高考求函数解析式方法及例题
高考求函数解析式方法
及例题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数专题之解析式问题
求函数解析式的方法
把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。
，求f(x)的解，
待定系数法
()f x 22(2)f x -=(2)f x --设二次函数满足且图象在轴上的截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式。
x y ()f x 例题：
解法一、
1222x x a
?
-=
=2248b ac a ∴-=21
()21
2f x x x ∴=++1
c =又1
,2,12a b c =
==解得2
()(0)f x ax bx c a =++≠设(2)(2)f x f x -=--由40
a b -=得
解法二、
(0)1f =41
a k ∴+=12
22x x -=222k a
-∴=1
,12
a k ∴=
=-22
1
()(2)121212
f x x x x ∴=
+-=++()y f x =2
x =-得的对称轴为
(2)(2)f x f x -=--由∴2()(2)f x a x k
=++设
二 【换元法】（注意新元的取值范围）
已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入
))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。
三【配凑法（整体代换法）】
若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的式子，再换元求出)(x f 的式子。
换元法
()
f x 211
(1)(1)1
f x x
+=-22
11
(2)()f x x x x
+=+例题：根据条件，分别求出函数的解析式
2
2
()(1)12f t t t t
∴=--=-1
1t
x
+=（1）解：令1
1t x
=-1t ≠则且2
()2f x x x
=-(1)
x ≠即换元法
2()2f x x ∴=-(2)
x ≥凑配法
x
1x x
+
用
替代式中的
1
2x x
+
≥又考虑到211
()()2f x x x x
+
=+-（2）解：
【例题】已知f(x-1)= 2x -4x ，解方程f(x+1)=0 分析：如何由f(x-1)，求出f(x+1)是解答此题的关键 解1：f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3，∴f(x)=2x -2x-3 f(x+1)=2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4，∴2x -4=0，x=±2
解2：f(x-1)=2x -4x ，∴f(x+1)=f[（x+2)-1]=2)2(+x -4(x+2)=2x -4，∴2x -4=0，x=±2
解3：令x-1=t+1，则x=t+2，∴f(t+1)=2)2(+t -4(t+2)=2t -4 ∴f(x+1)=2x -4，∴2x -4=0，∴x=±2
评注：只要抓住关键，采用不同方法都可以达到目的。 解法1，采用配凑法；
解法2，根据对应法则采用整体思想实现目的； 解法3，采用换元法，
这些不同的解法共同目的是将f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。
【小结：】待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法，其中，待定系数法只适用于已知所求函数类型求其解析式，而换元法与配凑法所依据的数字思想完全相同--整体思想。
四 【消元法】
【构造方程组】（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。
解函数方程组法
1
3()2()f x f x x
+=(0)
x ≠()f x 例题：已知，
求13()2()113()2()f x f x x
f f x x x
?
+=???
?+=??
解：由32()55x f x x
=
-(0)
x ≠解得
Iuytr ·=
76怕见他上网、代入法
1
()f
x x x
=+
1C 1C (2,1)A 2C 2C ()g x 例题：设函数的图象为，关于点对称的图象为，
求对应的函数的表达式。
可以为
()y g x =(,)x y (2,1)A (4,2)x y --()y f x =设图象上任一点，则关于对称点为在上，
解：1
244y x x -=-+
-即1
24
y x x =-+-即
1
()24
g x x x =-+
-(4)x ≠故
题5．若)()()(y f x f y x f ?=+，且2)1(=f ， 求值
)
2004()
2005()3()4()2()3()1()2(f f f f f f f f ++++ . 六．利用给定的特性求解析式.
题6．设)(x f 是偶函数，当x ＞0时， x e x e x f +?=2)(，求当x ＜0时，)(x f 的表达式.
练习6．对x∈R， )(x f 满足)1()(+-=x f x f ，且当x∈[－1，0]时， x x x f 2)(2+=求当x∈[9，10]时)(x f 的表达式.
七．相关点法
题8．已知函数12)(+=x x f ，当点P(x ，y)在y=)(x f 的图象上运动时，点Q(3
,2x y -)在y=g(x)的图象上，求函数g(x).
.
训练例题
(1)已知f （x ＋1）＝x ＋2x ，求f (x )的解析式。
(2)已知f （x ＋
x 1）＝x 3＋x
1
，求f (x )的解析式。 (3)已知函数f （x ）是一次函数，且满足关系式3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f (x )的解析式。
分析：此题目中的“f ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f 及其定义域.
(1)解法一：【换元法】
设t ＝x ＋1≥1，则x ＝t －1，∴x ＝（t －1）2 ∴f （t ）＝（t －1）2＋2（t －1）＝t 2－1（t ≥1） ∴f （x ）＝x 2－1（x ≥1）
解法二：【凑配法】由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1，∴f(x)=2x -1(x≥1)
【评注：】
①f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。
②求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。
(2)∵x 3＋31x ＝（x ＋x 1）（x 2＋21x －1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x 1
）2－3]
∴f （x ＋x 1）＝（x ＋x 1）[（x ＋x
1
）2－3]
∴f （x ）＝x （x 2－3）＝x 3
－3x
∴当x ≠0时，x ＋x 1≥2或x ＋x
1
≤－2
∴f （x ）＝x 3－3x （x ≤－2或x ≥2） (3)设f （x ）＝ax ＋b
则3f （x ＋1）－2f （x －1）＝3ax ＋3a ＋2b ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17 ∴a ＝2，b ＝7 ∴f （x ）＝2x ＋7
评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。