三角函数教材分析解读

第一章 三角函数教材分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础

本章教学时间约用16课时，具体分配如下(仅供参考)：

1.1任意角和弧度制 约2课时

1.2 任意角的三角函数 约3课时

1.3 三角函数的诱导公式 约2课时

1.4 三角函数的图象和性质约4课时

1.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约2课时

1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时

小结与复习 约1课时

一、 内容与要求

(一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用

(二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期对应的规律 第一大节是“任意角和弧度制”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，和换算关系等；

第二大节是“任意角的三角函数”，由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式 第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算. 第四大节是“三角函数的图象和性质”x y sin = ，x ∈

[0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2

π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质

第五大节是“函数y=Asin(ωx+φ) 的图象” 通过图像研究性质. 第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型.

(三)本章的教学要求是：

1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算

2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式

3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，初步掌握其实际应用方法

二、 考点要求

1．理解弧度的定义，并能正确地进行弧度和角度的换算

2．掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，会求)sin(?ω+=x A y 的周期，或者经过简单的能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式

3．了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数)sin(?ω+=x A y 的简图，并能解决正弦、曲线有关的实际问题，初步掌握三角函数模型的实际应用方法

三、考点分析

三角函数是一种重要的初等函数，由于其特殊的性质以及与其他代数、几何知识的密切联系，它既是研究其他各部分知识的重要工具，又是高考考查双基的重要内容之一

本章分两部分，第一部分是三角函数部分的基础，不要求引入难度过高，计算过繁，技巧性过强的题目，重点应放在结知识理解的准确性、熟练性和灵活性上 试题以选择题、填空题形式居多，试题难度不高，常与其他知识结合考查

教学过程中应把握好以下几点：

1．理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来，二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数

2．要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念

3．在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取

4．单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，用三角函数线的数值来代替三角函数值，比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多，因此，三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具

5．要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“标准式”，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性

6．函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小

7．对于具有周期性的函数，在作图时只要先作它在一个周期中的图象，然后利用周期性就可作出整个函数的图象

四、三角函数中应注意的问题

(一)本章内容的重点是：任意角三角函数的概念，同角三角函数间的关系式、诱导公式难点是：弧度制的慨念，综合运用本章公式进行简单三角函数式的化简及恒等式的证明，周期函数的概念，函数)sin(?ω+=x A y 的图象与正弦曲线的关系 由于课时较紧，教学中应遵循大纲所规定的内容和要求，不要随意补充知识点 例如，三角函数基本上只讲正弦、余弦、正切三种；同角三角函数的基本关系式只讲

1cos sin 22=+αα，αα

αtan cos sin =，1cot tan =?αα三个；除απαtan )2tan(=+k （k ∈Z ）外，其余诱导公式中，要求学生记住并能灵活运用的，只是用正弦、余弦表示那几个，以后求tan 0120可通过用科学计算器或者转化为 00120

cos 120sin 来求；在推导正切的和角公式以及画正切函数的图象时，出现了正切的诱导公式，但这只作为推导的中间步骤，不要求学生记忆；积化和差与和差化积公式、半角公式也只是作为和(差)角公式的应用出现一下，结果不要求记忆，更不要求运用；此外，也不要补充“把ααcos sin b a +化成一个角的三角函数的形式”这样的例习题

(二)在讲述弧度制的优点、角度制的不足时，要注意科学性事实上，角的概念推广后，无论用弧度制还用角度制，都能在角的集合与实数集R 及之间建立起一种一一对应的关系说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角的弧度数，或度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的，但每一种对应法则下对应的实数是唯一的所以不要认为只有弧度制才能将角与实数一一对应有的教师认为角度制的计量单位太小，而弧度制的计量单位大，而且可以省略不写，这种说法虽有一定道理，但在科学上并不具有充足的理由，因为小有小的好处，何况坐标系中两条数轴上的单位长度可以不一致关键在于用角度制表示角的时候，我们总是十进制、六十进制并用的，例如角'''0122161其中61、21、12都是十进数，而度、分、秒之间的关系是六十进(退)位的，这样，为了找出与角对应的实数(我们学的实数都是十进数)，要经过一番计算，这就不太方便了

(三)定义了任意角的三角函数以后，严格地说，例如，只有 x y sin =，R x ∈才可以说是正弦函数；六种函数统称三角函数，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数，例如R x x y ∈=,2sin 可以说是2x 的正弦函数(这时可说它是三角函数)，也可以说是正弦函数R t t y ∈=,sin 与正比例函数 R x x t ∈=,2的复合函数，但不能说是x 的正弦函数另一点是函数的定义域，三角函数或与其相关的函数总是附带定义域的，所以教学中不宜随便说(或写)“正弦函数y=sinx ”，需知“函数x y sin =，]2,0[π∈x ”只是正弦函数的一个周期，不要把部分当作整体