数学建模课后习题
第一章
课后习题6.
利用1.5节药物中毒施救模型确定对于孩子及成人服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小
剂量。
解：假设病人服用氨茶碱的总剂量为a,由书中已建立的模型和假设得出肠胃中的药量为：
x(0) = M (mg)
由于肠胃中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数?? 0,得到微分方程
x,x(0) = M ( 1)
dt
原模型已假设t =0时血液中药量无药物，则y(0)=0，y(t)的增长速度为x。由于治疗
而减少的速度与y(t)本身成正比，比例系数. 0，所以得到方程：
3 = x「今y(0) = 0 ( 2)
dt
方程(1)可转换为：x(t) =Me—'t
带入方程(2)可得：y(t)=型(e* —e」)
y 人—卩
将? =01386和J= 0.1155带入以上两方程，得：
x(t)二Me ”1386t
0.1155t _0.13866、
y(t) = 6M (e -e )
针对孩子求解，得：
严重中毒时间及服用最小剂量：t =7.876h，M = 494.87mg ；
致命中毒时间及服用最小剂量：t=7.876h，M =948.46mg
针对成人求解：
严重中毒时间及服用最小剂量：t=7.876h，M =945.83mg
致命时间及服用最小剂量：t = 7.876h，M =1987.74mg
课后习题7.
对于1.5节的模型，如果采用的是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血液用药
量的变化并作图。
解：已知血液透析法是自身排除率的
6倍，所以u =6」-0.639
x(t) =1100e 」,x 为胃肠道中的药量，，=0.1386 y(t) =6600(e * —e 」)
空=x - uz,t _2,x =1100e 」，z ⑵-236.5,^0.639^ =0.1386 dt 解得：z G^275e J
).1386t
112.274e ^^,^2
用matlab 画图：
图中绿色线条代表采用体外血液透析血液中药物浓度的变化情况。 从图中可以看出，采取血液透析时血液中药物浓度就开始下降。
T=2时，血液中药物浓度最
高，为236.5 ;当z=200时，t=2.8731，血液透析0.8731小时后就开始解毒。
第二章
1.用
2.4节实物交换模型中介绍的无差别曲线的概念， 讨论以下的雇员和雇主之间的关
系：
1 ）以雇员一天的工作时间 ［和帽工资分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的 示意图，解释曲线为什么是那种形状；
2 ）如果雇主付计时费，对不同的工资率画出计时工资线族，根据雇员的无差别曲线 族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议；
3 ）雇员和雇主已经达成了协议，如果雇主想使用雇员的工作时间增加到
t 2,
他有两种
办法：一是提高计时工资率，在协议线的另一点卩严即J达成新的协议；二是实行超时工资制，即对工时人仍付原计时工资，对工时& ?付给更高的超时工资，试用作图方法分析那
种办法对雇主更有利，指出这个结果的条件。
解：
1）雇员的无差别曲线族0匚是下凸的，如图。当工资较低时，他愿意以多
的工作时间换取少的工资；当工资较高时，就要求以多的工资来增加工作时间。
2 ）雇主的计时工资族是幡加，口是工资率，这族直线与/（*' 0 -的切点耳， k等的连线P0为雇员与雇主的协议线，通常巴是上升的，见图:
3）设双方在?惭J点达成协议，当雇主想使雇员的工作时间增至时，用提高计
时工资率"的办法，应在协议线巴上找出横坐标为。的卩1点，工资额为除1，见上图，用超时工资的
办法，应从丹点作某一条无差别曲线的切线，使切点P2'的横坐标刚好是t2,若
点P2 '在P2的下方，则工资额W2'W2，即第二种办法对雇主有利，得到这个结果的条件是，在雇员没有工作时和已经工作了匕时，其无差别曲线族没有变化。
课后第三章习题
1.在3.1节的存贮模型总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量，证明在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样。
解：
设购买单位重量货物的费用为k，对于不允许缺货模型，每天平均费用为
唯)二鱼+空
，T,Q的最优结果不变，对于允许缺货模型，每天平均费用为
，注意到A F?,可知T，Q的最优结果也不
变。
A匕厂2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型，设生产速率为常数k,销售速率为常数r, k>r，
在每个生产周期T内，开始的一段时间(叱⑷
一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出存贮量q(t)的图形，设每次生产准备费为c i,单位时间每
件产品存贮费为C2，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论t和艮幻厂的情况。
解：
贮存量q (t )的图形如图，单位时间总费用，，使c(T)达到
.I 2^*
2 = I -----------
最小值的最优周期“只止一力。
淬t?当k>>r时，'，相当于不考虑生产的情况，当< --时，，产量被销售量抵消，无法形成贮存量。
q
TO T T
第四章
1、某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%勺税率纳税。此外还有以下限制：
(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；
(2)所购证券的平均信用等级不超过1.4 (信用等级数字越小，信用程度越高)；
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年。
问：(1)若该经理有1000万元资金，应如何投资？
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元的资金，该经理应如何操作？
(3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变? 若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？
1.1问题分析
问经理应该如何投资实际上是在问对已知的几种类型的证券要如何投资才能使得经理的最终收益最大。应该先对表中所给的几种证券的各个数据进行分析，列出几种证券投资后经理的收益函数，同时使得该函数所得结果要满足题目
中给定的几个限制。对于（2）、（3）问的求解只用调整相应的限制条件和第一 问函数的几个三叔即可。
1.2模型建立
（1）假设投资给证券A , B, C, D , E 的资金分别为a ，b , c ，d , e （百万元），经 理最终的收益为y （百万元），则可以建立如下数学模型：
y = 0.043* a 0.027* b 0.025* c 0.022 *d 0.045 * e
b +
c +
d 王4
6* a+6* b-4*c-4*d+36*e" 4* a 10* b-c-2*d-3*e^0 a,b,c,d, e _ 0
用LING 欲件求解:
Elzfcal ?p-： =3K1 :icl*nun fmadli iarnBcJbllEtlsr-
V. lEWiC
X SM J ncilTK luxaiucAa.
1
得到如下结果：
证券A 投资2.182百万元，证券C 投资7.364百万元，证券E 投资0.454百万元;
经理最大税后收益为0.298百万元。
⑵ 由⑴ 的结果可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以
2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。修改（1）中的条件建立如 下的心
新模型：
y = 0.043* a 0.027* b 0.025* c 0.022 *d 0.045 * e
b +
c +
d 启4
6* a + 6* b-4*c-4*d+36*e" 4*a 10*b-c-2*d-3*e" a,b,c,d,e - 0
.z 已
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