(完整版)常用函数积分表(增强版)

1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx

2.∫(f(x)?g(x))dx=∫f(x)dx?∫g(x)dx

3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)?∫g(x)df(x)

4.∫a x dx=a x

ln a

+C，a≠1，a>0

5.∫x n dx=x n+1

n+1

+C，n≠?1

6.∫1

dx=ln|x|+C

7.∫e x dx=e x+C

8.∫sin x dx=?cos x+C

9.∫cos x dx=sin x+C

10.∫sec2x dx=tan x+C

11.∫csc2x dx=?cot x+C

12.∫sec x tan x dx=sec x+C

13.∫csc x cot x dx=?csc x+C

14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1

a(n+1)

+C，a≠0，n≠?1

15.∫dx

ax+b =1

ln|ax+b|+C，a≠0

16.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1

a2(ax+b

n+2

n+1

)+C，a≠0，n≠?1,?2

17.∫x

ax+b dx=x

ln|ax+b|+C，a≠0

18.∫x

(ax+b)2dx=1

(ln|ax+b|+b

ax+b

)+C，a≠0

19.∫x2

ax+b dx=1

2a3

[(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C

20.∫x2

(ax+b)dx=1

(ax+b?2b ln|ax+b|?b2

ax+b

)+C

21.∫x2

(ax+b)dx=1

(ln|ax+b|+2b

ax+b

?b2

2(ax+b)

)+C

22.∫x2

(ax+b)n dx=1

(?1

(n?3)(ax+b)n?3

+2b

(n?2)(ax+b)n?2

?b2

(n?1)(ax+b)n?1

)+C，n≠

1,2,3

23.∫dx

x(ax+b)=1

ln|x

ax+b

|+C，b≠0

24.∫dx

x2(ax+b)=?1

ln|ax+b

|+C

25.∫dx

x2(ax+b)2=?a(1

b2(ax+b)

ab2x

ln|ax+b

|)+C

26.∫x√ax+bdx=2

15a2

(3ax?2b)(ax+b)32+C

27.∫x2√ax+bdx=2

105a3

(15a2x2?12abx+8b2)(ax+b)32+C

28.∫(√ax+b)n dx=2(√ax+b)n+2

a(n+2)

+C，a≠0，n≠?2

29.∫x n√ax+b dx=2

a(2n+3)x n(ax+b)32?2nb

a(2n+3)

∫x n?1√ax+bdx循环

计算

30.∫√ax+b

x dx=2√ax+b+b

x√ax+b

=2√ax+b?2√b arctanh√ax+b

31.

x√ax+b =

√?b

√ax+b

+C，b<0

32.

x√ax+b =

√b

|√ax+b?√b

√ax+b+√b

|+C，b>0

33.∫√ax+b

x2dx=?√ax+b

2x√ax+b

34.∫√ax+b

x n dx=?(ax+b)

b(n?1)x n?1

?(2n?5)a

2b(n?1)

∫√ax+b

x n?1

dx，n≠1循环

计算

35.n

√ax+b =2

a(2n+1)

(x n√ax+b?bn n?1

√ax+b

)+C循环计

算

36.

x2√ax+b =?ax+b

2b x√ax+b

+C，b≠0

37.

x n√ax+b =?√ax+b

b(n?1)x n?1

?(2n?3)a

2b(n?1)

∫√ax+b

x n?1

dx，n≠1循环

计算

38.∫x n√ax+bdx=2

2n+1

(x n+1√ax+b+bx n√ax+b?nb∫x n?1√ax+bdx)+C循环计算

39. ∫dx a 2+x 2=1a arctan x

a +C ，a ≠0

40. ∫dx

(a 2+x 2)2=x

2a 2(a 2+x 2)+1

2a 3arctan x

a +C ，a ≠0

41. ∫dx

a 2?x 2=1

2a ln |a+x

a?x |+C =1

a arctanh x

a +C ，a ≠0，|a |>|x | 42. ∫dx

(a 2?x 2)2=x

2a 2(a 2?x 2)+1

4a 3ln |x+a

x?a |+C

43. ∫1

x ?a dx =1

2a ln |x?a

x+a |+C =?1

a arccoth x

a +C ，a ≠0，|x |>|a | 44. 22=ln(x +√a 2+x 2)+C

45. ∫2+x 2dx =x

2√a 2+x 2+a 22

ln(x +√a 2+x 2)+C

46. ∫(√a 2+x 2)3

dx =x(√a 2+x 2)

4+3

8a 2x√a 2+x 2+3

8a 4ln(x +√a 2+x 2)+C 47. ∫(√a 2

+x 2)

dx =x(√a 2+x 2)

24a

x(√a 2+x 2)

16a 4x√a 2+x 2+

516

a 6ln(x +√a 2+x 2)+C

48. ∫x(√a 2+x 2)2n+1

dx =

(√a 2+x 2)

2n+3

2n+3+C 49. ∫x

√a 2+x 2dx

8(a 2

+2x

√a 2+x 2

a 48

ln(x +√a 2+x 2)+C

50. ∫x 2(√a 2+x 2)3

dx =

x(√a 2+x 2)

a 2x √a 2+x 2

a 4x √a 2+x 2

?a 6

16ln(x +

√a 2+x 2)+C 51. ∫x

√a 2+x 2dx

(√a 2+x 2)

a 2(√a 2+x 2)

52. ∫x 3(√a 2+x 2)3

dx =(√a 2+x 2)

a 2(√a 2+x 2)

53. ∫x 3(√a 2+x 2)2n+1

dx =

(√a 2+x 2)

2n+5

a 2(√a 2+x 2)

2n+3

54. ∫x

√a 2+x 2dx =

x 3(√a 2+x 2)

a 2x(√a 2+x 2)

a 4x √a 2+x 2

+a 6

16ln(x +

√a 2+x 2)+C 55. ∫x 4(√a 2+x 2)3

dx =

x 3(√a 2+x 2)

a 2x(√a 2+x 2)

a 4x(√a 2+x 2)

3a 6x √a 2+x 2

128

3a 8

128

ln(x +√a 2+x 2)+C 56. ∫x 5√a 2+x 2dx =

(√a 2+x 2)

2a 2(√a 2+x 2)

a 4(√a 2+x 2)

57. ∫x 5

(√a 2+x 2)3

dx =(√a 2+x 2)

2a 2(√a 2+x 2)

a 4(√a 2+x 2)

58. ∫x 5(√a 2+x 2)2n+1

dx =

(√a 2+x 2)

2n+7

2a 2(√a 2+x 2)

2n+5

a 4(√a 2+x 2)

2n+3

59. ∫√a 2+x 2

dx =√a 2+x 2?a ln |

a+√a 2+x 2

|+C =√a 2+x 2?a arcsinh a

x +C 60. ∫(√a 2+x 2)

x dx =(√a 2+x 2)

3+a

√a 2

+x 2

?a 3

ln |

a+√a 2+x 2

|+C

61. ∫(√a 2+x 2)

x dx =(√a 2+x 2)

a 2(√a 2+x 2)3

+a 4√a 2+x 2?a 5ln |a+√a 2+x 2

|+C

62. ∫

(√a 2+x 2)

dx =

(√a 2+x 2)

a 2(√a 2+x 2)

a 4(√a 2+x 2)

+a 6√a 2+x 2?

a 7ln |a+√a 2+x 2

|+C

63. ∫

√a 2+x 2

x 2dx =ln(x +√a 2+x 2)?

√a 2+x 2

64. 2

√

22=?a 22

ln(x +√a 2+x 2)+

x √a 2+x 2

+C =?

a 22

arcsinh x

a +

x √a 2+x 2

65. √22

=?1

a ln |a+√a 2+x 2

|+C =?1a arcsinh a

x +C

66. x 2√a 2+x 2=?

√a 2+x 2a 2x +C ，a ≠0

67. √

=arcsin x

a +C ，a ≠0，|x |≤|a |

68. ∫√a 2?x 2dx =x 2√a 2?x 2+a 22

arcsin x

a +C ，a ≠0，|x |≤|a |

69. ∫√a 2?x 2dx =1

2(x√a 2?x 2?sgn x arccosh |x

a |)+C ，|x |≥|a | 70. ∫2?x 2dx =?(√a 2?x 2)

+C ，|x |≤|a |

71. ∫x 2√a 2?x 2dx =a 48

arcsin x

a ?1

8x√a 2?x 2(a 2?2x 2)+C ，a ≠0 72. ∫√a 2?x 2

x dx =√a 2?x 2

?a ln |

a+√a 2?x 2

|+C ，|x |≤|a |

73. ∫

√a 2?x 2

x 2dx =?arcsin x

a ?√a 2?x 2

x +C ，a ≠0

74. 2√22=

a 22arcsin x

a ?

x √a 2?x 2

+C ，a ≠0，x√a 2?x 2

75. √22

=?1

a ln |a+√a 2?x 2

|+C ，a ≠0

76. x 2√a 2?x 2

√a 2?x 2a 2x

+C ，a ≠0

77. 22

=ln|x +√x 2?a 2|+C 78. ∫√x 2?

a 2dx =x

√x 2?a 2?

a 22

ln|x +√x 2?a 2|+C

79. ∫2

?a 2)

dx =

x(√x 2?a 2)

n+1

?na 2

n+1∫(√x 2?a 2)

n?2

dx ，n ≠?1 循环计

算 80. (√x 2?a 2)

x(√x 2?a 2)

2?n

(2?n )a 2

+n?3(2?n )a 2∫

dx (√x 2?a 2)

n?2

，n ≠2 循环计

算

81. ∫x(√x 2?a 2)n

dx =(√x 2?a 2)

n+2

n+2+C ，n ≠?2 82. ∫x 2

√x 2

?a 2dx =x

(2x 2

√x 2

?a 2

a 48

ln|x +√x 2?a 2|+C

83. ∫

√x 2?a 2

dx =√x 2?a 2?a arcsec |x

a |+C =√x 2?a 2?a arccos |a

x |+

C ，a ≠0 84. √22=√x 2?a 2+C 85. ∫x dx (√x 2?a 2)

=√22

+C 86. ∫x dx (√x 2?a 2)

5=?13(√x 2?a 2)

+C 87. ∫x dx (√x 2?a 2)

7=?

15(√x 2?a 2)

5+C

88. ∫x dx (√x 2?a 2)2n+1=?

(2n?1)(√x 2?a 2)

2n?1

89. ∫

√x 2?a 2

x 2dx =ln|x +

√x 2?a 2|?

√x 2?a 2

x +C

90. 2√22

=a 22

ln|x +√x 2?a 2|+x

2√x 2?a 2+C

91. ∫

x 2(√x 2?a 2)

3dx =√

ln |x+√x 2?a 2

|+C 92. 4√22

x 3√x 2?a 2

4+3

8a 2

x√x 2?

a 2

8a 4

ln |

x+√x 2?a 2

|+C

93. ∫x 4(√x 2?a 2)

3dx =

x √x 2?a 22?2√x 2?a 2

2a 2

ln |

x+√x 2?a 2

a |+C 94. ∫

x 4(√x 2?a 2)

5dx =√

x 2?a

x 33(√x 2?a 2)

3+ln |

x+√x 2?a 2

a |+C

95. ∫

x 2m dx (√x 2?a 2)

2n+1

x 2m?1

(2n?1)(√x 2?a 2)

2n?1

2m?12n?1

∫

x 2m?2(√x 2?a 2)

2n?1

dx +C =

(?1)n?m

a 2(n?m )∑12(m+i )+1(n?m?1i )x 2(m+i )+1(√x 2?a 2)

2(m+i )+1n?m?1

i=0，n >m ≥0

96. ∫dx (√x 2?a 2)

=222

+C 97. ∫

dx (√x 2?a 2)

5=1

a (√

x 33(√x 2?a 2)

)+C

98. ∫

dx (√x 2?a 2)

7=?1

a (√22

?2x 33(√x 2?a 2)3+x 55(√x 2?a 2)5

)+C

99. ∫dx (√x 2?a 2)

9=1a 8(√

x 2?a 2

?2x 33(√x 2?a 2)3

+3x 55(√x 2?a 2)

?x 77(√x 2?a 2)

)+C

100. ∫x 2(√x 2?a 2)

dx =?

x 3

3a 2(√x 2?a 2)

101.

∫

x 2

(√x 2?a 2)

7dx =1

4(x 33(√x 2?a 2)

3?x 55(√x 2?a 2)

)+C

102. ∫

x 2(√x 2?a 2)

dx =?1

a 6(

x 3

3(√x 2?a 2)

?2x 55(√x 2?a 2)

5+x 77(√x 2?a 2)

)+C

103. √22=1

a arcsec |x

a |+C ，a ≠0 104. 2√22=

√x 2?a 2a 2x +C ，a ≠0

105. ∫dx ax +bx+c =√2√24ac ?b 2>0

106.

∫dx

ax 2+bx+c =√b 2?4ac √b 2?4ac =√b 2?4ac |√b 2?4ac

2ax+b+√b 2?4ac |，4ac ?

b 2<0 107. ∫dx

ax +bx+c =?2

2ax+b ，4ac ?b 2=0

108. ∫dx

ax 2+bx+c =1

2a ln |ax 2+bx +c |?b

2a ∫dx

ax 2+bx+c +C

109.

∫mx+n

ax 2+bx+c dx =m

2a ln |ax 2+bx +c |+√2√2+

C ，4ac ?b 2>0 110.

∫mx+n

ax 2+bx+c dx =m

2a ln |ax 2+bx +c |+√2√2+

C，4ac?b2<0

111.∫mx+n

ax2+bx+c dx=m

ln|ax2+bx+c|?2an?bm

a(2ax+b)

+C，4ac?b2=0

112.∫dx

(ax2+bx+c)n =2ax+b

(n?1)(4ac?b2)(ax2+bx+c)n?1

+(2n?3)2a

(n?1)(4ac?b2)

∫dx

(ax2+bx+c)n?1

113.∫x

(ax2+bx+c)n dx=bx+2c

(n?1)(4ac?b2)(ax2+bx+c)n?1

b(2n?3) (n?1)(4ac?b)∫dx

(ax+bx+c)

114.∫dx

x(ax2+bx+c)=1

ln|x2

ax2+bx+c

|?b

∫dx

ax2+bx+c

115.

√ax2+bx+c =

√a

ln|2√a2x2+abx+ac+2ax+b|+C，a>0

116.

√ax2+bx+c =

√a√4ac?b2

+C，a>0，4ac?b2>0

117.

√2=

|2ax+b|+C，a>0，4ac?b2=0

118.

√2=

√?a√2

+C，a<0，4ac?b2<0

119.∫dx

(√ax2+bx+c)3

(4ac?b2)√ax2+bx+c

120.∫dx

(√ax2+bx+c)5

(2)√2

ax2+bx+c

+8a

4ac?b2

)+C

121.∫dx

(√ax2+bx+c)2n+1

=4ax+2b

(2n?1)(4ac?b2)(√ax2+bx+c)2n?1

8a(n?1) (2n?1)(4ac?b2)∫dx

(√ax2+bx+c)

2n?1

+C循环计算

122.

√2=√ax2+bx+c

2a√2

123.∫x dx

(√ax2+bx+c)3

(4ac?b2)√ax2+bx+c

124.∫x dx

(√ax2+bx+c)2n+1

=?1

(2n?1)a(√ax2+bx+c)2n?1

∫dx

(√ax2+bx+c)

2n?1

125.

√2=

√c

(2√acx2+bcx+c2+bx+2c

)+C

126.

√c

(

)+C

127.∫sin2x dx=x

2?sin2x

128.∫√1?sin x dx=∫√cvs x dx=2cos x

+sin x

cos x

?sin x

，√cvs x=2√1+sin x，其中

cvsx是conversine函数

129.∫sin n ax dx=?sin n?1ax cos ax

an +n?1

∫sin n?2ax dx+C

循环计算

130.∫sin ax

x dx=∑(?1)i(ax)2i+1

(2i+1)(2i+1)!

∞

i=0

131.∫sin ax

x dx=?sin ax

(n?1)x

n?1

∫cos ax

132.∫cos n ax dx=1

an cos n?1ax sin ax+n?1

∫cos n?2ax dx+C，n≥2

133.∫cos2x dx=x

2+sin2x

134.∫cos ax

x dx=ln|ax|+∑(?1)i(ax)2i

2i(2i)!

∞

i?1

，n≠1

135.∫cos ax

x n dx=?cos ax

(n?1)x n?1

n?1

∫sin ax

x n?1

dx，n≠1

136.∫sin ax cos ax dx=1

sin2ax

137.∫sin ax sin bx dx=sin[(a?b)x]

2(a?b)?sin[(a+b)x]

2(a+b)

+C，a2≠b2

138.∫sin ax cos bx dx=?cos[(a+b)x]

2(a+b)?cos[(a?b)x]

2(a?b)

+C，a2≠b2

139.∫cos ax cos bx dx=sin[(a?b)x]

2(a?b)+sin[(a+b)x]

2(a+b)

+C，a2≠b2

140.∫sin ax cos ax dx=?cos2ax

+C，a≠0

141.∫sin n ax cos ax dx=sin n+1ax

(n+1)a

+C，a≠0，n≠?1

142.∫cos n ax sin ax dx=?cos n+1ax

(n+1)a

+C，a≠0，n≠?1

143.∫tan ax dx=∫sin ax

cos ax dx=?1

ln|cos ax|+C，a≠0

144.∫cot ax dx=∫cos ax

sin ax dx=1

ln|sin ax|+C，a≠0

145.∫sin n ax cos m ax dx=?sin n?1ax cos m+1ax

a(m+n)

n?1 m+n ∫sin n?2ax cos m ax dx+C=sin n+1ax cos m?1ax

a(m+n)

m?1

n+m

∫sin n ax cos m?2ax dx+C，a≠0，m+n≠0循环计算

146.∫sin ax sin bx dx=x sin(a?b)

2(a?b)?x sin(a+b)

2(a+b)

+C，|a|≠|b|

147.∫dx

sin ax cos ax =1

ln|tan ax|+C

148.∫dx

sin ax cos ax =1

a(n?1)cos ax

+∫dx

sin ax cos ax

，n≠1

149.∫dx

cos ax sin ax =?1

a(n?1)sin ax

+∫dx

cos ax sin ax

，n≠1

150.∫sin axdx

cos ax =1

a(n?1)cos ax

+C，n≠1

151.∫sin2axdx

cos ax =?1

sin ax+1

ln|tan(π

+ax

)|+C

152.∫sin2axdx

cos n ax =sin ax

a(n?1)cos n?1ax

n?1

∫dx

cos n?2ax

，n≠1

153.∫sin n axdx

cos ax =?sin n?1ax

a(n?1)

+∫sin n?2axdx

cos ax

154.∫sin n axdx

cos m ax =sin n+1ax

a(m?1)cos m?1ax

?n?m+2

m?1

∫sin n axdx

cos m?2ax

+C=

?sin n?1ax

a(n?m)cos ax +n?1

n?m

∫sin n?2axdx

cos ax

+C=sin n?1ax

a(m?1)cos ax

n?1 m?1∫sin n?1axdx

cos ax

+C，m≠1，m≠n

155.∫cos axdx

sin n ax =?1

a(n?1)sin n?1ax

156.∫cos2axdx

sin ax =1

(cos ax+ln|tan ax

|)+C

157.∫cos2axdx

sin ax =?1

n?1

(cos ax

a sin ax

+∫dx

sin ax

)+C，n≠1

158.∫cos n axdx

sin ax =?cos n+1ax

a(m?1)sin ax

?n?m?2

m?1

∫cos n axdx

sin ax

+C=cos n?1ax

a(n?m)sin ax

n?1 n?m ∫cos n?2axdx

sin m ax

+C=?cos n?1ax

a(m?1)sin m?1ax

?n?1

m?1

∫cos n?2axdx

sin m?2ax

+C，m≠

1，m≠n

159.∫dx

b+c sin ax =

|√b?c

b+c

tan(π

?ax

)|+C，a≠0，b2>c2

160.∫dx

b+c sin ax =

√22

|c+b sin ax+√c2?b2cos ax

b+c sin ax

|+C，a≠0，b2

161.∫dx

1+sin ax =?1

tan(π

?ax

)+C，a≠0

162.∫dx

1?sin ax =1

tan(π

+ax

)+C，a≠0

163.∫x dx

1+sin ax =x

tan(ax

?π

)+2

ln|cos(ax

?π

)|+C

164.∫x dx

1?sin ax =x

cot(π

?ax

)+2

ln|sin(π

?ax

)|+C

165.∫sin axdx

1±sin ax =±x+1

tan(π

?ax

)+C

166.∫dx

b+c cos ax =

√22

|√b?c

b+c

tan ax

|+C，a≠0，b2>c2

167.∫dx

b+c cos ax =

a√c2?b2

|c+b cos ax+√c2?b2sin ax

b+c cos ax

|+C，a≠0，b2

168.∫dx

1+cos ax =1

tan ax

+C，a≠0

169.∫dx

1?cos ax =?1

cot ax

+C，a≠0

170.∫x dx

1+cos ax =x

tan ax

ln|cos ax

|+C，a≠0

171.∫x dx

1?cos ax =?x

cot ax

ln|sin ax

|+C，a≠0

172.∫cos axdx

1+cos ax =x?1

tan ax

173.∫cos axdx

1?cos ax =?x?1

cot ax

174.∫cos ax cos bx dx=x sin(a?b)

2(a?b)+x sin(a+b)

2(a+b)

+C，|a|≠|b|

175.∫dx

cos ax±sin ax =

√2a

|tan(ax

±π

)|+C

176.∫dx

(cos ax+sin ax)=1

tan(ax?π

)+C

177.∫dx

(cos x+sin x)n =1

n?1

(sin x?cos x

(cos x+sin x)n?1

?2(n?2)∫dx

(cos x+sin x)n?2

)+C

178.∫dx

(cos ax+sin ax)

179.∫cos axdx

cos ax+sin ax =x

ln|sin ax+cos ax|+C

180.∫cos axdx

cos ax?sin ax =x

ln|sin ax?cos ax|+C

181.∫sin axdx

cos ax+sin ax =x

ln|sin ax+cos ax|+C

182.∫sin axdx

cos ax?sin ax =x

ln|sin ax?cos ax|+C

183.∫cos axdx

sin ax(1+cos ax)=?1

tan2ax

ln|tan ax

|+C

184.∫cos axdx

sin ax(1?cos ax)=?1

cot2ax

ln|tan ax

|+C

185.∫sin axdx

cos ax(1+sin ax)=1

cot2(ax

+π

)+1

ln|tan(ax

+π

)|+C

186.∫sin axdx

cos ax(1?sin ax)=1

tan2(ax

+π

)?1

ln|tan(ax

+π

)|+C

187.∫sin ax tan ax dx=1

(ln|sec ax+tan ax|?sin ax)+C

188.∫tan n axdx

sin2ax =1

a(n?1)

tan n?1ax，n≠1

189.∫tan n axdx

cos2ax =1

a(n+1)

tan n+1ax，n≠?1

190.∫cot n axdx

sin ax =1

a(n+1)

cot n+1ax，n≠?1

191.∫cot n axdx

cos ax =1

a(1?n)

tan1?n ax，n≠1

192.∫tan m ax

cot n ax =1

a(m+n?1)

tan m+n?1ax?∫tan m?2ax

cot n ax

dx，m+n≠1

193.∫x sin ax dx=1

a2sin ax?x

cos ax+C，a≠0

194.∫x cos ax dx=cos ax

a2+x sin ax

195.∫x n sin ax dx=?x n

a cos ax+n

∫x n?1cos ax dx，a≠0循

环计算

196.∫x n cos ax dx=x n

a sin ax?n

∫x n?1sin ax dx，a≠0循

环计算

197.∫tan ax dx=?1

ln|cos ax|+C，a≠0

198.∫cot ax dx=1

ln|sin ax|+C，a≠0

199.∫tan2ax dx=1

tan ax?x+C，a≠0

200.∫cot2ax dx=?1

cot ax?x+C，a≠0

201.∫tan n ax dx=tan n?1ax

a(n?1)

?∫tan n?2ax dx，a≠0，n≠1循环计算

202.∫cot n ax dx=?cot n?1ax

a(n?1)

?∫cot n?2ax dx，a≠0，n≠1循环

计算

203.∫dx

tan ax+1=x

ln|sin ax+cos ax|+C

204.∫dx

tan ax?1=?x

ln|sin ax?cos ax|+C

205.∫tan axdx

tan ax+1=x

ln|sin ax+cos ax|+C

206.∫tan axdx

tan ax?1=x

ln|sin ax?cos ax|+C

207.∫dx

1+cot ax =∫tan axdx

tan ax+1

ln|sin ax+cos ax|+C

208.∫dx

1?cot ax =∫tan axdx

tan ax?1

ln|sin ax?cos ax|+C

209.∫sec ax dx=1

a ln|sec ax+tan ax|+C=1

ln|tan(ax

+π

)|，a≠0

210.∫csc ax dx=?1

a ln|csc ax+cot ax|+C=1

ln|tan ax

|+C，a≠0

211.∫sec n ax dx=sec n?2ax tan ax

a(n?1)+n?2

n?1

∫sec n?2ax dx，a≠0，n≠1循环

计算

212.∫csc n ax dx=?csc n?2ax cot ax

a(n?1)+n?2

n?1

∫csc n?2ax dx，a≠0，n≠1循

环计算

213.∫sec n ax tan ax dx=sec n ax

+C，a≠0，n≠0

214.∫csc n ax cot ax dx=?csc n ax

+C，a≠0，n≠0

215.∫dx

sec x+1=x?tan x

216.∫arcsin ax dx=x arcsin ax+1

√1?a2x2+C，a≠0

217.∫x arcsin x

a dx=(x2

?a2

)arcsin x

√c2?x2+C

218.∫x2arcsin x

a dx=x3

arcsin x

+x2+2c2

√c2?x2+C

219.∫x n arcsin x dx=1

n+1(x n+1arcsin x+x n√1?x2?nx n?1arcsin x

n?1

n∫x n?2arcsin x dx)+C

220.∫arccos ax dx=x arccos ax?1

√1?a2x2+C，a≠0

221.∫x arccos x

a dx=(x2

?a2

)arccos x

√a2?x2+C

222.∫x2arccos x

a dx=x3

arccos x

?x2+2a2

√a2?x2+C

223.∫arctan ax dx=x arctan ax?1

ln(1+a2x2)+C，a≠0

224.∫x arctan x

a dx=a2+x2

arctan x

?ax

225.∫x2arctan x

a dx=x3

arctan x

?ax2

+a3

ln a2+x2+C

226.∫x n arctan x

a dx=x n+1

n+1

arctan x

n+1

∫x n+1

a2+x2

dx+C，n≠1

227.∫arccot ax dx=x arccot ax+1

ln(1+a2x2)+C

228.∫x arccot x

a dx=a2+x2

arccot x

+ax

229.∫x2arccot x

a dx=x3

arccot x

+ax2

?a3

ln(a2+x2)+C

230.∫x n arccot x

a dx=x n+1

n+1

arccot x

n+1

∫x n+1

a+x

dx，n≠1

231.∫arcsec ax dx=x arcsec ax+ax

|x|

ln(x±√x2?1)+C

232.∫x arcsec x dx=1

(x2arcsec x?√x2?1)+C

233.∫x n arcsec x dx=1

n+1(x n+1arcsec x?1

[x n?1√x2?1+(1?

n)(x n?1arcsec x+(1?n)∫x n?2arcsec x dx)])+C

234.∫arccsc ax dx=x arccsc ax?ax

|x|

ln(x±√x2?1)+C

235.∫sinh ax dx=1

cosh ax+C

236.∫cosh ax dx=1

sinh ax+C

237.∫sinh2ax dx=1

4a sinh2ax?x

238.∫cosh2ax dx=1

4a sinh2ax+x

239.∫sinh n ax dx=1

an sinh n?1ax cosh ax?n?1

∫sinh n?2ax dx+C，n>

0 =1

a(n+1)sinh n+1ax cosh ax?n+2

n+1

∫sinh n+2ax dx+C，n<0,n≠?1

240.∫cosh n ax dx=1

an sinh ax cosh n?1ax+n?1

∫cosh n+2ax dx，n<

0,n≠?1

241.∫dx

sinh ax =1

ln|tanh ax

|+C=1

ln|cosh ax?1

sinh ax

|+C=1

ln|sinh ax

cosh ax+1

|+C=

1 a ln|cosh ax?1

cosh ax+1

|+C

242.∫dx

cosh ax =2

arctan e ax+C

243.∫dx

sinh ax =cosh ax

a(n?1)sinh ax

?n?2

n?1

∫dx

sinh ax

，n≠1

244.∫dx

cosh ax =sinh ax

a(n?1)cosh ax

+n?2

n?1

∫dx

cosh ax

，n≠1

245.∫cosh n ax

sinh m ax dx=cosh n?1ax

a(n?m)sinh m?1ax

+n?1

n?m

∫cosh n?2ax

sinh m ax

dx=

?cosh n+1ax

a(m?1)sinh m?1ax +n?m+2

m?1

∫cosh n ax

sinh m?2ax

dx+C=?cosh n?1ax

a(m?1)sinh m?1ax

n?1 m?1∫cosh n?2ax

sinh m?2ax

dx+C，m≠n,m≠1

246.∫sinh m ax

cos ax dx=sinh m?1ax

a(m?n)cosh ax

+m?1

m?n

∫sinh m?2ax

cosh ax

dx+C=

sinh m+1ax

a(n?1)cosh n?1ax +m?n+2

n?1

∫sinh m ax

cosh n?2ax

dx+C=sinh m?1ax

a(n?1)cosh n?1ax

m?1 n?1∫sinh m?2ax

cosh n?2ax

dx+C，m≠n,n≠1

247.∫x sinh ax dx=1

a x cosh ax?1

sinh ax+C

248.∫x cosh ax dx=1

a x sinh ax?1

cosh ax+C

249.∫tanh ax dx=1

ln|cosh ax|+C

250.∫coth ax dx=1

ln|sinh ax|+C

251.∫tanh n ax dx=?tanh n?1ax

a(n?1)

+∫tanh n?2ax dx+C，n≠1

252.∫coth n ax dx=?coth n?1ax

a(n?1)

+∫coth n?2ax dx，n≠1

253.∫sinh ax sinh bx dx=a sinh bx cosh ax?b cosh bx sinh ax

a2?b2

254.∫cosh ax cos bx dx=a sinh ax cosh bx?b sinh bx cosh ax

a2?b2

255.∫cosh ax sinh bx dx=a sinh ax sinh bx?b cosh ax cosh bx

a?b

256.∫sinh(ax+b)sin(cx+d)dx=a

a2+c2

cosh(ax+b)sin(cx+d)?

a2+c2

sinh(ax+b)cos(cx+d)+C

257.∫sinh(ax+b)cos(cx+d)dx=a

a2+c2

cosh(ax+b)cos(cx+d)+

a+c

sinh(ax+b)sin(cx+d)+C

258.∫cosh(ax+b)sin(cx+d)dx=a

a+c

sinh(ax+b)sin(cx+d)?

a2+c2

cosh(ax+b)cos(cx+d)+C

259.∫cosh(ax+b)cos(cx+d)dx=a

a2+c2

sinh(ax+b)cos(cx+d)+

a2+c2

cosh(ax+b)sin(cx+d)+C

260.∫arcsinh x

a dx=x arcsinh x

?√x2+a2+C

261.∫arccosh x

a dx=x arccosh x

?√x2?a2+C

262.∫arctanh x

a dx=x arctanh x

ln|a2?x2|+C，|x|<|a|

263.∫arccoth x

a dx=x arccoth x

ln|x2?a2|+C，|x|<|a|

264.∫arcsech x

a dx=x arcsech x

?a arctan

x√a?x

a+x

x?a

+C，x∈(0,a)

265.∫arccsch x

a dx=x arccsch x

+a ln x+√x2+a2

+C，x∈(0,a)

266.∫xe ax dx=e ax

(ax?1)+C，a≠0

267.∫b ax dx=b ax

a lnb

+C，a≠0，b>0，b≠1

268.∫x2e ax dx=e ax(x2

a ?2x

)+C

269.∫x n e ax dx=x n e ax

a ?n

∫x n?1e ax dx，a≠0

270.∫e ax dx

x =ln|x|+∑(ax)i

i·i!

∞

i=1

271.∫e ax dx

x =1

n?1

(?e ax

+a∫e ax

dx)+C，n≠1

272.∫e ax ln x dx=1

e ax ln|x|?Ei(ax)+C

273.∫e ax sin bx dx=e ax

a2+b2

(a sin bx?b cos bx)+C

274. ∫e ax

cos bx dx =e ax

a 2+

b 2(a cos bx +b sin bx )+C 275. ∫e ax sin n

bx dx =e ax sin n?1x a 2+n 2(a sin x ?n cos x )+

n (n?1)a 2+n 2

∫e ax sin n?2x dx

276.

∫e

cos n bx dx =

e ax cos n?1x

a 2+n 2

(a cos x +n sin x )+

n (n?1)a 2+n 2

∫e ax cos n?2x dx

277. ∫xe ax 2

dx =1

2a e ax 2

+C 278. σ√2π?

(x?μ)22σ2

dx =12σ(1+√2σ

279.

∫e x 2dx =e

x 2

(∑a 2j

x 2j+1n?1j=0)

+(2n ?1)a 2n?2∫e x

x 2n dx ，n >0 其中a 2j =

1·3·5···(2j?1)

2j+1

=2j!

j!22j+1+C

280. ∫e ?ax 2

dx ∞?∞=√π

a the Gaussian integral

281. ∫x 2n e ?x 2

a 2

∞0=

√π(2n )!n!

(a 2)2n+1

282. ∫ln ax dx =x ln ax ?x +C

283. ∫(ln x )2dx =x (ln x )2?2x ln x +2x +C 284. ∫(ln ax )n dx =x (ln ax )n ?n ∫(ln ax )n?1dx 285. ∫dx

ln x

=ln |ln x |+ln x +∑(ln x )i i·i!

∞i=2

286. ∫dx (ln x )n =?x

(n?1)(ln x )n?1+1

n?1∫dx

(ln x )n?1+C ，n ≠1 287. ∫x m ln x dx =x m+1(ln x

m+1?1

(m+1)2)+C ，n ≠?1 288. ∫x m (ln x )n dx =x m+1(ln x )n

m+1?n

m+1∫x m (ln x )n?1dx +C ，m ≠?1

289. ∫(ln x )n dx

x =

(ln x )n+1n+1+C ，n ≠?1

290. ∫ln xdx x m =?ln x

(m?1)x m?1?1

(m?1)2x m?1，m ≠1 291. ∫

(ln x )n dx

x =

?(ln x )n

(m?1)x +n

m?1∫(ln x )n?1dx

x ，m ≠1 292. ∫x m dx (ln x )=

?x m+1

(n?1)(ln x )+

m+1

n?1∫x m dx

(ln x )，n ≠1

293.

∫x n (

ln ax

dx =

x n+1(ln ax )m

n+1

n+1∫x n (ln ax )m?1dx ，n ≠?1

294.∫(ln ax)m

x dx=(ln ax)m+1

m+1

+C，m≠?1

295.∫dx

x ln ax

=ln|ln ax|+C

296.∫dx

x ln x =ln|ln x|+∑(?1)i(n?1)i(ln x)i

i·i!

∞

i=1

297.∫dx

x(ln x)=?1

(n?1)(ln x)

，n≠1

298.∫sin(ln x)dx=x

[sin(ln x)?cos(ln x)]+C

299.∫cos(ln x)dx=x

[sin(ln x)+cos(ln x)]+C

300.∫e x(x ln x?x?1

)dx=e x(x ln x?x?ln x)+C

定积分公式表

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.

公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解：（为任意常数）例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：

三角函数常用公式

数学必修4三角函数常用公式及结论、三角函数与三角恒等变换 2 2 2 5、升幕公式 1 ± Sin2 a = (sin a± COS a ) 1 + COS2 a =2 COS a 1- COS2 a = 2 sin a 6、两角和差的三角函数公式 sin ( a±3 ) = sin a COS 3 土 COS a sin 3 COS ( a±3 ) = COS a COS 3 干 sin a sin 3 tan tan tan 1 tan tan 7、两角和差正切公式的变形: tan a± tan 3 = tan ( a±3 ) (1 干 tan a tan 3 ) 2、同角三角函数公式 sin 2 2 . g a + COS a = 1 tan Sin cos 3、二倍角的三角函数公式 sin2 a = 2sin a cos a cos2 2 2 a =2cos a -1 = 1-2 Sin a : 2 2 =COS a - Sin a tan 2 2ta n 1 tan 2 4、 2 CO S 1 cos 2 2 2 1 cos2 sin ------------------ 2 1 tan =tan45 tan = tan ( 1 tan 1 tan 45 tan --- a ) 1 tan 1 tan tan 45 tan 1 tan 45 tan =tan ( — - a ) 4

在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式 . 3.三角形中三内角的三角函数关系（ABC ） O sin A sin （B C ）, cos A cos （B C ）, ta nA tan （B C ）.（注：二倍角的关系） ― A B C A O sin cos( ),cos — 2 2 2 5.几个重要的结论 O A B si nA si nB,cosA cosB ; O 三内角成等差数列 B 600, A C 1200 si n ( n — a ) = sin a, cos ( n — a )= —cos a, tan ( n — a )= —tan a; si n ( n + a ) = — Sin a cos ( n + a ): = —cos a ta n ( n + a )= :tan a sin (2 n — a ) = — sin a cos (2 n — a )= cos a tan (2 n — a )= —tan a si n ( —a ) = — sin a cos ( — a )= cos a ta n ( — a )= -tan a si n ( —a )= cos a cos ( — a )= sin a 2 2 si n ( _+ a ) = cos a cos ( _+ a ) = —sin a 2 2 11.三角函数的周期公式函数y sin( x ) , x € R 及函数y cos( x ),x € R(A, w , 为常数，且 2 A M 0,w> 0)的周期T ;函数 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。 y tan( x ) , x k ,k Z （A, w , 为常数，且 A M 0,3> 0）的周期T —. 2 解三角形知识小结和题型讲解解三角形公式。 1. 正弦定理 a b c si nA si nB si nC 2. 余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bccosA b 2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC 2R （R 是 ABC 的外接圆半径） cos A b 2 2 c 2 a 2bc cosB 2 a 2 c b 2 2ac cosC 2 a b 2 2 c 2ab sin (B C), 2

高数三角函数公式大全

三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin

(完整版)常用函数积分表(增强版)

1.∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx 2.∫(f(x)?g(x))dx=∫f(x)dx?∫g(x)dx 3.∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)?∫g(x)df(x) 4.∫a x dx=a x ln a +C，a≠1，a>0 5.∫x n dx=x n+1 n+1 +C，n≠?1 6.∫1 x dx=ln|x|+C 7.∫e x dx=e x+C 8.∫sin x dx=?cos x+C 9.∫cos x dx=sin x+C 10.∫sec2x dx=tan x+C 11.∫csc2x dx=?cot x+C 12.∫sec x tan x dx=sec x+C 13.∫csc x cot x dx=?csc x+C 14.∫(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a(n+1) +C，a≠0，n≠?1 15.∫dx ax+b =1 a ln|ax+b|+C，a≠0 16.∫x(ax+b)n dx=(ax+b)n+1 a2(ax+b n+2 ?b n+1 )+C，a≠0，n≠?1,?2 17.∫x ax+b dx=x a ?b a2 ln|ax+b|+C，a≠0 18.∫x (ax+b)2dx=1 a2 (ln|ax+b|+b ax+b )+C，a≠0 19.∫x2 ax+b dx=1 2a3 [(ax+b)2?4b(ax+b)+2b2ln|ax+b|]+C 20.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ax+b?2b ln|ax+b|?b2 ax+b )+C 21.∫x2 (ax+b)dx=1 a (ln|ax+b|+2b ax+b ?b2 2(ax+b) )+C 22.∫x2 (ax+b)n dx=1 a3 (?1 (n?3)(ax+b)n?3 +2b (n?2)(ax+b)n?2 ?b2 (n?1)(ax+b)n?1 )+C，n≠

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα cot （π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

三角函数常用公式表

1 1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角； 2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合 { | k 360 ,k Z } （ 3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。 2、弧度制：（ 1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 2）、度数与弧度数的换算： 180 弧度， 1 弧度 (180) 57 18 3）、弧长公式： l | |r 是角的弧度数） x 2 P (x 0 y y ) 2 y sin cos y r x r tan cot y x x y sec csc r x r y + y + y + y + O x O x + O + x （3）、特殊角的三角函数值 sin cos tan 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 10 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 01 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 3 1 3 0 —0 3 3 扇形面积： 0 x 各象限的符号： 3、三角函数 2）、 4式１）平方关系：２）商数关系：倒数关系：３） S 1lr 2 （1）、定义： 2| |r 2 如图) sin 2 cos 2 1 tan sin tan cot cos 1 tan 2 2 sec cot cos sin sin csc 1 cot 2 2 csc cos sec cot 4）同角三角函数的常见变形：活用 1” ) ①、 sin 2 2 cos sin 1 cos 2 2 cos 2 sin cos 1 sin 2 ； ② tan cot cos 2 sin 2 sin cos sin2 2 ， cot tan cos 2 sin 2 sin cos 2cos2 2cot2 sin2

三角函数_反三角函数_积分公式_求导公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理：（1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

三角函数计算公式大全

三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。定义式锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或t g）余切（cot或ct g）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典[1]．函数关系倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②．平方关系：①；②；③．

诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及的三角函数值之间的关系：

记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：

微积分及三角函数公式合集

第一部分：常用积分公式基本积分公式： 1 kdx kx c =+? 2 1 1 x x dx c μμ μ+= ++? 3 ln dx x c x =+? 4 ln x x a a dx c a =+? 5 x x e dx e c =+? 6 cos sin xdx x c =+? 7 sin cos xdx x c =-+? 8 2 21sec tan cos dx xdx x c x ==+? ? 9 221 csc cot sin xdx x c x ==-+?? 10 2 1 arctan 1dx x c x =++? 11 arcsin x c =+ 12 tan ln cos xdx x c =-+? 13 cot ln sin xdx x c =+? 14 sec ln sec tan xdx x x c =++? 15 csc ln csc cot xdx x x c =-+? 16 2211arctan x dx c a x a a =++? 17 22 11ln 2x a dx c x a a x a -=+-+? 18 arcsin x c a =+

19 ln x c =+ 分部积分法公式 1 形如n ax x e dx ?，令n u x =，ax dv e dx = 2 形如sin n x xdx ?令n u x =，sin dv xdx = 3 形如cos n x xdx ?令n u x =，cos dv xdx = 4 形如arctan n x xdx ?，令arctan u x =，n dv x dx = 5 形如ln n x xdx ?，令ln u x =，n dv x dx = 6 形如sin ax e xdx ?，cos ax e xdx ?令,sin ,cos ax u e x x =均可。常用凑微分公式 1. ()()()1 f ax b dx f ax b d ax b a +=++?? 2. ()()()11 f x x dx f x d x μμμμμ-= ?? 3. ()()()1ln ln ln f x dx f x d x x ?=?? 4. ()()()x x x x f e e dx f e d e ?=?? 5. ()()()1ln x x x x f a a dx f a d a a ?= ?? 6. ()()()sin cos sin sin f x xdx f x d x ?=?? 7. ()()()cos sin cos cos f x xdx f x d x ?=-?? 8. ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x ?=?? 9. 2dx f d =? 10.21111()()()f dx f d x x x x =-? ? 11.()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x ?=?? 第二部分：常用微分、导数公式（c=常数） 1、极限

初等函数基本积分公式

初等函数基本积分公式（《应用统计》必备知识，要求记住）(k,C 是常数) (1)C kx kdx +=? (2)C x dx x ++= +?111μμμ (3)C x dx x +=?||ln 1 (4)C e dx e x x +=? (5)C a a dx a x x +=?ln (6)C x xdx +=?sin cos (7)C x xdx +-=?cos sin (8)C x dx x +=?tan cos 12 （9）C x dx x +-=?cot sin 12 （10）C x x x dx x +-=?ln ln (11))1ln(11 22x x dx x ++=+? (12) C a x a x a dx a x ++-=-? ||ln 21122 (13)C x a x a a dx x a +-+=-?||ln 21122 (14)C a x x a x dx +±+=±?)ln(2222 热身练习：1、 =-?-dx x x 222 1 2、6 20(1)x dx +?= 1(2)e x e dx x -?= 3．若a ＝??02x 2d x ，b ＝??02x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 4．已知a ∈[0， π2 ]，则当?a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 5．??-a a (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________. 6.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若???-1 1 f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 8．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则???1 2 f (－x )d x 的值等于 9．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝??1 4 (1＋2x )d x ，则公比等于________． 11.已知f(x)为偶函数且60 ? f (x )d x ＝8，则66-?f (x )d x 等于 12.已知f(x)为奇函数且6 0?f (x )d x ＝8，则66-?f (x )d x 等于 22．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( D ) A ．??a c f (x ) d x B ．|??a c f (x ) d x | C ．??a b f (x )d x ＋??b c f (x ) d x

三角函数公式大全与立方公式

【立方计算公式，不是体积计算公式】完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2）立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差

三角函数定义及其三角函数公式大全

三角函数定义及其三角函数公式汇总 1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A 对边邻边 A C A 90 B 90 ∠ - ? = ∠ ? = ∠ + ∠ 得由B A

6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据： ①边的关系：2 22c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。仰角水平线视线视线俯角 :i h l =h l α

(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 sin （α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin （α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos （α＋β）＝cosαcosβ－s inαsinβ cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ 三角函数公式汇总1 ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=21R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） ⒊余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc A cos b 2 =a 2 +c 2 -2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin = R abc 4=2R 2A sin B sin C sin

角函数反三角函数积分公式求导公式

1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx

三角函数常用公式

数学必修4三角函数常用公式及结论一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 ααcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α αα α2tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan ±=± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=αα tan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=αα tan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π -α) 8

10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π ω=. 解三角形知识小结和题型讲解一、解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2),2sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○2三内角成等差数列00120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径2 222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 2 22 222 cos 2 cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-=

三角函数公式大全(很详细).docx

高中三角函数公式大全[ 图] 1 三角函数的定义三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形 ABC，如下定义六个三角函数：正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数

直角坐标系中的定义图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：正弦函数 r 余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数 2 转化关系倒数关系

平方关系 2和角公式 3倍角公式、半角公式倍角公式半角公式

万能公式 4积化和差、和差化积积化和差公式证明过程

首先， sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos已证α。证明过程见《》）因为 sin( α+β)=sin αcosβ+sin β（cos正弦α和角公式）则 sin( -αβ) =sin[ α-β+( )] =sin α cos(-β )+sin(-β )cos α =sin α cos-sinβ β cos α 于是 sin( -αβ )=sin α cos-sinββ cos（α正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin( α +β )+sin(-β )=2sinα α cos β 则 sin α cos β =sin( α +β )/2+sin(-β（“α积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin( π-/2α)，有 cos( α +β )= sin[ π-/2(α +β )] =sin( π-/2α-β) =sin[(π-α/2 )+(-β )] =sin( π-/2α )cos(-β )+sin(-β )cos( π-α)/2 =cos α cos- βsin α sin β 于是 cos( α +β )=cos α-cossin βα sin（β余弦和角公式）那么 cos( α-β) =cos[ α-+(β )] =cos α cos(-β)-sin α sin(-β) =cos α cos β +sin α sin β cos( α-β )=cos α cos β +sin （α余sin弦β差角公式）将余弦的和角、差角公式相减，得到 cos( α +β)-cos( α-β )=-2sin α sin β

三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法

从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称正弦余弦正切余切正割余割定义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + -

符号与增减变化 Ⅰ+↑+↓+↑+↓+↑+↓ Ⅱ+↓-↓-↑-↓-↑+↑ Ⅲ-↓-↑+↑+↓-↓-↑ Ⅳ-↑+↑-↑-↓+↓-↓1. 三角函数的记忆：对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. 倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. 邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x，