第3章 圆的基本性质单元复习例题讲义

第3章圆的基本性质单元复习

3.1 圆

3.1.1 圆

·连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.1.3 弧、弦、圆心角

AB于D，OE⊥AC于E，

，半径为R，

，求证∠AOB=∠BOC=∠COA。

3.1.4 圆周角

1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的

圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这

个圆就叫做多边形的外接圆。

求证：①如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角

，∠ACB的平分线交⊙O于D，

直径所对的圆周角是直角）

（勾股定理）

两个圆周角相等，则所对的弧也相等）

3.2 点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1 点和圆的位置关系

1、若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有：

点P在圆外?d>r；点P在圆上?d=r；点P在圆内?d

（“?”读作“等价于”，表示可以从符号“?”的一端得到另一端）

2、经过已知的两个点的圆的圆心在这两个点的连线段的垂直平分线上。

3、不在同一直线上的三个点确定一个圆，确定方法：作三点的连线段的其中两条的垂直平

分线，交点即为圆心，以圆心到其中一点的距离作为半径画圆即可。

4、若三角形的三个顶点在同一个圆上，那么这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是

三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

5、假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，则假设不正确，故原命题成立，这种证明

3.2.2 直线和圆的位置关系

1、当直线与圆有两个公共点时，叫做这条直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线。

当有一个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

当没有公共点时，叫做直线与圆相离。

2、若⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则有：

4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。

5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线

平分两条切线的夹角。

6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条边的角平分

线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。

分别与三边相切于D、E、F，已知AB=9cm，BC=14cm，

=13-4=9cm

3.2.3 圆和圆的位置关系

1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)）。

其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。

2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)）。

其中(2)叫做外切，(4)叫做内切。

3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)）。

4、r（r），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则

（平行于同一直线的两条直线平行）

（两直线平行，内错角相等）

3.3 正多边形和圆

1、将一个圆分成n段相等的弧，再将弧的端点顺次连接，即可得到圆内接正n边形，这个

圆就叫做正n边形的外接圆。

）

4 m的正六边形，

3、画边长为R的正六边形的方法：

①以R为半径作圆，用量角器画出一个(360°÷6=)60°的圆心角，它对着一段弧，在圆上依

次截取与它相等的弧，得到圆的6等分点，顺次连接即可。

②以R为半径作圆，找圆上一点依次截取等于R的弦，便能六等分圆，连接分点即可。

正多边形补充知识：

1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是

2、设正n 边形的半径为6=60°

③如图，边长∴OP 576≈183.4m 2 点是正三角形ABC 的重心、垂心、内心、外心。

性质：①重心到顶点的距离与到任意一边中点的距离之比为2BCE ，

CEF ， ACF 。

当且仅当三角形为正三角形时，以上四心合一，叫做三角形的中心。

1360°所对的弧长为2πR ） 3) m 2

数学活动——四点共圆的条件：

1、把四个点连成四边形，对角互补。

2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直径。

3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。

4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。

，求证这四个点共圆，并指出圆心在哪里。

都是直角三角形

的两条切线，DE切⊙O于E，交AM、

的函数关系式。