自考 高等数学(工本)公式大全

《高等数学（工本）》公式

第一章 空间解析几何与向量代数

1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-=

2. 向量的投影

3. 数量积与向量积：

向量的数量积公式：设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1?z z y y x x b a b a b a b a ++=? .2?b a ⊥的充要条件是：0=?b a

.3

?b a =∧

)cos(向量的数量积公式：

.1?k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k

j i

b a x y y x z x x z y z z y z

y x

z y x

)()()(-+-+-==?

.2

?=

?sin

.3?b a //的充要条件是0=?b a

4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线

平面方程公式： ),,(o o o o z y x M },,{C B A =

点法式：0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A

直线方程公式： },,{n m l S = ，),,(o o o o z y x M 点向式：n

z z m y y l x x o

o o -=-=-

5. 二次曲面

第二章 多元函数微分学

6. 多元函数的基本概念，偏导数和全微分

偏导数公式：

.1?),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===

x v

v z x u u z x z ????+

????=?? y

v v z y u u z y z ????+????=?? .2?设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?===

dx

dv

v z dx du u z dx dz ??+

??=

.3?设0),,(=z y x F

Fz

Fy

y z Fz

Fx x z -=??-=?? 全微分公式：设),,(y x f z =dy y

z dx x z dz ??+??= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用：二元函数极值 9. 高阶导数

第三章 重积分

10. 二重积分计算公式：.

1???=D

kA kd σ（A 为D 的面积）

.

2??

???

?

?==)

()

()

()

(1212),(),(),(y y c

d

D

x x b

a

dx y x f dy dy y x f dx d y x f ????σ

.

3???

?

?=D

rdr r r f d d y x f )

()

(12)sin ,cos (),(θ?θ?β

α

???σ

11. 三重积分计算公式：

.1?利用直角坐标系计算，Ω为??

?

??≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z )

()()

,(),(2121

?

?

????=Ω

)

,()

,()

()

(2121),,(),,(y x z y x z x y x y b

a

dz z y x f dy dx d z y x f σ

.2?利用柱面坐标计算：Ω为??

?

??===z y r y r x ??sin cos

?

?

????=Ω

)

,()

,()

()

(21212

1

),sin ,cos (),,(??????

??r z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f

.3?利用球面坐标计算：Ω为??

?

??===????

?cos sin sin sin cos r y r y r x

???Ω

dv z y x f ),,(?

??=)

,()

,(2)

()

(

2121sin )cos ,sin sin ,sin cos (???????

?β

α????????r r dr r r r r f d d

12. 重积分的应用公式：

.1?曲顶柱体的体积：??=D

dxdy y x f V ,),(曲面),(:y x f z =∑

.2?设V 为Ω的体积：???Ω

=dv V

.3?设∑为曲面),(y x f z =

曲面的面积为σd f f S D

y x ??

++=

221

第四章 曲线积分与曲面积分

13. 对弧长的曲线积分

（1）若L ：b x a x f y ≤≤=),(，则

??

+=b

a

L

dx x x x f dl y x f )(1)](,[),(2??

（2）若L ：βαψ?≤≤?

??==t t y t x ,)()

(

则

??

'

+'=βα

ψ?ψ?dx t t t t f dl y x f L

)()()](),([),(22

（3）当1),(=y x f 时，曲线L 由B 的弧长为?

=L

dl S 。

14. 对坐标的曲线积分

（1）

终点

起点)()()

(:)](,[),(b B a A x y L dx x x P dx y x P AB b

a

L AB

??==??

（2）[]终点起点

)()()()(:)]()(),(),(βαψ??ψ?βα

B A t y t x L dt t t t P dx y x P AB L AB ?

??=='=??

15. 格林公式及其应用 格林公式：

Qdy Pdx dxdy y P

x Q L

D

+=??-?????)(

其中L 是沿正向取的闭区域的边界曲线。16. 姻亲的种类（P66） 17. 对面积的曲面积分

??

??

++=

∑

Dxy

y x dxdy z z y x z y x f ds z y x f 2

21)],(,,[),,(

∑=),(:y x z z

18. 对坐标的曲面积分

????±=∑

Dxy dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,( 下侧取负号上侧取正号

∑=),(:y x z z

第五章 常微分方程

19. 微分方程基本概念 20. 三类一阶微分方程

(1)一阶线性微分方程：)()(x Q y x p y =+'

通解])([)()(C dx e x Q e

y dx x p dx

x p +=???-

(2)二阶常系数线性齐次微分方程

公式：0=+'+''qy y p y 特征方程：02

=++q pr r

.1?21r r ≠实根：通解为x r x r e c e c y 2121+=

.2?21r r =实根：通解为x r e c c y 1)(21+=

.3?i r βα±=2

1，：通解为)sin cos (21x c c e y x

ββα+= (3) 二阶常系数线性非齐次微分方程

公式：ax

m e x P qy y p y )(=+'+''

通解为*

y y y += y 为对应齐次方程的通解

x m k e x Q x y α)(*= *y 为所求方程的一个特解

0=k ：a 不是特征方程的根 1=k ：a 是特征方程的单根

2=k ：a 是特征方程的重根

第六章 无穷级数

21. 数项级数的基本概念以及基本性质22 22. 数项级数的审敛法

审敛准则公式：.1?比值判别法：??

?

?

?

?

???

=∞><=∑∑∑∞=∞

=∞=+∞→不定

级数发散级数收敛

级数111

1

,1),(1,1lim

n n n n n n n

n n u u u q u u

.2?比较判别法：

1）设n n v u ≤，而

∑∞

=1n n

v

收敛，则

∑∞

=1n n

u

收敛。

2）设n n v u ≥，而

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=1

n n

u

发散。

23. 幂级数以及函数的幂级数展开式

幂级数的收敛半径和收敛区间 公式：.1?收敛半径1

lim +∞→=n n

n a a R

.2?收敛区间：

1）[-R,R] 2）[-R,R ） 3）（-R ，R]

设发散，右边开

收敛，右边闭∑∞

==1

:

n n

n R a R x

发散，左边开

收敛，左边闭）

（∑∞

=--=1

:n n

n R a R x

.3?R x x R x x R x x R x x x x a n n n -=-=-+==--∑∞

=00001

)令（ 幂级数的展开式

公式：.1?+∞<<∞-+++++=x n x x x e n

x

!

!212

.2?+∞<<∞--+-

=x x x x x x !

7!5!3sin 753

.3?+∞<<∞--+-=x x x x x !

6!4!21cos 6

42

.4?114

32)1ln(4

32≤<--+-=+x x x x x x

.

5?11111

32<<-+++=-x x x x x