高中数学尖子生培优题典专题7.1 直线与方程

高中数学尖子生同步培优题典

专题7.1 直线与方程

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（ ·河南洛阳·高三月考（理））已知实数x ，y 满足()229

34x y -+=

的最小值为（）

A ．

B ．1

C D ．2

2．（ ·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知AB 是圆22

:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线

20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ?的最小值为4，则实数a 的值为（）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

3．（ ·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知圆2

1:0C x y kx y +--=和圆2

2:210C x y ky +--=的公共弦

所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线2mx ny +=的最小值为（）

A ．

B C D ．

4．（ ·河南高三其他（理））已知函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π??

-=-+ ???

，则直线0ax y c ++=的倾斜角为（）

A ．6

B ．

C ．

π D ．

π 5．（ ·江西高三月考（理））已知实数,a b 满足22

(2)(3)2a b ++-=，则对任意的正实数x ，

22()(ln )x a x b -+-的最小值为（）

A ．

B ．8

C ．

D ．18

6．（ ·山西平城·大同一中高三其他（理））已知P 是圆O ：22

1x y +=上的动点，则点P 到直线l ：

0x y +-=的距离的最小值为（）

A ．1

B C ．2

D ．7．（ ·全国高三专题练习）设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，

则m n +的取值范围是（）．

A ．[1

B ．(

)

,113,?-∞++∞?

C ．[2-+

D ．()

,2222,?-∞-++∞?

8．（ ·重庆八中高三月考）过点(),P x y 作圆2

1:1C x y +=与圆()()2

2:211C x y -+-=的切线，切点

分别为,A B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（）

A B ．

C D ．5

9．（ ·河南高三月考（理））已知圆22:((1)1C x y +-=和两点(,0)A t -，(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则t 的取值范围是（） A ．(]

0,2

B ．[]1,2

C ．[]2,3

D ．[]1,3

10．（ ·四川青羊·石室中学高三月考（理））设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB △的一边AB 为圆C

的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（）

B ．

C ．4

D ．11．（ ·河北高三月考）已知斜率存在的直线l 交椭圆C ：22194

x y +=于A ，B 两点，

点P 是弦AB 的中点，

点()1,0M ，且()

0MP MB MA ?-=，1MP =，则直线MP 的斜率为（）．

A ．

B ．

C ．4

D ．34

12．（ ·全国高二课时练习）点(),M x y 在曲线22

:4210C x x y -+-=上运动，

22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则

1a b

++的最小值为（） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

13．（ ·天津西青·高三期末）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，渐近线为12,l l ，点P

在第一象限内且在1l 上，若212

2,,l PF l PF ⊥则双曲线的离心率为（）

A B ．2

C D

14．（ ·湖北省鄂州高中高三期中（理））已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相

交于点P ，线段AB 是圆2

:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．2

15．（2019·江西新余一中高三一模（理））函数()23f x x =-()

A ．3????

B ．[]

1,5

C ．2,3??

D ．3?+?

16．（ ·宁夏兴庆·银川一中高三其他（理））过原点且倾斜角为60°的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦

长为（）

A ．

B ．2

C D

17．（ ·四川青羊·石室中学高二月考（理））已知圆()2

2:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（）

A ．()

0,223,?+

+∞?

B ．[2,2+]

C ．(),0-∞

D ．[

0∞+，

）

二、填空题

18．（ ·河南高三其他（理））已知点()(),20P t t t >在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两条直线分别交抛

物线C 于相异两点A ，B ，若直线PA ，PB 的倾斜角互补，则直线AB 的斜率为________. 19．（ ·六盘山高级中学高三期末（理））当直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈被圆

22:(1)(2)25C x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为____________.

20．（ ·宁夏高三其他（理））已知直线l 经过点P(－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．

21．（2019·江苏苏州·高三月考）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2

14x y a -+-=相交于,A B 两点，且ABC ?为等边三角形，则实数a =________．

22．（ ·江苏高三其他）在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：（x ＋4）2＋（y －a ）2＝16上的两个

动点，且AB ＝若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得PA PB OC +=，则实数a 的值为________． 23．（ ·江苏省如皋中学高三其他）直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使得2

APB π

∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.

三、解答题

24．（ ·重庆八中高三月考）已知动圆过定点(0,2)A ，且在x 轴上截得的弦长为4. （1）求动圆圆心M 的轨迹方程C ；

（2）设不与x 轴垂直的直线l 与轨迹C 交手不同两点()11,P x y ，()22,Q x y .若12

2+=x x ，求证：直线l 过定点.

25．（ ·云南高三月考（理））已知抛物线C ：2

4y x =的焦点为F ，O 为坐标原点．过点F 的直线l 与抛

物线C 交于A ，B 两点．（1）若直线l 与圆O ：2

x y +=

相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与y 轴的交点为D ．且DA AF λ=，DB BF μ=，试探究：λμ+是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

26．（ ·全国高三课时练习（理））已知点(0,5)P 及圆C ：22

412240x y x y ++-+=.

（1）若直线l 过点P 且被圆C

截得的线段长为l 的方程；（2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．

27．（ ·河南中原·郑州一中高三其他（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ?=，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；

（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.

28．（ ·全国高三（理））在平面直角坐标系中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.

（1）求圆C 的方程；

（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值.

29．（ ·西藏日喀则区南木林高级中学高三月考）已知圆C ：()()2

344x y -+-=，直线l 过定点1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；

（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求CPQ ?的面积的最大值，并求此时直线l 的方程．

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专题7.1 直线与方程

姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________

注意事项：

二、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（ ·河南洛阳·高三月考（理））已知实数x ，y 满足()2

34x y -+=

的最小值为（） A ．

B ．1

D ．2

【答案】B

【解析】设(),P x y 为()2

x y -+=

上的任意一点，则点P

0y -=

的距离PM =点P

到原点的距离OP =

．

22sin PM POM OP

=∠，

设圆()2

34x y -+=

与直线y kx =

，解得k =

k =，结合图形可知POM ∠的最小值为30°

，故min

2sin 301=?=，故选：B ．

2．（ ·陕西西安·高新一中高三期末（理））已知AB 是圆22

:1O x y +=的任意一条直径，点P 在直线

20(0)x y a a +-=>上运动，若PA PB ?的最小值为4，则实数a 的值为（）

A ．2

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】C

【解析】()()PA PB PO OA PO OB ?=+?+2||PO OA OB =+?2||1PO =-，

由题得||OP

即点O

=5a ?=. 故选:C.

3．（ ·内蒙古赤峰·高三月考（理））已知圆2

1:0C x y kx y +--=和圆2

2:210C x y ky +--=

的公共弦

所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线2mx ny +=的最小值为（）

A ．

B C D ．

【答案】C

【解析】由圆2

1:0C x y kx y +--=和圆2

2:210C x y ky +--=，可得圆1C 和2C 的公共弦所在的直线方程为()()210k x y y -+-=，

联立2010x y y -=??-=?，解得21x y =??=?

，即点()2,1M

又因为点M 在直线2mx ny +=上，即22m n += ，

又由原点到直线22x y +=的距离为

d =

，

. 故选：C.

4．（ ·河南高三其他（理））已知函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π??

-=-+ ???

，则直线0ax y c ++=的倾斜角为（）

A ．6

B ．

C ．

π D ．

π 【答案】C

【解析】函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π??

-=-

+ ???

，

则()f x 的对称轴为

()326

x x π

π??

-+-+ ???=-，由辅助角公式可知(

)()sin cos ,tan f x x a x x a ??=-=-=，由正弦函数的图像与性质可知，在对称轴处取得最大值或最小值，

则sin cos 66a ππ????-

--= ? ?????

sin cos 66a ππ????---= ? ?????

即122a -

122

a --=

两边同时平方得2

122a ??--=

? ???

，

化简可得(2

0a -=

，即a =

12-=.

0y c ++=，

则直线的斜率为k = 设直线的倾斜角为α，[)0,απ∈，

则tan α=，解得23

πα=，故选：C.

5．（ ·江西高三月考（理））已知实数,a b 满足22

(2)(3)2a b ++-=，则对任意的正实数x ，

22()(ln )x a x b -+-的最小值为（）

．B ．8

．D ．18

【答案】B

【解析】由题意可知，该问题可转化为求圆22(2)(3)2x y ++-=上任意一点到曲线ln y x =上任意一点的距离的最小值的平方，不妨设圆2

(2)(3)2x y ++-=为圆C ，

其圆心为()2,3C -，半径为R =

因为圆外任意一点到圆上一点的距离的最小值为该点到圆心的距离减去半径，所以只需求曲线ln y x =上到圆心()2,3C -距离最小的点为(),A m n ，则点(),A m n 满足曲线ln y x =在点A 处的切线与直线AC 垂直，因为点(),A m n 在曲线ln y x =上，所以ln n m =，令()ln f x y x ==，则()1f x x

'=，则()1f m m

，即曲线ln y x =在点A 处的切线的斜率为1m

，又因为(),ln A m m ，()2,3C -，

所以直线AC 的斜率为3ln 2AC m

k m

--，

所以

3ln 1

12m m m

-?=---，

即2ln 230m m m ++-=，解得1m =，

所以点A 坐标为1,0A ，又因为()2,3C -，

所以

AC =

所以圆C 上任意一点到曲线ln y x =上任意一点的距离的最小值的平方为

(

)

8AC R -==，

所以22()(ln )x a x b -+-的最小值为8. 故选：B

6．（ ·山西平城·大同一中高三其他（理））已知P 是圆O ：22

1x y +=

上的动点，则点P 到直线l ：

0x y +-=的距离的最小值为（）

A ．1

B C

．2

D ．【答案】A

【解析】解：因为圆O ：2

1x y +=的圆心()

0,0O 到直线l ：0x y +-=的距离

2d =

=，且圆的半径等于1，

故圆上的点P 到直线的最小距离为

211d r -=-=

故选：A

7．（ ·全国高三专题练习）设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，

则m n +的取值范围是（

）．

．[1

B ．(

)

,113,?-∞++∞?

．[2-+ D

．(

)

,2222,?-∞-++∞?

【答案】D 【解析】

试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22

(1)+(y 1)=1x --相切,

，即

=++1mn m n ，所以(

+=++14

m n mn m n ≤

，所以+m n 的取值范

围是(,2)-∞-?∞．

8．（ ·重庆八中高三月考）过点(),P x y 作圆2

1:1C x y +=与圆()()2

2:211C x y -+-=的切线，切点

分别为,A B ，若PA PB =，则2

y +的最小值为（）

．

C D ．5

【答案】B

【解析】

如图所示，由圆的切线性质得2222

121,1PA PC PB PC =-=-，又PA PB =，

12PC PC =，所以P 点在线段C 1C 2的垂直平分线上，因为线段C 1C 2的垂直平分线为2

1(1)12

y x =--+，

即522y x =-+

，点(),P x y 在5

y x =-+上，所以点(),P x y 满足方程，所以

()2

2222555152244x x y x x ??++-+ =-+??≥?

=，所以22

x y +的最小值为54，

故选：B.

9．（ ·河南高三月考（理））已知圆22:((1)1C x y +-=和两点(,0)A t -，(,0)(0)B t t >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则t 的取值范围是（） A ．(]

0,2

B ．[]1,2

C ．[]2,3

D ．[]1,3

【答案】D 圆22:((1)1C x y -+-=的圆心)

C ，半径为1，

因为圆心C 到()0,0O 距离为2，

所以圆C 上的点到()0,0O 的距离最大值为3，最小值为1，又因为90APB ∠=，则以AB 为直径的圆和圆C 有交点，可得1

PO AB t =

=，所以有13t ≤≤，故选：D

10．（ ·四川青羊·石室中学高三月考（理））设圆22

:230C x y x +--=，若等边PAB △的一边AB 为圆C

的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（）

B ．

C ．4

D ．【答案】C

【解析】化圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0为（x ﹣1）2+y 2＝4，连接AC ，BC ，设∠CAB ＝θ（0＜θ2

＜

），连接PC 与AB 交于点D ，

∵AC ＝BC ，△P AB 是等边三角形，∴D 是AB 的中点，得PC ⊥AB ，在圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4中，圆C 的半径为2，|AB |＝4cosθ，|CD |＝2sinθ，

∴在等边△P AB 中，|PD

|θ=， ∴|PC |＝|CD |+|PD

|243sin sin πθθθ??

=+=+

≤ ??

4．故选：C ．

11．（ ·河北高三月考）已知斜率存在的直线l 交椭圆C ：22

194

x y +=于A ，B 两点，

点P 是弦AB 的中点，点()1,0M ，且()

0MP MB MA ?-=，1MP =，则直线MP 的斜率为（）．

． B

．C ．43

D ．34

【答案】D

【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，直线AB 的斜率为k ，不妨令0k >，

则22

1122

22194

4x y x y ?+=????+=??两式相减，得()()()()1212121211094x x x x y y y y +-++-=，

所以12001211

2209

4y y x y x x -?+

??=-，所以00490x y k +=，即00

49x k y =-．由()

0MP MB MA ?-=，即0MP AB ?=,可得MP AB ⊥，

又由001MP y k x =

-，所以00

004191MP

x y k k y x ?=-?=--，解得095

x =，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，则4

cos 5

PMH ∠=

，所以3tan 4PMH ∠=

，即34

MP k =-，根据椭圆的对称性，可得直线MP 的斜率为3

±．故选：D ．

12．（ ·全国高二课时练习）点(),M x y 在曲线22

:4210C x x y -+-=上运动，

22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若a ，b R +∈，则

1a b

++的最小值为（） A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A

【解析】曲线2

:4210C x x y -+-=可化为()2

2225x y -+=，表示圆心为()2,0A ，半径为5的

圆．2222

+1212150(6)(6)222t x y x y a x y a =+---=++---，

22(6)(6)x y ++-可以看作点M 到点()6,6N -的距离的平方，圆C 上一点M 到N 的距离的最大值为

5AN +，即点M 是直线AN 与圆C 的离点N 最远的交点，

所以直线AN 的方程为()3

y x =-

-，

由()()22324225

y x x y ?=--???-+=?

，解得1163x y =??=-?或2223x y =-??=?（舍去），

∴当63

x y =??

=-?时，t 取得最大值，且22

max (66)(36)222t a b =++----=，

∴3a b +=， ∴()14a b ++=，

∴

()111111112114141b a a b a b a b a b +????

??+=+++=++≥ ? ???+++????

，当且仅当

1b a a b

+，且3a b +=，即1,2a b ==时等号成立．故选A ．

13．（ ·天津西青·高三期末）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，渐近线为12,l l ，点P

在第一象限内且在1l 上，若212

2,,l PF l PF ⊥则双曲线的离心率为（）

B ．2

【答案】B

【解析】：设双曲线渐近线1l 的方程为b y x a =

， 2l 的方程为b

y x a

=-，则设P 点坐标为(,

x x a

，则直线1PF 的斜率10()b x bx a k x c a x c -==++，直线2

PF 的斜率20

()

b x bx a k x

c a x c -==

--，由21l PF ⊥，则

()1()bx b a x c a ?-=-+，即221()

b x a x

c =+（1）

由22l PF ，则

()bx b a x c a =--，解得2

x c

=（2），

联立（1）（2），整理得：2

23b a

=，

由双曲线的离心率2c e a ===，所以双曲线的离心率为2，故选B.

14．（ ·湖北省鄂州高中高三期中（理））已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相

交于点P ，线段AB 是圆2

:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，则||PA PB +的最大值为（）

A ．

B ．

C ．

D ．2

【答案】D

【解析】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r

，

易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥，

∴

点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，

若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：

∴2PA PB PD +=.

连接CD ，由||AB =易知2

1CD

∴max max

11PD

PC CD =+==，

∴max max

||22PA PB PD

+==.

故选：D.

15．（2019·江西新余一中高三一模（理））函数()23f x x =-()

A ．3????

B ．[]

1,5

C ．2,3??

D ．3?+?

【答案】A

【解析】由()232x 3f x x =-=--2680x x -+-≥，解得[]

2,4.x ∈

令t 23x =-，23x t =--.，即为y =y 23x t =--两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：

由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大.

1=，解得3t =±3t =当直线过点A(4,0)时，2430t ?--=，解得t 5=.

所以t 3??∈??，即() 3f x ??∈??.

故选A.

16．（ ·宁夏兴庆·银川一中高三其他（理））过原点且倾斜角为60°的直线被圆22

40x y y +-=所截得的弦

长为（）

A ．

B ．2

C D

【答案】A

【解析】

由题意可得，直线方程为：tan 603y x ==0y -=，

圆的标准方程为：()2

2222x y +-=，

圆心到直线的距离：1d =

=，

则弦长为：2==. 本题选择A 选项.

点睛：圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-.

17．（ ·四川青羊·石室中学高二月考（理））已知圆()2

2:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是（）

A ．()

0,223,?+

+∞?

B ．[2,2+]

C ．(),0-∞

D ．[

0∞+，

）【答案】D

【解析】圆C （2,0），半径r ，设P （x ，y ），

因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：

P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2，

则：22

(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.