)

3.3 Cox模型分析的步骤[27] (20)

3.4 Cox模型的统计描述 (21)

3.5实例应用[28] (22)

3.6 Cox模型的应用范围及注意事项 (25)

3.7 Cox模型的局限性 (27)

小结 (28)

第四章总结 (29)

参考文献 (30)

致谢 (32)

第一章 前言

由于失访、改变防治方案、研究时间结束时事件尚未发生等情况, 所采集的数据中许多应该采集而未能采集, 应提交而未在一些时点上提交造成数据不完全, 这类数据称为统计学上的删失数据, 也称为截尾数据、终检数据(Data Censored ) 。国内一些学者关于删失数据统计分析的研究主要集中在生存分析、线性回归、半参数回归参数估计等领域。但关于Cox 回归、单指标回归参数估计的研究涉及较少。至于在信息随机缺失机制下的研究也主要涉及线性回归及半参数回归参数估计, 其他领域涉及较少。

作为数理统计学的一个重要分支，生存分析一直是一个非常活跃的研究领域，近年来也得到迅速的发展，并在医学、工业、保险以及经济等领域有着广泛的应用。 传统的独立删失情况下的生存分析的工具、从最早期的生存表方法，到截断数据的似然方法，时间序贯计划以及技术过程与鞍方法。此外还有生存函数的Meier -Kaplan 估计，截断数据线性回归的参数估计，极端数据的秩检验等重要的研究内容，产生了一系列良好的理论结果。随着考虑的问题越来越复杂，人们提出了一系列新的模型，譬如Cox 模型、Aalen 相加模型等等。其中Cox 模型是应用最为广泛的模型之一。

自从Cox D.R.,于1972年提出Cox 比例风险模型之后，引起了很多学者的关注。Prentice ,Efron ,N.Breslow 等许多学者做出了一系列卓有成效的分析和对一些己有结果的扩展工作。现在Cox 模型己经在工业，医疗领域得到了广泛的应用。Cox 模型中，有两个未知的部分，一是参数口，另一个是基准生存函数(t)S 0.因而Cox 模型是一种半参数模型。这两个未知的部分都需要利用观测数据来加以估计，当然这里个数参数的估计方法，在后人的整理中利用偏似然函数己经得到了完整的求参方法。

1.1.研究现状

国内一些学者关于删失数据统计分析的研究主要集中在生存分析、线性回归、半参数回归参数估计等领域。但关于Cox 回归、单指标回归参数估计的研究涉及较

少。至于在信息随机缺失机制下的研究也主要涉及线性回归及半参数回归参数估计, 其他领域涉及较少[1]。

线性回归模型领域文献有：秦更生等[2]证明了具有删失数据下k 近邻回归函数估计量的强相合性 。

非线性回归模型领域文献有：周秀轻等[3] 研究了随机删失数据非线性回归模型的最小一乘 LAD) (估计问题。

半参数回归领域文献有： 秦更生[4] 研究了当β为一维待估参数和删失分布G 未知时, 基于核光滑和综合数据法, 导出了β和g 的估计量。

非参数回归领域文献有：许冰等[5] 研究了删失数据非参数回归函数最近邻估计强收敛速度。

单指标回归领域文献有：国外自20 世纪80 年代末以来, 一些统计文献从不同角度根据不同假设条件, 对该模型作了一定的研究, 并提出了一系列方法. 而在国内, 有关该模型的相关文献还很少。关于该模型删失数据的统计分析的文献更少。

生存分析领域文献有：郑祖康[6]证明了在具有删失数据的生存分析中整体估计量在D 空间的强收敛性以及弱收敛性。

时间序列分析领域文献有：何书元等[7]研究了当平稳时间序列被另外的平稳序列删失后的协方差、相关系数的估计问题。

密度估计领域文献有：王启华等[8]研究观察数据被随机右删失时参数分布族的局部渐近正态与渐近极小极大有效性。

国外文献尚未发现应用Cox 模型时对删失比例有何限制的报道。关于删失比例对Cox 模型影响的研究，[9]Anderson 的研究认为族线性回归模型在忽略删失数据情况下与Cox 模型和Weibull 模型的效能相当，却优于简单线性回归模型，还认为族线性回归模型对删失比例的大小具有稳健性但并未考虑删失数据时其效能与Cox 模型的比较。关于不同删失数据类型情况下的参数估计有较多研究；如Keib 等[10]提出的混合加成模型适用于左右删失和区间删失，并对忽略区间删失对模型的影响进行了模拟研究，认为会降低模型的效能；[11]Pons 用半Markov 过程对左右删失进行参数

估计；[12]Dabrowska 用半参数及核估计法进行参数估计；

[13]Wang 应用Carlo Monte 模

拟方法对缺失数据进行了诊断；[14]Tian 则对协变量随时间变化的生存分析用核加权偏似然方法进行了参数估计；[15]Messaci 等对于混合删失用基于贝叶斯的非参数Dirichlet -Cox 模型进行参数估计；[16]Braekers 将删失数据分为有意义和无意义删失数据两种，并改进Cox 模型对含有这两种删失数据进行参数估计，同时进行了模拟研究等。但是，上述研究均未讨论不同的删失比例对Cox 模型的影响，也未见应用

Carlo Monte 方法模拟分析不同删失比例对Cox 比例风险模型回归结果的影响。

只有Heller 和[17]Simonoff 在研究BJ 模型特性时，

比较了BJ 模型和Cox 模型的应用条件，提出要根据数据的删失比例、拟合效果、删失分布和生存分布形式等因素选择合适的方法，并建议当删失比例超过60%时使用Cox 回归模型，但并未讨论删失比例对Cox 回归结果的影响趋势，也未确定在应用Cox 比例风险模型进行生存分析时删失比例的限度。

1.2删失数据基本概念

在临床试验研究中，常对各个观察对象进行随访观察，记录各个时点上事件的发生情况，以评价临床疗效。在比较各种疗效之间的效果时，不仅要考虑是否有效，还要考虑从试验开始时发生疗效的时间。假定用甲、乙两药治疗某病，其疗效均为80%，我们也不能笼统地说两种药物的疗效一般，因为还要一个时间效应问题。如果甲药平均三天治愈80%的病人，而乙药平均7天治愈80%的病人，则可以认为甲药比乙药的疗效好。事实上每一种药物在治疗疾病时，都有一条时间生存曲线，全面科学的评价药物的疗效应是对时间生存曲线的全面评价，而不仅仅是对某个时点治愈率（或生存率）的评价。另外，在临床试验及其随访中，一部分研究对象可观察到死亡，从而得到准确的生存时间，所提供的信息是完全的。但往往另有一部分病人，或中途释放，或到观察结束时仍存活，对这些人无法知道准确的生存时间，只知道其生存时间比观察到的时间要长，这种现象称之为截尾，所得到的数据称为截尾数据，它提供不完全的信息，又称为不完全数据。而能观察到结果的数据称为完全数据。生存分析能同时分析有结局的生存时间数据和没有结局的截尾数据。因此，生存分析就是将时间发生的结果和随访时间两个因素结合在一起，同时进行分析的一种统计方法，它充分利用了研究所得的信息，更加准确地评价比较随访的资料。

生存分析：

生存分析是根据生物学、医学、生命科学、可靠性工程以及保险等科学研究中的大量实际问题提出的。是对一个或多个非负随机变量（生存时间）进行统计分析研究。生存分析的实用方法和丰富理论可以应用于生物学、医学、生命科学、工程科学、社会学、心理学、经济学、保险精算学等领域。生存分析的起源于几个世纪之前对死亡表的研究及半个世纪前开始的工程研究。二战引起了人们对武器可靠性的兴趣，而且一直持续到今天的武器和商业产品上。

生存时间：

生存时间广泛地定义为一给定的事件发生的时间。也称为失效时间或寿命时间。事件可以是疾病的发生，一种处理（治疗）的反映，病情的复发或死亡。因此，生存时间可以是无肿瘤时间，从一种治疗开始到有反应的时间，缓解时间的长度或出现死亡的时间。

生存数据

包括生存时间、对治疗的反应以及与反应、生存和疾病发生有关的病人的特征等。生存数据不仅出现在生物医学中，而且出现在生命科学、工程科学、社会学、心理学、经济学、保险精算学等领域研究中。

例子：可靠性工程中电子设备（元件或系统)的寿命；犯罪学中重犯人的假释时间；社会学中首次婚烟的持续时间；汽车工业中汽车车轮的圈数（它可以不是时间）；市场学中报纸或杂志的篇幅和丁费；保险公司在某一索赔中所付的保险费等。

生存函数

定义1.2.1设T表示生存时间，t)

=表示T的分布函数，则T的生存函数

F(t)<

P(T

定义为

>

=

S(t)=

T)

F(t)

-1

P(T

它实际上是个体生存时间长于t的概率。

S(t又称为累计生存率，它的图形叫做生存曲线。陡峭的生存曲线表示低的生)

存概率；较平坦的曲线表示高的生存概率。)

S(t在工程上称为可靠性函数或可靠度。

S(t是t的非增函数，且0.

)

∞

=当T有分布密度函数f(t)时，

S(0-=

)

S(

1,

)

?∞=t

du u f t )()S( 危险率函数

定义1.2.2危险率函数是刻画生存函数的重要特征之一，它实际上是条件生存率。记)(t λ为生存时间T 的危险率函数，其定义为

h

T h t T P t h )t |(lim )(0≥+<=+→λ

)(t λ可以直观地解释为在时间t 或者的个体在接下来的单位时间区间内死亡的条件概率。

危险率函数在工程上叫做失效率函数或损坏函数、而在生存分析中医学统计中又称为风险率函数，或瞬间死亡率，或死亡强度，或条件死亡率，或年龄死亡率等。 定义1.2.3 ?=Λt

du u t 0)()(λ称为累计危险率函数，满足0)0(=Λ及∞=∞Λ）（ 如果T 的分布函数为)F(t 且有密度函数)f(t ，则有下列计算公式：

dt

t F d t F t f t ))(1log()(1)()(--=-=

λ 或 )}(ex p{})(ex p{)(10t du u t F t

Λ-=-=-?λ 如果T 为取值∏≤-=

t Z i n n i i Z C t S 00))(11()(0**δ的离散随机变量且有概率函数

2,1),()(===i i

a T P i a f 则在i a 处的危险率为

-)

F(a -1)(a a T |(i i i f a T P i i =≥==）λ 其中)(lim )(t F a F a t -→=-

删失数据

删失分为右删失和左删失两种，若在进行观察或调查时，一个个体确切生存时间不知道，但只知道其生存是时间大于L ，则称该个体的生存是在L 上是右删失的，并称L 为右删失数据。若个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间小于L ，则称该个体的生存时间在L 上是左删失的，并称L 为左删失数据。

右删失有三种类型：I 型删失，II 型删失，III 型删失。

定义1.2.4 I 型删失：对所有个体的观察停止在一个固定的时间，这种删失就是I 型删失。

例如：动物研究通常是以有固定数目的动物接受一种或多种处理开始。由于时间和费用的限制，研究者常常不能等到所有动物死亡。一种选择是在一个固定时间周期内观察，在截止时间之后仍可能有可能有些动物活着，但不继续观察了。这些动物的生存时间是不知道哦的，只知其不小于研究周期时间，这些称为I 型删失数据。

定义1.2.5 II 型删失：同时对n 个体在不同时间进入研究，某些个体在研究结束之前死亡，他们的确生存时间是知道的，其他个体在研究结束之前退出研究而不被跟踪观察，或在研究结束时仍然活着。

定义1.2.6对于那些中间退出而失去跟踪的个体，生存时间至少是从他们进入研究到失去联系这段时间，对于仍然活着的个体，其生存时间至少是从进入研究到研究结束这段时间。这后两种观察就是删失观察。由于进入研究的时间可能不同，删失时间也可能不同。这种删失就是III 型删失，又称为随机删失。

其数学表示如下：

设n T T T 21,是非负独立同分布表示生存时间的随机变量； n C C C ,,21是非负独立同分布表示删失时间的随机变量，由于随机删失，我们不能完全观察到i T ，而仅能观察到n i i X i 1),,(=，其中)C ,min(T X i i i =表示i T 和i C 中的最小值，)C ,(T i i i =表示i T 和i C 中的最小值

1.3删失数据的几种衍生数据

1.3.1竞争风险数据[18]

在生物医学和工程科学中，个体的死亡（或失效）往往是由多个原因引起的，例如器官移植，病人可能经历各种并发时间（即原因），最后死亡。一般观察到个体的死亡时间和死亡的一个原因，由此获得的数据称为竞争风险数据。对于这种数据，当某个原因发生了，其他原因就不可能发生了。

定义1.3.1.1设T 是死亡时间，引起死亡的原因有K 类， }2,1{k ∈δ表示死亡原因的示性函数。观察到的数据位),(T δ，其中 j =δ表示个体死亡是由第j 个原因引起的， k j ,2,1 =。

对于第j 类原因，其分原因危险函数或粗危险率定义为

h

|,lim (t)0h ）（t T j h t T t P j ≥=+≤≤=+→δλk j ,2,1 = 第j 类子分布函数或累计发生率函数或边际概率函数是：

j)t,P(T (t)=≤=δj F

它与分原因危险函数的关系是

??∑==t j

j j F 0u 0K 1

j }du (v)dv (u)ex p{-(t)λλ 1.3.2集群失效时间数据

集群失效时间数据时对多个有关系的成员分别观察同种类型的生存时间多获得的数据，即考察的对象是由多个并具有某种联系的成员组成的单位。这种数据也称为成组数据。其特点是同组内个体的生存时间是相关的。例如，在流行病的群体研究中，必须对整个家庭中每个成员进行观察，记录每个成员的发病时间：在眼科学中，对于视力的减弱，必须分别对个体的双眼进行测试：在肾脏的疾病研究中，为了比较某些透析中心的治疗成功率，必须对这些中心的多个病人进行观察。

1.3.3截断数据[19]

只有个体经历某种初始事件以后才能观察到其生存时间，称为左截断。此时所获得的数据，称为左截断数据。例如暴露于某疾病，发生死亡前的中间事件等。只有经历了某种终止时间，才能观察到其生存时间，称为右截断。此时所获得的数据，称为右截断数据。

其数学表示如下：

设Y 是一个非负的表示生存时间的随机变量；T 是另外一个表示截断时间的随机变量。在左截断下，只有当T Y ≥时，才能观察到T 和Y ；在右截断下，只有当T Y ≤时，才能观察到T 和Y 。

1.3.4左截断右删失数据[20]

既有左截断又存在右删失的情况，称为左截断右删失，获得的数据位左截断右删失数据。

其数学表示如下：

设Y 是一个非负的表示生存时间的随机变量；T 是一个表示截断时间的随机变量；C 是一个表示删失时间的随机变量。在左截断右删失下，只有当T X ≥时，才能观察打),,(δT X ，其中)C min(Y,X =表示Y 和C 中的最小值，)(C Y I <=δ表示删失状态的示性函数。

1.3.5区间删失数据[21]

若个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间再两个观察时间L 和R 之间（L

当对个体只进行一次观察，且个体的确切生存时间不知道，只知道其生存时间是否大于观察时间，这种删失称为一类区间删失，也称为现时状况数据。当对个体进行两次观察，其观察时间L 和R 满足∞<<

在生物和医学特别是艾滋病的研究中，个体感染某种疾病的时间称为初始事件或感染时间，疾病发生的时间称为发生时间，两者之间的时间称为生存时间。如果初始事件和发生时间均为区间删失，则称生存时间为双重区间删失，其观察数据称为双重区间删失数据。

1.3.6纵向数据

纵向数据时对某些感兴趣的个体进行多次观察或重复测量所获得的数据。有时也称为面板数据。它是生物学、医学、生态学、环境科学和经济科学等中经常出现的一大类重要的复杂数据。

1.3.7复发事件数据

复发事件数据就是对一些个体进行观察，某种感兴趣事件重复发生的时间所组成的数据。这类数据经常出现在生物、医学、社会和经济学等研究领域中。例如病人

某种疾病的多次复发事件；AIDS病和一些传染病的重复感染时间；动物某些肿瘤的重复发生时间；一些国家妇女的各次生育时间；某些机器故障的多次发生时间等。小结

本章首先介绍了删失数据近几年的发展现状，给出了删失数据在近几年的主要文献，接着介绍了删失数据基本概念，对删失数据有一个基本的了解。最后列出了几个删失数据在实际中应用较广泛的类型。

第二章 删失数据的几种估计

2.1 Kaplan-Meier 估计

Meier -kaplan 估计是kaplan 和Meier 在1958年提出的。由于它具有乘积极限的形式，又称为乘积限估计。它在生存分析中的地位与经验分布函数在经典统计中的地位相仿，并且两者有相似的渐近性质：相合性，正态性等。设n T T T 21,是非负独立同分布表示生存时间的随机变量，其生存函数为)S(t ； n C C C 21,为非负独立同分布表示删失时间的随即变量。

定义 2.1.1由于随机删失，我们不能完全观察到T i ，而仅能观察到

（n ,1),,( =i X i i δ其中)C ,m in(T X i i i =表示T i 和C i 中的最小值，)(i i i C T I ≤=δ表示删失的示性函数。

1=i δ表示i X 是未删失数据，0=i δ表示i X 是删失数据。

记)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为n 21X X ,X 的顺序统计量；)(i δ为)(i X 的伴随统计量 注意到

∏=>>=j

i i j X T P X S 11)-(i )()()X T |()(

这里0X )(0=，T 为)S(t 相对应的生存时间变量。

)X T |X P(T 1)-(i (i)>>的一个合理估计为： .)()1

1-

(1)X T |X P(T 1)-(i (i)i i n δ+-=>> 它导致了下列Kaolan-Meier 估计： )()111()(i i t X n i n t S δ∏≤∧+--=

事实上可以证明Kaolan-Meier 估计是生存函数的广义最大似然估计。当没有删失发生时（即所有的1=i δ），它与经验生存函数重合。当真实生存时间（1=i δ）与删失数据（0=i δ）重合时，在排序过程中让真实生存时间放在前面。如果有真实

生存时间重合时，记所有不同的真实生存时间为j r d t t t ,21<<< 是在t j 上的死亡

的个数，n j 是在时间t j 还存活的个体数，那么Kapalan-Meier 估计可修正为

)()1()(j t j t j j n n d t S δ∏≤-

=∧

Kapalan-Meier 估计的方差估计你可由下列Grenwood 公式得到：

∑≤∧∧-=t t j j j j

n j d n n d t S t V )()()(2

1970年Altshuler 提出了另外一个生存函数估计为

}1exp{)()

(∑≤∧+--=t X i n i i n t S δ 此估计称为Altshuler 估计。其性质与Kaplan-Meier 估计相类似

2.2 Nelson-Aalen 估计[22]

设)(t Λ为生存函数S （t ）相对应累计危险率函数。根据生存函数与累计危险率

函数的关系)(log )(t S t =Λ

定义2.2.1 Kaplan-Meier 估计的累计危险率函数的估计定义为

∑≤∧+-=

Λt i X i i n t )()(1)(δ

此估计称为Nelson-Aalen 估计。 2.3 Pererson 估计

定义2.3.1 与生存函数的Altshuler 估计相对应的累计危险函数的估计为

∑≤∧

+--=Λt i X i i n t )()(1)(δ

此估计称为Peterson 估计。这两种估计的性质可由Kaolan-Meier 估计与Altshuler 估计的性质直接导出。

2.4 Breslow 估计[23]

定义为2.4.1 基本累极率危险函数

?=Λt

du u t 000)()(λ

的估计为

∑∑==∧≥≤=Λn i n

j j i j i i Z X X I t X I t 110)'exp()()()(βδ

此估计称为Breslow 估计。

2.5 Buckley-James 估计

设线性模型为

εβα++=Z Y '

其中Y 是反映变量（如生存时间或其对数），Z 是p 维协变量，βα和是未知参数，ε是均值为零的随机误差。

在随即删失下，}{Y i 不一定有完全观测值。设有一组删失数据为(i i i Z Y δ,,)n)1,(i =其中1=i δ时表示i Y 是完全观测值（未删失数据），0=i δ时表示i Y 是删失数据。1979年Buckley 和James 通过修正删失数据，提出了一种估计α和β的方法，称为Buckley-James 方法。所获得的估计称为Buckley-James 估计。 其方法如下：

对于任何给定的b ，令

i i i Z b Y b Y ')(-=

则ε的分布函数的Kaolan-Meier 估计为

∏≤∧+---

=t b Y i nb i i i n t F )(:)()()1

11(1)(δ 其中 )}({)()()i ()()1(b Y b Y b Y n 为

的顺序统计量，）（i δ是对应于）的伴随统计量（）（b i Y

。 然后用

?∞∧

∧+=(b)nb i nb i

*i (u))du F -(1(b))(Y F -1-1(b)b i Y i Y Y δ）（

记

∑==n

i i Z n z 11- ∑==Φn

1i *i i (b)Y )'z -(Z (b)n 通过求(b)n Φ的最大值点解得β的估计∧

β。

同时α的估计为 (t)-∧?∞∞∧

∧=βαn F td Buckley-James 估计可用迭代方法计算出来

2.6 Lynden-Bell 估计[24]

设 21,X X 是独立同分布表示生存时间的随机变量，其生存函数为S （t ）；.T ,T 21 为独立同分布表示截断时间的随机变量。且}{X i 与}{T i 独立。在左截断下，当且仅当i i T X >时，才能观察到)T ,(X i i ，记为（00,i i T X ），不妨假设在 1,2i );T ,(X i i =中观察到的n 对数据时

n)1i ();,(00 =i i T X

则S （t ）的最大似然估计为

∏-

=∧0))

(11()(0i X i n n X C t S 其中

∑=≤≤=n

i i i n X t T I t C 200)()(

)(t S n ∧也称为截断数据下的Lynden-Bell 估计或乘积限估计。 左截断右删失下的乘积限估计：

设.X ,X 21 是独立同分布表示生存时间的随机变量；其生存函数为S （t ）； 21T ,T 为独立同分布表示截断时间的随机变量；

21Y ,Y 为独立同分布表示删失的随机变量；且错误！未找到引用源。独立。

在左截断右删失下，当且仅当i i T Z ≥时，才能观察到（i i i T Z δ,,），其中),min(i i i Y X Z =表示i X 和i Y 中的最小值，)(i i i Y X I ≤=δ表示删失状态的示性函数。不妨设有n 个观察数据

（000,,i i i T Z δ），n 1i =

其中00i i T Z ≥，则S （t ）的最大似然估计为

∏≤-

=t Z i n n i i Z C t S 00))

(11()(0**δ 其中

∑=≤≤=n

i i i n Z t T I t C 100*)()( )(*t S n 也称为左截断右删失数据下的乘积限估计

2.7Turnbull 估计

对于一组数据中既有真实的失效数据和右删失数据，又含有左删失数据，此数据称为双重删失数据。基于一个自相容算法，1974年Turbbull 提出了生存函数的一个非参数估计。文献中又称为Turnbull 估计

Turnbull 估计不一定是非参数最大似然估计。当无左删失时，Turnbull 估计即为Kaplan-Meier 估计。根据这种自相容算法，可以先选择一个初始估计，然后使用迭代方法计算下一步估计，重复循环下去一直到收敛。

小结

本章主要了解了删失数据的几种重要估计，对各种估计的来源进行了推断，其中较常用的是K-M 估计，在生存分析中常用到它与Cox 模型进行生存分析，后面的几种估计大多也是有K-M 估计推倒而得。

第三章 Cox 模型

3.1 Cox 模型

Cox 模型是生物医学中一类最重要的半参数模型，具有较强的应用背景。是对删失数据的分析很常用的一种模型，通过Cox 模型来分析删失数据得到我们需要的结果。此模型提供了探索协变量与危险率函数之间关系并对其协变量的影响进行研究的一种半参数方法。模型中的参数有简单直接的解释，且其统计推断方法与参数模型一样有效。设Z 为P 维协变量，并记)Z |(t λ为给定Z 下生存时间T 的危险率函数。

定义3.1.1若比值)Z |(t 1λ/)Z |(t 2λ与t 无关，则称T 的危险率函数满足比例危险率模型，也称为相对风险模型或者乘积危险率模型。此时时给定Z 下，T 的危险率函数具有下列形式：

)g(Z )(t )Z |(t 0λλ=

其中0λ是未知的基本危险率函数，g （Z ）是相对危险率。在许多实际问题中，)g(Z 常取参数形式式),(Z ),(Z )g(Z )g(Z 0ββg ==，这里0g 是已知函数，β是未知函数。取)Z 'ex p(0β=g ，即得到著名的Cox 模型。

设有一组删失数据位)Z ,,(X i i i δ，n 1i =，其中1=i δ表示i X 是删失数据，i Z 是协变量观察值。

为了估计Cox 模型中的未知函数β，1972年Cox 提出了下列部分似然函数或偏似然函数：∏∑==≥=

1j i j 1i i )

Z ')exp(X (X )Z '(exp )(δβββ：i n

j I L 通过求)(βL 的极大值点解得β的最大部分似然函数估计∧β。也称为Cox 估计

一般情况下，最简单的相对危险度模型为具有一个协变量的病人与一个协变量为零的病人相比其死亡的相对危险度。此时其生存时间是连续变量。但在实际工作中，得到的数据有时表现为离散变量，有时观察的协变量还会因时间的推移而发生变化。为分析较为复杂的情况，对传统的Cox 模型进行了拓展。