高中数学:定积分与微积分基本定理练习
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高中数学:定积分与微积分基本定理练习
1.定积分??01(3x +e x )d x 的值为( D )
A .e +1
B .e
C .e -1
2
D .e +1
2
解析:??0
1(3x +e x )d x =? ????
32x 2+e x |10=32+e -1=e +12. 2.(河南郑州一模)汽车以v =(3t +2)m/s 做变速运动时,在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( D )
A .5 m
B .11
2 m C .6 m
D .132 m
解析:根据题意,汽车以v =(3t +2)m/s 做变速运动时,汽车在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程s =??
1
2(3t +2)d t =?
??
??3t 22+2t |21=13
2m,故选D .
3.若f (x )=?????
lgx ,x >0,
x +??0a 3t 2d t ,x ≤0,f (f (1))=1,则a 的值为( A )
A .1
B .2
C .-1
D .-2
解析:因为f (1)=lg 1=0,f (0)=??0
a 3t 2d t =t 3|a 0=a 3,所以由f (f (1))=1得a 3
=1,所以a =1.
4.(孝义质检)定义??????a c b d =ad -bc ,如????
??
13 24=1×4-2×3=-2,那么????
????12
x d x 1 3 2)=
( D )
A .6
B .3
C .3
2
D .0
5.(福建省师大附中等校联考)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+b x (a ,b ∈R )的图象如图所示,它与x 轴相切于原点,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为1
12,则a 的值为( C )
A .0
B .1
C .-1
D .-2
解析:f ′(x )=-3x 2+2ax +b . 由题意得f ′(0)=0,得b =0, ∴f (x )=-x 2(x -a ). 由??a
0(x 3-ax 2)d x =?
??
??14x 4-13ax 3|0a =0-a 44+a 43=a 412=1
12,得a =±1.
函数f (x )与x 轴的交点的横坐标一个为0,另一个为A .,根据图形可知a <0,即a =-1. 6.已知函数y =f (x )的图象为如图所示的折线ABC,则, ??-1
1 [(x +1)f (x )]d x 等于( D )
A .2
B .-2,
C .1
D .-1
解析:由题图易知,f (x )=???
-x -1,-1≤x ≤0,
x -1,0<x ≤1,
所以??-1
1 [(x +1)f (x )]d x
=??-10 (x +1)(-x -1)d x +??01(x +1)(x -1)d x =??-10
(-x 2
-2x -1)d x +??0
1(x 2-1)d x =?
????-
13x 3-x 2-x |0-1+? ????13x 3-x |1
=-13-23=-1,故选D .
7.(新疆第一次适应性检测)由曲线y =x 2+1,直线y =-x +3,x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( B )
A .3
B .103
C .7
3
D .83
解析:由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示,
由??? y =x 2+1,y =-x +3,解得??? x =-2,y =5(舍去)或???
x =1,y =2,
即A(1,2),
结合图形可知,所求的面积为??01(x 2+1)d x +12×22=? ????
13x 3+x |10+2=103. 8.(呼和浩特质检)若S 1=??
12x 2d x ,S
2=??12
1x d x ,S 3=??1
2e x
d x ,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( B ) A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 2<S 3<S 1
D .S 3<S 2<S 1
解析:方法一 S 1=13x 3|21=83-13=73
,,S 2=ln x |2
1=ln2<lne =1, S 3=e x |21=e 2-e ≈2.72-2.7=4.59,
所以S 2<S 1<S 3.
方法二 S 1,S 2,S 3分别表示曲线y =x 2,y =1
x ,y =e x 与直线x =1,x =2及x 轴围成的图形的面积,通过作图易知S 2<S 1<S 3.
9.若函数f (x )在R 上可导,f (x )=x 3+x 2f ′(1),则??02f (x )d x =-4__.
解析:因为f (x )=x 3+x 2f ′(1),
所以f ′(x )=3x 2+2xf ′(1).,所以f ′(1)=3+2f ′(1),解得f ′(1)=-3. 所以f (x )=x 3
-3x 2
.,故??02f (x )d x =??0
2(x 3
-3x 2
)d x =? ????
x 4
4-x 3|20=-4. 10.一物体作变速直线运动,其v -t 曲线如图所示,则该物体在12 s ~6 s 间的运动路程为494m .
解析:由题图可知,v (t )=???
??
2t ,0≤t <1,2,1≤t ≤3,
13t +1,3<t ≤6.
由变速直线运动的路程公式,可得
s =???126v (t
)d t =?
??12
12t d t +??132d t +??36? ????13t +1d t
=t 2????
1
12+2t |31+? ??
??16t 2
+t |63=494(m). 所以物体在12 s ~6 s 间的运动路程是49
4 m .
11.设M ,m 分别是f (x )在区间[a ,b]上的最大值和最小值,则m (b -a )≤??a b f (x )d x ≤M (b -a ).根
据上述估值定理可知定积分??-1
2
2
-x 2
d x 的取值范围是????
??
316,3.
解析:因为当-1≤x ≤2时,0≤x 2≤4, 所以1
16≤2-x 2≤1.
根据估值定理得1
16×[2-(-1)]≤?
?-1
22-x 2d x ≤1×[2-(-1)],
即3
16≤??-1
22-x 2d x ≤3.
12.如图,由曲线y =x 2和直线y =t 2(0<t <1),x =1,x =0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是1
4 .
解析:设图中阴影部分的面积为S (t ),
则S (t )=??0t (t 2-x 2)d x +??t
1(x 2-t 2)d x =43t 3-t 2+1
3.
由S ′(t )=2t (2t -1)=0,得t =1
2为S (t )在区间(0,1)上的最小值点,
此时S (t )m in =S ? ??
??12=1
4.
13.(青岛模拟)已知函数f(x)在R 上满足f (π-x )=f (x ),若当0≤x ≤π
2时,f (x )=cos x -1,则当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积为( A )
A .π-2
B .2π-4
C .3π-6
D .4π-8
解析:∵当0≤x ≤π
2时, f (x )=cos x -1,
∴当π2<x ≤π时,0≤π-x <π
2,f (x )=f (π-x )=cos(π-x )-1=-cos x -1, ∴f (x )=?????
cos x -1,0≤x ≤π
2,
-cos x -1,π
2<x ≤π.
所以当0≤x ≤π时,f (x )的图象与x 轴所围成图形的面
14.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为1.2__.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0)得抛物线的函数表达式为y =2
25x 2-2,抛物线与x 轴围成的面积S 1=
15.(郑州调研) ??-1
1 (1-x 2+e x -1)d x =π2+e -1
e -2.
16.(安徽六安第一中学模拟)已知a >0,? ????
a x -x 6展开式的常数项为240,则??-a a (x 2+x cos x +
4-x 2)d x =16
3+2π.
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
一、教学目标:1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理,并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念:函数)(x f 在区间[a ,b ]上的定积分表示为:?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义: (1)当函数f (x )在区间[a ,b]上恒为正时,定积分?b a dx x f )(的几何意义是:y=f (x )与x=a ,x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积,在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f (x )的图象、以及直线x=a ,x= b 之间的各部分的面积代数和,在x 轴上方的面积取正号,x 轴下方的面积取负号. 在图(1)中:0s dx )x (f b a >=?,在图(2)中:0s dx )x (f b a <=?,在图(3)中:dx )x (f b a ?表示 函数y=f (x )图象及直线x=a ,x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注:函数y=f (x )图象与x 轴及直线x=a ,x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(,仅当在区间[a ,b]上f (x )恒正时,其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质,(设函数f (x ),g (x )在区间[a ,b ]上可积) (1)???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ (2)??=b a b a dx x f k dx x kf )()(,(k 为常数) (3)???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( (4)若在区间[a , b ]上,?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论:(1)若在区间[a ,b ]上,??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 (2)??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| (3)若f (x )是偶函数,则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(,若f (x )是奇函数,则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理: 一般地,若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积,则在且 注:(1)若)()('x f x F =则F (x )叫函数f (x )在区间[a ,b ]上的一个原函数,根据
定积分与微积分基本定理练习题及答案
定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·山东日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A .a 定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为 S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积 高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结:大概知道解题方向了,但没有解出来,请老师分析 考查知识点: ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程: 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为(4,2), 因此曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为: 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案:C 规律方法: 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点,确定出积分区间和被积函数,然后利用导数和积分的关 系求解. 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx (0≤x ≤π)与直线y=?围成的封闭图形面积是? 问题症结:找不到突破口,请老师帮我理一下思路 考查知识点: ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程: 规律方法: 利用定积分的知识求解。 知识点:定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点: [导数及其应用] 包含次级知识点: 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解,不能死记硬背。只有理解了定积分的概念,才能理解定积分的几何意义。 2020年全国高考数学 第15讲 定积分和微积分基本定理 考纲解读 1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主,其应用主要是求一个曲边梯形的面积,题型主要为选择题和填空题. 知识点精讲 基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效()f x 在区间[a ,b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<< 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1. a =??02x d x ,b =??02e x d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a 第三节定积分和微积分基本定理 考纲解读 1?了解定积分的实际背景、基本思想及概念 ? 2?了解微积分基本定理的含义 . 命题趋势探究 定积分的考查以计算为主, 其应用主要是求一个曲边梯形的面积, 题型主要为选择题和填空 题? 知识点精讲 一、基本概念 1.定积分的极念 一般地,设函效 f (x )在区间[a , b ]上连续.用分点a = x 0 < x 2< L < x — < x b - a < L < X n 二b 将区间[a,b ]等分成n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x = ), n n 在每个小区间[X i -^X i ]上任取一点\ i =1,2J||,n ,作和式:S^v f(i)C x =: i 二 n b _a f ( i ),当D x 无限接近于0 (亦即n —; ? ?)时,上述和式S n 无限趋近于常数 S , i i n b 那么称该常数S 为函数f (x)在区间[a,b ]上的定积分?记为: S 二 f (x)dx , f (x)为 * a 被积函数,X 为积分变量, 需要注意以下几点: [a, b ]为积分区间,b 为积分上限,a 为积分下限. b (1) 定积分 f(x)dx 是一个常数,即S n 无限趋近的常数S (n 时),称为 a b f (x)dx ,而不是 S n . a (2) 用定义求定积分的一般方法 . b n ? b -^a a f(x)dx 二[imj f i -" a - i n b t 2 b (3)曲边图形面积:S = f x dx ;变速运动路程s 二 v(t)dt ;变力做功S = F(x) dx 2 ?定积分的几何意义 b 从几何上看,如果在区间[a ,b ]上函数f (x )连续且恒有f(x)_0,那么定积分a f x dx 表 示由直线 X =a,x =b(a =b), y =0和曲线y = f (x )所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影 ①分割:n 等分区间[a ,b ];②近似代替:取点 n b — a i ?〔x 」,X i 丨;③求和:、? 口 f(i ); ◎ n ④取极限: 考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1.曲边梯形的面积 (1)曲边梯形:由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法与步骤: ①分割:把区间[a ,b ]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②); ②近似代替:对每个小曲边梯形“以值代曲”,即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②); ③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和; ④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. 2.求变速直线运动的路程 3.定积分的定义和相关概念 (1)如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续,用分点a =x 01-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
高中数学~定积分和微积分基本原理
2020年全国高考数学·第15讲 定积分和微积分基本定理
7.微积分基本定理练习题
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解教学内容
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专题13 定积分与微积分基本定理知识点