2019届高三数学考前指导答案

2019届高三数学《考前指导》参考答案

专题二 函数、导数

二、考题剖析

例1．解 (1)方程f(x)＝|m|，即|x －m|＝|m|. 此方程在x ∈R 时的解为x ＝0和x ＝2m.(2分)

要使方程|x －m|＝|m|在x ∈[－4，＋∞)上有两个不同的解． ∴2m≥－4且2m≠0. 则m 的取值范围是m≥－2且m≠0.(5分) (2)原

f(x 1)min ＞g(x 2)min .(7分)

对于任意x 1∈(－∞，4]，f(x 1)min ＝?

??

??

，

m －＞

对于任意x 2∈[3，＋∞)，g(x 2)min ＝????

?

m 2

－10m ＋9 ＜

，

m 2

－

(9分)

①当m ＜3时，0＞m 2

－10m ＋9.(11分) ∴1＜m ＜3.

②当3≤m≤4时，0＞m 2

－7m.(13分) ∴3≤m≤4.

③当m≥4时，m －4＞m 2

－7m.(15分) ∴4≤m＜4＋2 3 综上所述1＜m ＜4＋2 3.(16分) 例2．解: （I ）,2)(x

a

x x f -

='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分

又x

a

x g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .

∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分

由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-=

…………5分

（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(x

x x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x

令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得

列表分析

知)(x h 在∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.

即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………10分

（III ）设2

'

23

122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x ??=--+

=---<则, ()x ?∴在(0,1]为减函数min

()(1)1210x b ??∴==-+≥ 又1b >-

所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分

例3．解：（1）2

12S R θ=扇，21sin 2

OCD S R θ?=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓. 又

1

2S Rl =扇，21sin 2OCD l S R R

?=, 1()(sin )2l S g l R l R R ==-弓.

(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y

21113()22y R lR π=-，221sin 82y R θ=?，31

(sin )22

y R l R θ=-?,

22221231111

3()sin 8(sin )22222

y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+?--? .

21

[3(510sin )]2

R πθθ=--.

设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈. '()510cos g θθ=- , …………12分

'1()0,cos ,()2g g π

θθθθ<>∈在（0, ）

3上为减函数； '1()0,cos ,()2g g π

θθθθπ><∈在（，）

3

上为增函数. 当3

πθ=

时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.

答：当园林公司把扇形的圆心角设计成3

π时，总利润最大.

三、热身冲刺

1. 解: 解：（1）函数x

x x f ln )(=

的定义域为),1()1,0(+∞ ， 2

ln 1

()ln x f x x -'=，……3分 令()0f x '=，解得e x =，列表

所以极小值为)(e f ＝e ，无极大值.

（2）当0x ≤时，对任意0a ≠，不等式恒成立； 当0x >时，在x a

e x >两边取自然对数，得

ln x

x a

>， 1当01x <≤时，ln 0x ≤，当0a >，不等式恒成立；

如果0a <，ln 0x <， ln 0a x >，不等式等价于ln x

a x

<， 由(1)得，此时

(,0)ln x

x

∈-∞，不等式不恒成立. 2当1x >时，ln 0x >，则0a >,不等式等价于ln x

a x

<

, 由(1)得，此时

ln x

x

的最小值为e ， 得0a e <<.…………14分 综上：a 的取值范围是0a e <<.

【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思想、不等式的性质、恒成立问题处理方法

2．解：（1）22(2),,

()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ?+-?=-+=?-++

由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -?-???+???

≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，

即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11

x a x x

-<-<，

11x a x x x -<<+，故只要1

x a x

-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，

在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1

x x

+的最小值大于a 即可，………6分

而当[1,2]x ∈时，21110x x x '?

?-=+> ??

?，1x x -为增函数，max 132x x ??-= ???；

当[1,2]x ∈时，21110x x x '?

?+=-> ??

?，1x x +为增函数，min 12x x ??+= ???，

所以3

22

a <<； …………………10分

（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； ……… 11分

则当(2,4]a ∈时，由22(2),,

()(2),x a x x a f x x a x x a

?+-?=?-++

x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴2

2

a x a -=<，

则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，

x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴2

2

a x a +=<，

则()f x 在2,2a x +?

?∈-∞ ???为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ??+-∞ ???， ()f x 在2

,2

a x a +??

∈????为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ??+ ???

；

由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ??

+∈ ???

，

即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ??+∈ ??

?即可，令2(2)14()488a g a a a a +??

==++

???， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9

()(4)8

g a g ==

， 故实数t 的取值范围为91,8??

???

； ………………… 15分

同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8??

???

；

综上所述，实数t 的取值范围为91,8??

???

． ……………16分

专题三 三角函数、平面向量

二、考题剖析 例1．解：（Ⅰ）),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a

分

即分

分

6.5

3

)cos(.54)cos(224,5

52)sin (sin )cos (cos ,552||2).sin sin cos (cos 22 =-∴=--=-+-∴=---=-∴βαβαβαβαβαβαb a b a （Ⅱ）分7.0,02

,2

0 πβαβππα<-<∴<<-<<

分分

分

12.65

33

)135(53131254sin )cos(cos )sin(])sin[(sin 9.13

12

cos ,135sin 8.5

4

)sin(,53)cos( =-?+?=

-+-=+-=∴=∴-==-∴=-ββαββαββααβββαβα 例2．分析：由向量n m ,的关系可得三角形三个内角的正弦值的等量关系，再利用正弦定理可以实现边角的互化，再联立三角形周长等量关系可求得边c ；角C 的范围可由其余弦值确定。 解:（I ）由n m ⊥得：0sin 2sin sin =-+C B A ，由正弦定理可得：c b a 2=+，又

12+=++c b a ，可解得1=c ； （II ）由（I ）2=+b a ，则：

01)(2

12112)(2cos 2

22222=-+≥-=--+=-+=b a ab ab c b a ab c b a C ，故20π≤

例3.解：设n (, ),m n 1, 1.x y x y =?=-+=由有①……（1分）

m 与n 夹角为

43π，有m ·n ＝|m |·|n |·4

3cos π， |n | 1∴=则1y x 22=+②……（3分）

由①②解得???=-=01y x 或?

??-==10

y x

∴即n (1, 0)=-或n (0, 1)=-……（6分） （Ⅱ）由n 与q 垂直知n (0, 1)=-……（7分）

由2B ＝A ＋C 知B ＝3π

，A ＋C ＝32π, 3

2A 0π<<

若n (0, 1)=-, 则n ＋p ＝)12

C cos 2,A (cos 2- ＝)C cos ,A (cos ∴222

1cos 21cos 2|n p | cos cos 22

A C A C +++=+=+ ＝)3A 2cos(211)]A 234cos(

A 2[cos 211π

++=-π++……（10分）

∵,353A 23,32A 0π<π+<ππ<< ∴当1)3A 2cos(-=π

+时, |n p |+取得最小值 即2

min 1|n p |,2

+=∴min 2

|n p |+=

…………（12分） 三、热身冲刺

1．解:（I ）在△ABC 中有B+C=π－A ，由条件可得：

4[1－cos(B+C)] －4cos 2

A+2=7 又∵cos(B+C)= －cosA

∴4cos 2

A －4cosA+1=0

解得.3

),,0(,21cos π

π=∴∈=A A A 又 解： （II ）由bc a c b bc a c b A 3)(,2

1

221cos 22222=-+=-+=即知

)

12(.122123)

10(.2,3,3分或由分代入得又?

??==???==????==+==+=c b c b bc c b bc c b a

2．解: (1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+=

又

2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴?=-+=,得8t =± （4分）

(24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--

(2)(sin 8,)AC k t θ=-

AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+

232

sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k k

θθθθ=-+=--+

4,104k k ∴>∴>

>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32

k

（8分） 由

324k =，得8k =，此时,(4,8)6

OC π

θ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴?=?= （12分）

专题四 不等式、数列

二、考题剖析

例1. 分析：对于（2）注意到我们解决含参不等式问题的经验——特殊不等式与等式的等价性：|a+b|≤0 |a+b|=0 a+b=0；

前事不忘后事之师，又注意到上述不等式的特征：右边为0，所以这里欲由一个不等式确定两个实数a,b 的值，在运用特取手段时，首先选择使右式等于零的x 的值，解题的局面便是由此打开的。

解：（1）当a=-2,b=-8时，所给不等式左边=x 2+ax+b|=|x 2

-2x-8|

≤2|x 2-2x-8| =|2x 2

-4x-16|=右边 ∴此时所给不等式对一切x ∈R 成立

（2）注意到 2x 2-4x-16=0 x 2

-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4

∴当x=-2或x=4时 |2x 2

-4x-16|=0

∴在不等式|x 2+ax+b|≤|2x 2

-4x-16|中分别取x=-2，x=4得

又注意到（1）知当a=-2，b=-8时，所给不等式互对一切x R 均成立。 ∴满足题意的实数a,b 只能a=-2,b=-8一组

（3）由已知不等式x2-2x-8≥(m+2)x -m-15 对一切x>2成立

x2-4x+7≥m(x -1)对一切 x>2成立 ①

令

②

则（1）

m≤g(x)的最小值

又当x>2时，x-1>0

（当且仅当 时等号成立） ∴g(x)的最小值为6（当且仅当x=3时取得） ③ ∴由②③得 m≤2 ∴所求实数m 的取值范围为（-∞，2] 点评：对于（2），应注意品悟，取特殊值的目的性；对于（3）应注意品悟不等式当x>2时恒成立的转化的等价性。

例2．解：表示比例系数，其中的质量分数，则表示流出的水中该杂质设0>=k ab

k y y ，欲求y 的

最小值，只需求ab 的最大值。

由已知，得，24260ab b a a b R ++=∈+() ∴b a

a

a =

-+<<302030()

2

64)

2(234)2642(342302

++-≤+++-=+-=a a a a a a a ab ·∴=-=341618 当且仅当，即时，上式取等号，a a a +=+=2642

6相应地，，b a ==36

∴当a=6米，b=3米时，经该箱沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

例3．解：（I ）}{n a 为等差数列，5243a a a a +=+∴=22.

011722,,11724343=+-∴=?x x a a a a 是方程 的两实根，

.,043a a d <∴>公差 .13,943==∴a a

34,41

13

39

2111-=∴?

??==??

?=+=+n a d a d a d a n .

……………4分

（II ）由（I ）知c

n n n c n S b n n n n n S n n n +-=+=∴-=?-+=22

2,242)1( }{.315,26,11321n b c b c b c b +=+=+=

∴是等差数列，,2212b b b +=∴

),,0(2

1,02,315112262舍去即=-==++++=?+c c c c c c c .2

1

-=∴c 故 ………………8分

（III ）由（II ）得

,22

122n n n

n b n =-

-=

221()36(36)2(1)(36)(1)373637n n n f n n n n n n n n n

∴=

===

+?++++++

+1,49

≤=

∴当且仅当6,36==

n n n 即时取“等号”..49

1

)(max =∴n f …………12分 三、热身冲刺

1．解：}{n a 为等差数列，∵184251=+=+a a a a ， 又6542=?a a ，∴2a ，4a 是方程065182

=+-x x 的两个根 又公差0>d ，∴42a a <，∴52=a ，134=a .

∴ 115,313,a d a d +=??+=? ∴11, 4.a d == ∴34-=n a n .…………5分

（2）由121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，2

211i a a a =?∴， 即2)34(811-=?i ，解得3=i .

（3）由(1)知，n n n n n S n -=?-+?=2242

)

1(1, 假设存在常数k

，使数列为等差数列，

【法一】由2231231?+?=?++

?+k S k S k S ，

得26231511?+?=?++?+k k k , 解得1=k .

n n kn S n 222==+∴,

易知数列为等差数列.

【法二】假设存在常数k ，使数

列为等差数列，由等差数列通项公式可

知

an b +，

得222(1)2n k n an abn b +-=++恒成立，可得2,0,1a b k ===.

n n kn S n 222==+∴,

易知数列为等差数列.

【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.

2．（1）证：1211

1111

[1()]

112[1()]1321()

2

n n n a S S S a S ----=+=-----≤，当n = 1时，等号成立

2322212

1

[1()]

112[1()]1621()

2

n n n a S S S a S ----=+=+----≥，当n = 2时，等号成立

∴S 2≤S n ≤S 1．

（2）解：112

1112||||2011

||||||2n n n n n n n T a a a a a T a a a +++=== ∵

1110

20112011

122<<

，∴当n ≤10时，|T n + 1| > |T n |，当n ≥11时，|T n + 1| < |T n | 故|T n | max = |T 11| 又T 10 < 0，，T 11 < 0，T 9 > 0，T 12 > 0，∴T n 的最大值是T 9和T 12中的较大者 ∵1031210111291

[2011()]12T a a a T ==->，∴T 12 > T 9 因此当n = 12时，T n 最大．

（3）证：∵11

2011()2

n n a -=-，∴| a n |随n 增大而减小，a n 奇数项均正，偶数项均负

①当k 是奇数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k k a a a ++，，，则

1111111()()222k k k k k

a a a a a -++=-+-=，11

21122()22

k k k a a a ++=-=， ∴122k k k a a a +++=，因此12k k k a a a ++，，成等差数列，

公差112111311

[()()]222

k k k k k k a d a a a ++++=-=---=

②当k 是偶数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为21k k k a a a ++，，，则 1111111()()222k k k k k a a a a a -++=-+-=-，1

121122()22

k k k

a a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此21k k k a a a ++，，成等差数列， 公差111211311

[()()]222

k k k k k k a d a a a +-++=-=---=

综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且11

32k k a d += ∵

1

2n n

d d -=，∴数列{d n }为等比数列．

专题五 立体几何 解析几何

二、考题剖析

例1． 分析：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。 解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC 。

由∠BCD=900

，得CD ⊥BC ，

又PD DC=D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD 。

因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC 。 （2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等。 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍。 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F 。 易知

DF=

2

，故点A 到平面PBC

（方法二）体积法：连结AC 。设点A 到平面PBC 的距离为h 。

因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900

。 从而AB=2，BC=1，得ABC ?的面积1ABC S ?=。 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133

ABC V S PD ?=?=。 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC 。

又PD=DC=1

，所以PC =

=。

由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ?

的面积2

PBC S ?=。

由A PBC P ABC V V --=，11

33

PBC S h V ?==

，得h =

故点A 到平面PBC

例2.解：（1）由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -

及点(1M 为顶点的三角形， ∵12A M A M ⊥，∴12A A M ?为直角三角形，

∴外接圆C 以原点O 为圆心，线段A 1A 2为直径，故其方程为224x y +=． ∵2a=4，∴a=2．

又2

e =

，∴2=c

，可得b = ∴所求椭圆C 1的方程是22

142

x y +=．

（2）直线PQ 与圆C 相切．

设000(,)(2)P x y x ≠±，则22

00

4y x =-．

当0x =1),0,22(),2,2(-=?±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；

当0x ≠0

0002

,2

y x k x y k OQ PF --

=∴-=

∴直线OQ

的方程为00

x y x y =-

．

因此，点Q 的坐标为)4

22,22(0

0x y x --

．

∵,)

22()22()

22(422224

20

0000002

00

00y x x y x x x y y x x y y x k PQ -

=--=

-+-=

----

=

∴当00x =时，0PQ

k =，OP PQ ⊥；

当00x ≠时候，0

OP y k x =

，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．

例3．解：建立如图所示的直角坐标系，⊙O 的方程为2

2

4x y +=， 直线L 的方程为4x =。

（1）∵∠PAB=30°，∴点P

的坐标为

，∴

:2)3

AP l y x =+

，:2)BP l y x =-。将x=4

代入，得(4,M N -。∴MN 的中点坐标

为（4，0），

MN=MN 为直径的圆的方程为

22

(4)12x y -+=。

同理，当点P 在x 轴下方时，所求圆的方程仍是22(4)12x y -+=。

（2）设点P 的坐标为00(,)x y ，∴22

004

x y +=（00y ≠），∴2

2

004y x =-。

∵0000:(2),:(2)22PA PB y y l y x l y x x x =

+=-+-，将x=4代入，得0

062

M y y x =

+， 0022N y y x =

-。∴000062(4,),(4,)22y y M N x x +-，MN=000000446222x y y x x y --=+-。MN 的中点坐标为00

4(1)

(4,)x y --。

以MN 为直径的圆/

O 截x

轴的线段长度为=

0y =

== ∴⊙/

O 必过⊙O

内定点(4-。 三、热身冲刺

1．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O

到直线4x =的距离， 即

2r =

=． 得圆O 的方程为22

4x y +=．

（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由2

4x =即得

(20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得

222(2)x x y -+=+，

即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =-----，，

22

2

42(1).

x y y =-+=-

由于点P 在圆O 内，故2222

42.

x y x y ?+

由此得2

1y <．

所以PA PB 的取值范围为[20)-，

． 2．解：（1）因为BD //平面EFGH ，BDC EFGH FG =平面平面，所以BD //FG ． 同理BD //EH ，又因为EH FG =， 所以四边形EFGH 为平行四边形， 所以HG //EF ，又HG ABC ?平面，

所以HG ABC 平面． ……………………………………………………6分 （2）在ABC 平面内过点E 作EP AC ⊥，且交AC 于P 点， 在ACD 平面内过点P 作PQ AC ⊥，且交AD 于Q 点，

连结EQ ，则EQ 即为所求线段．………………………………………………10分 证明如下：

EP AC AC EPQ PQ AC EQ AC EQ EPQ EP PQ P ⊥?

?⊥?

?⊥?⊥?????=?

平面平面…………………………………14分

专题五 应用题

二、考题剖析

例1．解：设中间区域矩形的长、宽分别为x 、y ，中间的矩形区域面积为S ．

则半圆的周长为2y π，因为操场周长为400，所以224002

y

x π+?=，即

2400x y π+=．

∴211220000

(2)()()222x y S xy x y πππππ

+==??≤?=

， 由22400x y x y ππ=??+=?，，解得100200x y π=???=??，． 当100200x y π=???=??，

时等号成立．

设计矩形的长为100m 宽约为

200

π

（637≈．

）m 时，矩形面积最大． 例2．解：轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，

而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB ，设EB=x ，则 则BC=4x ，由已知得0030,150BAE EAC ∠=∠= 在△AEC 中，由正弦定理得：

sin sin sin sin EC AE AE EAC C EAC C EC ?∠=∴=∠0

5sin150152x x

==

在△ABC 中，由正弦定理得：

0sin120sin BC AB C

=0

1

4sin sin120x BC C

AB ?

?∴=

=

=在△ABE 中，由余弦定理得：2220

2cos30BE AB AE AB AE =+-??

16312525,33BE =+

-?==

故

所以船速3BE

v t

===

例3.解：（Ⅰ）对于函数sin()y A x ωφ=+,由图象知

,224(85)6

A T πππω===-4分

将B

代入到sin()36

y x π

φ=+中,得52()62k k Z ππφπ+=+∈,又||2πφ<, 所以3πφ=-,

故sin()63

y x ππ

=

-………………………………………7分 (Ⅱ)

在sin()6

3

y x ππ=-中令4x =,得(4,4)A ,得曲线OA 的方程为2

4(04)y x x =≤≤9分

设点2(,)(04)4t P t t ≤≤,则矩形PMFE 的面积为2

(4)4

t S t =-(04)x ≤≤……11分

因为2

344t S '=-,由0S '=,

得t

且当t ∈时,0S '>,S 递增;

当4)t ∈时,0S '<,S

递减,

所以当t =时,S 最大,此时点P

的坐标为4(3………14分 三、热身冲刺 1．解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-

+>中，令0y =，得221

(1)=020

kx k x -+。 由实际意义和题设条件知00x >k >，。

∴2202020===10112

k x k k k

≤++，当且仅当=1k 时取等号。

∴炮的最大射程是10千米。

（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221

(1)=3.220

ka k a -+成立， 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。 由()()

2

22=204640a a a ?--+≥得6a ≤。 此时，

0k （不考虑另一根）

。 ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。

2．解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为 f (x) 万元，B 产品的利润为 g (x) 万元． 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知4

14

1

)1(1=

∴=

k f 255(4),24g k =∴

=又，1:()(0)()0)4f x x x g x x =≥≥从而，

（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10－x

万元；设企业利润为y 万元。

()(10)(010)4x y f x g x x =+-=

≤≤，

221051565

,()(0444216

t t y t t t -==+=--+≤≤则

max 56525,4,10 3.752164

t y x ==≈=-=当时此时

答：当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时,企业获得最大利润约4万元。

3．解：（1）

tan tan H H AD AD ββ=?=，同理：tan H AB α=，tan h

BD β

=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20

h H αβα?===--。 因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。 （2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h

d AD DB d αβ-=

===， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+?+-+?+

()

H H h d d

-+

≥（当且仅当d =

故当d =tan()αβ-最大。

因为02

π

βα<<<

，则02

π

αβ<-<

，所以当d =α-β最大。

故所求的d 是m 。