2012年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2012年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 下列命题中，真命题是（ ） A.?x ∈R ，?x 2?1<0 B.?x 0∈R ，x?2
0?+x 0=?1
C.?x ∈R ，x 2
?x +1
4
>0
D.?x 0∈R ，x?2
?+2x 0+2<0
2. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为（ ） A.70 B.60 C.50 D.40
3. （理）(2x ?1
x )4的展开式中的常数项为（ ）
A.?24
B.?6
C.6
D.24
4. 若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（ ）
A.√3
B.2
C.2√3
D.4
5. 若向量a →
，b →
满足|a →
|=1，|b →
|=√2，且a →
⊥(a →
+b →
)，则a →
与b →
的夹角为（ ） A.π
2
B.2π
3
C.3π
4
D.5π
6
6. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是（ ）
A.α⊥β，且m ?α
B.m?//?n ，且n ⊥β
C.α⊥β，且m?//?α
D.m ⊥n ，且n?//?β 7.
若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2+y 2
m =1的离心率为( )
A.√32
B.√5
C.√32或√52
D.√3
2
或√5
8. 定义：F(x,?y)=y x (x >0,?y >0)，已知数列{a n }满足：a n =F(n,2)
F(2,n)(n ∈N ?)，若对任意正整数n ，都有
a n ≥a k (k ∈N ?)成立，则a k 的值为（ ） A.1
2
B.2
C.8
9
D.9
8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
设a ∈R ，且(a +i)2i 为正实数，则a =________．
若圆C 的参数方程为{x =3cos θ+1
y =3sin θ（θ为参数），则圆C 的圆心坐标为________，圆C 与直线x +y ?3=0的
交点个数为________．
在平面直角坐标系xOy 中，将点A(√3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α=________．
如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC =4，PB =8，则
CE =________．
已知函数f(x)=|x|?sin x+1|x|+1
(x ∈R )的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =________．
已知点A(a,?b)与点B(1,?0)在直线3x ?4y +10=0的两侧，给出下列说法： ①3a ?4b +10>0；
②当a >0时，a +b 有最小值，无最大值； ③√a 2+b 2>2；
④当a >0且a ≠1，b >0时，b
a?1的取值范围为(?∞,??5
2)∪(3
4,?+∞)． 其中，所有正确说法的序号是________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)（其中x ∈R ，A >0，ω>0，?π
2
<φ<π
2
）的部分图象如图所示．
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；
(Ⅱ)已知在函数f(x)的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为?1，1，5，求sin ∠MNP 的值．
某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为1
4，1
2；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为1
2，1
4；两人租车时间都不会超过三小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．
如图，矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB?//?NC ，MN ⊥MB ，且MC ⊥CB ，
BC =2，MB =4，DN =3．
（1）求证：AB?//?平面DNC ；
（2）求二面角D ?BC ?N 的余弦值．
已知抛物线C:x 2＝4y ，M 为直线l:y ＝?1上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ．
(Ⅰ)当M 的坐标为(0,??1)时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程； (Ⅱ)证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．
已知函数f(x)=(a +1
a )ln x +1
x ?x(a >1)．
(l)试讨论f(x)在区间(0,?1)上的单调性；
(2)当a ∈[3,?+∞)时，曲线y =f(x)上总存在相异两点P （x 1,?f(x 1)），Q （x 2,?f （x 2 ）），使得曲线y =f(x)在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：x 1+x 2>6
5．
对于数列{a n }(n =1,?2,…,m)，令b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，称数列{b n }为{a n }的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列{C n }:c 1，c 2，c 3，…，c m 是自然数1，2，3，…，m(m >3)的一个排列．
（1）当m =5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C n }；
（2）是否存在数列{C n }，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{C n }，若不存在，请说明理
由．
参考答案与试题解析
2012年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.
【答案】 A
【考点】
命题的真假判断与应用 【解析】
特称命题若判断为真，只需验证即可；全称命题若判断为真，则需进行严格证明，若判断为假，反例验证即可． 【解答】
解：A 、由于x ∈R ，则x 2≥0，进而得到?x 2≤0， 则?x 2?1≤?1<0，故A 为真命题；
B 、由于x 2+x +1=(x +1
2)2+3
4恒为正，则方程x 2+x =?1无实数解，故B 为假命题； C 、当x =1
2时，x 2
?x +1
4=(x ?
12
)2=0，故C 为假命题；
D 、由于x 2+2x +2=(x +1)2+1恒为正，则x 2+2x +2<0无实数解，故D 为假命题． 故答案为A ． 2.
【答案】 B
【考点】
频率分布直方图 【解析】
根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可． 【解答】
解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x ，3x ，4x ，6x ，4x ，x ， 则2x +3x +4x +6x +4x +x =1， 解得x =1
20，
所以前三组数据的频率分别是2
20，3
20，4
20， 故前三组数据的频数之和等于2n 20+
3n 20
+
4n 20
=27，
解得n =60． 故答案为60． 3. 【答案】 D
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
利用二项展开式的通项公式T r+1=(?1)r ?C 4r
?(2x)4?r ?x ?r ，令x 的幂指数为0即可求得答案． 【解答】
解：设(2x ?1
x )4的二项展开式的通项公式为T r+1，
则T r+1=(?1)r ?C 4r
?(2x)4?r ?x ?r
=(?1)r ?C 4r
?24?r ?x 4?2r ， 令4?2r =0，解得r =2．
∴ 展开式中的常数项为T 3=(?1)2?C 42
?22=24． 故选D ． 4.
【答案】 A
【考点】
由三视图求体积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
根据三视图得几何体是底面为边长为2的正三角形，高为1的棱柱；再代入柱体的体积公式计算即可． 【解答】
解：∵ 三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为1．∴ V =s?=1
2×2×√3×1=√3． 故选A 5.
【答案】 C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】
由题意可得a →
?(a →
+b →
)=0，即1+1×√2×cos ，b → >=0，由此求得cos ，b → >的值 即可求得 ， b → >的值． 【解答】 解：由题意可得a → ?(a → +b → )=0， 即a →2 +a → ?b → =0， ∴ 1+1×√2×cos ，b → >=0． 解得cos ，b → >=? √22． 再由 ，b → >∈[0,?π]， 可得 ，b → >=3π4 ， 故选C ． 6. 【答案】 B 【考点】 直线与平面垂直的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：α⊥β，且m ?α?m ?β，或m?//?β，或m 与β相交，故A 不正确； m?//?n ，且n ⊥β?m ⊥β，故B 正确； α⊥β，且m?//?α?m ?β，或m?//?β，或m 与β相交，故C 不正确； 由m ⊥n ，且n?//?β，知m ⊥β不一定成立，故D 不正确． 故选B ． 7. 【答案】 D 【考点】 圆锥曲线的共同特征 等比数列的性质 【解析】 先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a 和b ，则c 可求得，继而求得离心率． 当m <0，曲线为双曲线，求得a ，b 和c ，则离心率可得．最后综合答案即可． 【解答】 解：依题意可知m =±√2×8=±4, 当m =4时，曲线为椭圆， a =2，b =1，则c =√3，e =c a =√32 . 当m =?4时，曲线为双曲线， a =1，b =2，c =√5则，e =√5. 故选D . 8. 【答案】 C 【考点】 利用导数研究函数的单调性 数列递推式 【解析】 根据题意可求得数列{a n }的通项公式，进而求得 a n+1a n ，根据2n 2?(n +1)2=(n ?1)2?2，进而可知当当n ≥ 3时，(n ?1)2?2>0，推断出当n ≥3时数列单调增，n <3时，数列单调减，进而可知n =3时a n 取到最小 值求得数列的最小值，进而可知a k 的值． 【解答】 解：a n =F(n,2) F(2,n)=2n n 2（n∈N?） ， ∴ a n+1a n =2n 2 (n+1)2， ∵ 2n 2?(n +1)2=(n ?1)2?2，当n ≥3时，(n ?1)2?2>0， ∴ 当n ≥3时a n+1>a n ； 当n <3时，(n ?1)2?2 9， 故答案为：8 9 ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【答案】 ?1 【考点】 复数代数形式的混合运算 复数的基本概念 【解析】 由题意知虚部等于0，实部大于0，可求a 的值． 【解答】 解：(a +i)2i =(a 2?1)i +2ai 2=(a 2?1)i ?2a 它是正实数，所以a =?1 故答案为：?1 【答案】 (1,?0),2 【考点】 参数方程与普通方程的互化 直线与圆的位置关系 【解析】 先把圆的参数方程化为普通方程，由方程可得圆心坐标，利用点直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后与半径作比较，由其大小关系可得答案． 【解答】 解：圆C 的普通方程为：(x ?1)2+y 2=9， 所以圆心坐标为(1,?0)， 圆心到直线x +y ?3=0的距离d = √2 =√2，半径为3，且√2<3， 所以圆与直线x +y ?3=0的交点个数为2． 故答案为：2． 【答案】 (?1,√3),√3 【考点】 二倍角的正切公式 直线的倾斜角 【解析】 可设OA → =√3+i ，OB → =OA → ?i ，从而可求得点B 的坐标，由tan α=?√3，利用二倍角的正切可求tan 2α． 【解答】 解：设OA →=√3+i ，∵ 点A(√3,?1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ， ∴ OB → =OA →?i =(√3+i)?i =?1+√3i ， ∴ 点B 坐标为(?1,?√3)； ∵ 直线OB 的倾斜角为α， ∴ tan α=?√3， ∴ tan 2α=2tan α 1?tan 2α= 2×(?√3)1?3 =√3． 故答案为：(?1,?√3)；√3． 【答案】 125 【考点】 与圆有关的比例线段 【解析】 在圆中线段利用由切割线定理求得PA ，进而利用直角三角形PCO 中的线段，结合面积法求得CE 即可． 【解答】 解：∵ PC 是圆O 的切线， ∴ 由切割线定理得： PC 2=PA ×PB ，∵ PC =4，PB =8， ∴ PA =2， ∴ OA =OB =3，连接OC ，OC =3， 在直角三角形POC 中，利用面积法有， ∴ CE = OC×PC PO = 12 5 ． 故填：12 5． 【答案】 2 【考点】 函数奇偶性的性质 函数奇偶性的判断 【解析】 先把函数f(x)= |x|?sin x+1|x|+1 变形为f(x)=1+ ?sin x |x|+1 ，令g(x)= ?sin x |x|+1 ，可判断函数g(x)的奇偶性，据此找到 g(x)的最大值与最小值之间的关系，在有f(x)=1+g(x)，求出f(x)的最大值与最小值之和． 【解答】 解：函数f(x)=|x|?sin x+1|x|+1 可变形为f(x)=1+ ?sin x |x|+1 ， 令g(x)= ?sin x |x|+1 ，则g(?x)=sin x |x|+1 =?g(x)， ∴ g(x)为奇函数． 设当x =a 时，g(x)有最大值g(a)， 则当x =?a 时，g(x)有最小值g(?a)=?g(a) ∵ f(x)=1+g(x)， ∴ 当x =a 时f(x)有最大值g(a)+1， 则当x =?a 时，f(x)有最小值?g(a)+1， 即M =g(a)+1，m =?g(a)+1， ∴ M +m =2. 故答案为：2. 【答案】 ③④ 【考点】 命题的真假判断与应用 【解析】 根据点A(a,?b)与点B(1,?0)在直线3x ?4y +10=0的两侧，我们可以画出点A(a,?b)所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义，逐一分析四个答案．可得结论． 【解答】 解：∵ 点A(a,?b)与点B(1,?0)在直线3x ?4y +10=0的两侧， 故点A(a,?b)在如图所示的平面区域内 故3a ?4b +10<0，即①错误； 当a >0时，a +b >5 2，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x ?4y +10=0的距离为d ，则d = √32+(?4)2 =2，则√a 2+b 2>d =2，故③正确； 当a >0且a ≠1，b >0时， b a?1 表示点A(a,?b)与B(1,?0)连线的斜率 ∵ 当a =0，b =5 2时，b a?1=?5 2，又∵ 直线3x ?4y +10=0的斜率为3 4 故 b a?1 的取值范围为(?∞,??52 )∪(3 4 ,?+∞)，故④正确； 故答案为：③④ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】 （1）由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8． 由T = 2πω =8，得ω=π 4 ． 又 f(1)＝sin (π4 +φ)＝1，且?π2 <φ<π2 ， 所以π 4 +φ=π 2 ，即φ=π 4 ． 所以f(x)＝sin (π4 x +π 4 )． （2）因为f(?1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝?1 所以M(?1,?0)，N(1,?1)，P(5,??1)． 所以|MN|=√5，|PN|=√20，|MP|=√37． 由余弦定理得cos ∠MNP = 2√5×√20 =?35 ． 因为∠MNP ∈[0,?π)，所以sin ∠MNP =4 5． 【考点】 由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】 (Ⅰ)利用最高点确定A 的值，利用周期，确定ω的值，利用最高点的坐标，确定φ的值，即可求函数f(x)的解析式； (Ⅱ)确定点M ，N ，P 的坐标，再利用余弦定理，即可求sin ∠MNP 的值． 【解答】 （1）由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8． 由T = 2πω =8，得ω=π 4． 又f(1)＝sin (π 4+φ)＝1，且?π 2<φ<π 2， 所以π 4+φ=π 2，即φ=π 4． 所以f(x)＝sin (π 4x +π 4)． （2）因为f(?1)＝0，f(1)＝1，f(5)＝?1 所以M(?1,?0)，N(1,?1)，P(5,??1)． 所以|MN|=√5，|PN|=√20，|MP|=√37． 由余弦定理得cos ∠MNP = 2√5×√20 =?35 ． 因为∠MNP ∈[0,?π)，所以sin ∠MNP =45 ． 【答案】 解：（1）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元．… 都付2元的概率为P 1=1 4×1 2=1 8； 都付4元的概率为P 2=1 2×1 4=1 8； 都付6元的概率为P 3=1 4×1 4=1 16； 故所付费用相同的概率为P =P 1+P 2+P 3=5 16．… （2）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12．… P(ξ=4)=1 8；P(ξ=6)=1 4 ×1 4 +1 2 ×1 2 = 516 ； P(ξ=8)=1 4×1 4+1 2×1 4+1 2×1 4=5 16；P(ξ=10)=1 4×1 4+1 2×1 4=3 16； P(ξ=12)=1 4×1 4=1 16． 故ξ的分布列为 所求数学期望Eξ=4×1 8+6×5 16+8×5 16+10×3 16+12×1 16=152 ．… 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 等可能事件的概率 【解析】 （1）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （2）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望． 【解答】 解：（1）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元．… 都付2元的概率为P 1=1 4 ×1 2 =1 8 ； 都付4元的概率为P 2=12×14=1 8； 都付6元的概率为P 3=1 4 ×1 4= 116 ； 故所付费用相同的概率为P =P 1+P 2+P 3=5 16．… （2）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12．… P(ξ=4)=1 8；P(ξ=6)=1 4 ×1 4 +1 2 ×1 2 = 516 ； P(ξ=8)=14 ×14 +12 ×14 +12 ×14 = 5 16 ；P(ξ=10)=14 ×14 +12 ×14 = 3 16 ； P(ξ=12)=14×14=1 16． 故ξ的分布列为 所求数学期望Eξ=4×1 8+6× 516 +8× 516 +10× 316 +12× 116 = 152 ．… 【答案】 解：（1）∵ MB?//?NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，∴ MB?//?平面DNC ． ∵ 四边形AMND 为矩形，∴ MA?//?DN ． 又∵ MA ?平面DNC ，DN ?平面DNC ，∴ MA?//?平面DNC ． ∵ MA 、MB 是平面AMB 内的相交直线， ∴ 平面AMB?//?平面DNC ． 又∵ AB ?平面AMB ，∴ AB?//?平面DNC ． … （2）∵ 平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND ⊥平面MBCN =MN ，DN ⊥MN ， ∴ DN ⊥平面MBCN ， 而MN ⊥NC ，故以点N 为坐标原点，NM 、NC 、ND 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图． 由已知得MC =2√3，∠MCN =30°，易得MN =√3，NC =3． 则D(0,?0,?3)，C(0,?3,?0)，B(√3,?4,?0)． ∴ DC → =(0,?3,??3)，CB → =(√3,?1,?0)． 设平面DBC 的法向量m 1→ =(x,?y,?z)，则 {m 1 → ?CB → =0˙，即{3y ?3z =0 √3x +y =0 令x =?1，则y =z =√3，可得m 1→ =(?1,?√3,?√3)． 又∵ m 2→ =(0,?0,?1)是平面NBC 的一个法向量， ∴ cos < m 1→，m 2→>= |m 1→|? |m 2→ |˙= √21 7． 故所求二面角D ?BC ?N 的余弦值为 √21 7 ．… 【考点】 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】 （1）由线面平行判定定理，可分别证出MB?//?平面DNC 且MA?//?平面DNC ，结合面面平行判定定理，得到平面AMB?//?平面DNC ，结合AB ?平面AMB 可得AB?//?平面DNC ； （2）根据面面垂直的性质定理，证出DN ⊥平面MBCN ，从而得到NM 、NC 、ND 两两互相垂直，因此以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图．分别得到B 、C 、D 的坐标，从而得到向量DC →、CB → 的坐标，利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面DBC 的法向量m 1→ =(?1,?√3,?√3)，结合m 2→ =(0,?0,?1)是平面NBC 的一个法向量，运用空间向量的夹角公式算出m 1→ 、m 2→ 夹角的余弦值为√21 7 ，即得二面角D ?BC ?N 的余弦值． 【解答】 解：（1）∵ MB?//?NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，∴ MB?//?平面DNC ． ∵ 四边形AMND 为矩形，∴ MA?//?DN ． 又∵ MA ?平面DNC ，DN ?平面DNC ，∴ MA?//?平面DNC ． ∵ MA 、MB 是平面AMB 内的相交直线， ∴ 平面AMB?//?平面DNC ． 又∵ AB ?平面AMB ，∴ AB?//?平面DNC ． … （2）∵ 平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND ⊥平面MBCN =MN ，DN ⊥MN ， ∴ DN ⊥平面MBCN ， 而MN ⊥NC ，故以点N 为坐标原点，NM 、NC 、ND 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图． 由已知得MC =2√3，∠MCN =30°，易得MN =√3，NC =3． 则D(0,?0,?3)，C(0,?3,?0)，B(√3,?4,?0)． ∴ DC → =(0,?3,??3)，CB → =(√3,?1,?0)． 设平面DBC 的法向量m 1 → =(x,?y,?z)，则 {m 1→ ?CB →=0˙，即{3y ?3z =0√3x +y =0 令x =?1，则y =z = √3，可得m 1 → =(?1,?√3,?√3)． 又∵ m 2→ =(0,?0,?1)是平面NBC 的一个法向量， ∴ cos < m 1→，m 2 →>= |m 1→|? |m 2→ |˙= √21 7． 故所求二面角D ?BC ?N 的余弦值为 √21 7 ．… 【答案】 （1）当M 的坐标为(0,??1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ?1， 由{x 2=4y y =kx ?1 ，消y 得x 2?4kx +4＝0，（1） 令△＝(4k)2?4×4＝0，解得：k ＝±1， 代入方程（1），解得A(2,?1)，B(?2,?1)， 设圆心P 的坐标为(0,?a)，由|PM|＝|PB|，得a +1＝2，解得a ＝1， 故过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+(y ?1)2＝4； （2）证明：设M(x 0,??1)，由已知得y =x 24 ，y′=1 2 x ， 设切点分别为A(x 1,?x 124 )，B(x 2,?x 224 )， ∴ k MA = x 1 2 ，k MB =x 22 ， 切线MA 的方程为y ?x 124=x 12(x ?x 1)，即y =12 x 1x ?1 4 x 12 ， 切线MB 的方程为y ? x 224 = x 22 (x ?x 2)，即y =1 2x 2x ?1 4x 22， 又因为切线MA 过点M(x 0,??1)， 所以得?1=1 2x 0x 1?1 4x 12 ，① 又因为切线MB 也过点M(x 0,??1)， 所以得?1=1 2x 0x 2?1 4x 22，② 所以x 1，x 2是方程?1=12x 0x ?1 4x 2 的两实根， 由韦达定理得x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝?4， 因为MA → =(x 1?x 0,? x 124 +1)，MB → =(x 2?x 0,? x 224 +1)， 所以MA →?MB → =(x 1?x 0)(x 2?x 0)+( x 124 +1)( x 224 +1) ＝x 1x 2?x 0(x 1+x 2)+x 02 +x 12x 2216+14(x 12+x 22 )+1 ＝x 1x 2?x 0(x 1+x 2)+x 02+ x 12x 2216 +14 [(x 1+x 2)2?2x 1x 2]+1， 将x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝?4代入，得MA → ?MB → =0， 则以AB 为直径的圆恒过点M ． 【考点】 圆的标准方程 圆系方程 【解析】 (Ⅰ)当M 的坐标为(0,??1)时，设过M 切线方程为y ＝kx ?1，与抛物线解析式联立，消去y 得关于x 的一元二次方程，根据题意得到根的判别式的值为0，求出k 的值，代入确定出A 与B 的坐标，设圆心P(0,?a)，由|PM|＝|PB|，列出关于a 的方程，求出方程的解得到a 的值，确定出圆心坐标及半径，写出圆的标准方程即可； (Ⅱ)设M(x 0,??1)，由已知抛物线解析式变形得y =x 2 4 ，求出导函数y′=1 2x ，设出切点A 与B 坐标分别为A(x 1,? x 124 )，B(x 2,? x 224 )，表示出切线MA 与切线MB 的方程，再由切线MA 与MB 过M ，将M 坐标分别代入得到两 个关系式，x 1，x 2是方程?1=1 2x 0x ?1 4x 2的两实根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，再表示出两向量MA → 与MB → ，将表示出两根之和与两根之积代入计算MA → ?MB → 的值为0，即可得到以AB 为直径的圆恒过点M ． 【解答】 （1）当M 的坐标为(0,??1)时，设过M 点的切线方程为y ＝kx ?1， 由{x 2=4y y =kx ?1 ，消y 得x 2?4kx +4＝0，（1） 令△＝(4k)2?4×4＝0，解得：k ＝±1， 代入方程（1），解得A(2,?1)，B(?2,?1)， 设圆心P 的坐标为(0,?a)，由|PM|＝|PB|，得a +1＝2，解得a ＝1， 故过M ，A ，B 三点的圆的方程为x 2+(y ?1)2＝4； （2）证明：设M(x 0,??1)，由已知得y =x 2 4 ，y′=1 2x ， 设切点分别为A(x 1,?x 124 )，B(x 2,?x 224 )， ∴ k MA = x 1 2 ，k MB =x 22 ， 切线MA 的方程为y ? x 124=x 12(x ?x 1)，即y =12x 1x ?1 4x 12 ， 切线MB 的方程为y ? x 224 = x 22 (x ?x 2)，即y =1 2x 2x ?1 4x 22， 又因为切线MA 过点M(x 0,??1)， 所以得?1=1 2x 0x 1?1 4x 12 ，① 又因为切线MB 也过点M(x 0,??1)， 所以得?1=1 2x 0x 2?1 4x 22 ，② 所以x 1，x 2是方程?1=1 2x 0x ?1 4x 2的两实根， 由韦达定理得x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝?4， 因为MA → =(x 1?x 0,? x 124 +1)，MB → =(x 2?x 0,? x 224+1)， 所以MA → ?MB → =(x 1?x 0)(x 2?x 0)+( x 124 +1)( x 224 +1) ＝x 1x 2?x 0(x 1+x 2)+x 02 + x 12x 2216+1 4(x 12+x 22 )+1 ＝x 1x 2? x 0(x 1+x 2)+x 0 2 + x 12x 2216 +1 4[(x 1+x 2)2?2x 1x 2]+1， 将x 1+x 2＝2x 0，x 1x 2＝?4代入，得MA → ?MB → =0， 则以AB 为直径的圆恒过点M ． 【答案】 解：(1)由已知，得x >0，f′(x)= a+1a x ?1 x 2?1=? x 2?(a+1 a )x+1 x 2 =? (x?a)(x?1a ) x 2． 由f′(x)=0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a >1，所以0< 1a <1，且a >1 a ． 所以在区间(0,?1 a )上，f′(x)<0；在区间(1 a ,?1)上，f′(x)>0． 故f(x)在(0,?1a )上单调递减，在(1 a ,?1)上单调递增． 证明：(2)由题意可得，当a ∈[3,?+∞)时，f′(x 1)=f′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)． 即a+ 1a x 1 ?1 x 1 2?1= a+ 1a x 2 ?1x 2 2?1，所以a +1a =1x 1 +1 x 2 = x 1+x 2x 1x 2 ，a ∈[3,?+∞)． 因为x 1，x 2>0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<(x 1+x 22)2 恒成立， 所以1 x 1x 2 >4 (x 1+x 2 )2 ，又x 1+x 2>0，所以a +1 a =x 1+x 2x 1x 2 >4 x 1+x 2 ，整理得x 1+x 2> 4a+ 1 a ， 令g(a)= 4 a+1a ，因为a ∈[3,?+∞)，所以a +1 a 单调递增，g(a)单调递减， 所以g(a)在[3,?+∞)上的最大值为g(3)=6 5， 所以x 1+x 2>6 5． 【考点】 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 (1)求出f′(x)，当x ∈(0,?1)时，解不等式f′(x)>0，f′(x)<0即可． (2)由题意可得，当a ∈[3,?+∞)时，f′(x 1)=f′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)，由此可得a +1 a = x 1+x 2x 1x 2 > 4x 1+x2 ， 从而x 1+x 2> 4 a+1 a ，只要求出 4 a+ 1a 在[3,?+∞)的最大值即可． 【解答】 解：(1)由已知，得x >0，f′(x)= a+1a x ?1 x 2?1=? x 2?(a+1a )x+1 x 2 =? (x?a)(x?1a ) x 2． 由f′(x)=0，得x 1=1a ，x 2=a ．因为a >1，所以0< 1a <1，且a >1 a ． 所以在区间(0,?1 a )上，f′(x)<0；在区间(1 a ,?1)上，f′(x)>0． 故f(x)在(0,?1a )上单调递减，在(1 a ,?1)上单调递增． 证明：(2)由题意可得，当a ∈[3,?+∞)时，f′(x 1)=f′(x 2)(x 1，x 2>0，且x 1≠x 2)． 即 a+ 1 a x 1 ? 1 x 1 2?1= a+ 1a x 2 ? 1 x 2 2?1，所以a + 1a =1x 1 + 1x 2 = x 1+x 2x 1x 2 ，a ∈[3,?+∞)． 因为x 1，x 2>0，且x 1≠x 2，所以x 1x 2<( x 1+x 22)2 恒成立， 所以1 x 1x 2 >4 (x 1+x 2 )2 ，又x 1+x 2>0，所以a +1 a =x 1+x 2x 1x 2 >4 x 1+x 2 ，整理得x 1+x 2> 4a+ 1 a ， 令g(a)= 4 a+1a ，因为a ∈[3,?+∞)，所以a +1a 单调递增，g(a)单调递减， 所以g(a)在[3,?+∞)上的最大值为g(3)=65 ， 所以x 1+x 2>6 5． 【答案】 解：（1）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C n }有两个，即数列3，4，1，5，2； 或数列3，4，2，5，1． … （2）存在数列{C n }，使它的创新数列为等差数列． 设数列{C n }的创新数列为{e n }，(n =1,?2,?3,?4…,m)， 因为e m 是c 1，c 2，c 3，…，c m 中的最大值，所以e m =m ． 由题意知，e k 为c 1，c 2，c 3，…c k 中最大值，所以，e k ≤e k+1，且e k ∈{1,?2,?3,?...,?m}． 若{e n }为等差数列，设其公差为d ，则d =e k+1?e k ≥0且d ∈N ． 当d =0时，{e n }为常数列，又e m =m ，所以数列{e n }为m ，m ，…，m ． 此时数列{C n }是首项为m 的任意一个符合条件的数列． … 当d =1时，因为e m =m ，所以数列{e n }为1，2，…，m ． 此时，数列{c n }为1，2，3，…，m ． … 当d ≥2时，因为e m =e 1+(m ?1)d ≥e 1+(m ?1)2=2m ?2+e 1， 又m >3，e 1 为正整数，所以e m >m ，这与e m =m 矛盾，所以此时{e n }不存在，即不存在{C n }使得它的创新数列为公差d ≥2的等差数列．… 综上，当数列{C n }为以m 为首项的任意一个符合条件的数列，或{C n }为数列1，2，3，…，m 时，它的创新数列为等差数列．… 【考点】 等差数列的性质 【解析】 （1）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C n}有两个． （2）存在数列{C n}，使它的创新数列为等差数列．设数列{C n}的创新数列为{e n}，若{e n}为等差数列，设其公差为d，经过检验，当d=0或1时，存在数列{C n}，使它的创新数列为等差数列． 【解答】 解：（1）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C n}有两个，即数列3，4，1，5，2； 或数列3，4，2，5，1．… （2）存在数列{C n}，使它的创新数列为等差数列． 设数列{C n}的创新数列为{e n}，(n=1,?2,?3,?4…,m)， 因为e m是c1，c2，c3，…，c m中的最大值，所以e m=m． 由题意知，e k为c1，c2，c3，…c k中最大值，所以，e k≤e k+1，且e k∈{1,?2,?3,?...,?m}． 若{e n}为等差数列，设其公差为d，则d=e k+1?e k≥0且d∈N． 当d=0时，{e n}为常数列，又e m=m，所以数列{e n}为m，m，…，m． 此时数列{C n}是首项为m的任意一个符合条件的数列．… 当d=1时，因为e m=m，所以数列{e n}为1，2，…，m． 此时，数列{c n}为1，2，3，…，m．… 当d≥2时，因为e m=e1+(m?1)d≥e1+(m?1)2=2m?2+e1， 又m>3，e1为正整数，所以e m>m，这与e m=m矛盾，所以此时{e n}不存在，即不存在{C n}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．… 综上，当数列{C n}为以m为首项的任意一个符合条件的数列，或{C n}为数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．… 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 【区级联考】北京市东城区2020-2021学年八年级上学期期 末教学统一检测英语试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．My father will come back tomorrow. I’ll meet ________ at the airport. A．her B．you C．him D．them 2．Lu Xun is one of ________ writers of modern China. A．great B．greater C．greatest D．the greatest 3．—Must I come here before 7: 30 tomorrow? —No, you ________. You can come here at 8: 00. A．mustn’t B．needn’t C．can’t D．shouldn’t 4．Tony decided ________ at home because it was raining outside. A．to stay B．staying C．stay D．stayed 5．Sam did ________ in school this year than last year. A．well B．better C．best D．the best 6．A few months ago, a car hit my friend George while he ________ home from school. A．rides B．rode C．was riding D．is riding 7．In Seattle, it rains a lot, ________ bring an umbrella when you go there. A．for B．or C．but D．so 8．—Dad, where is Mum? —She ________ the flowers now. A．is watering B．will water C．watered D．waters 9．Jackie told me not ________ too much noise because the little baby was sleeping. A．make B．to make C．making D．made 10．—What did you do last night? —I ________ a report. A．write B．am writing C．was writing D．wrote 二、完型填空 Go, Rosie, Go! It was another day to jump rope in PE class. Lynn and Mike turned the long rope in big, slow circles. The whole class hurried to get in line to wait for their turn to 11 . Rosie stood at the back of the line and looked worried. 高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 北京市东城区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的． 1．（3分）下列关于x的函数中，是正比例函数的为（） A．y=x2B．y=C．y=D．y= 2．（3分）下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（）A．3cm，4cm，5cm B．2cm，2cm，2cm C．2cm，5cm，6cm D．5cm，12cm，13cm 3．（3分）图中，不是函数图象的是（） A．B． C．D． 4．（3分）平行四边形所具有的性质是（） A．对角线相等 B．邻边互相垂直 C．每条对角线平分一组对角 D．两组对边分别相等 5．（3分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲乙丙丁 平均数（分）92959592方差 3.6 3.67.48.1 要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁 6．（3分）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（） A．1或﹣4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或4 7．（3分）将正比例函数y=2x的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（） A．y=2x﹣1B．y=2x+2C．y=2x﹣2D．y=2x+1 8．（3分）在一次为某位身患重病的小朋友募捐过程中，某年级有50师生通过微信平台奉献了爱心．小东对他们的捐款金额进行统计，并绘制了如下统计图．师生捐款金额的平均数和众数分别是（） A．20，20B．32.4，30C．32.4，20D．20，30 9．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤5B．k≤5，且k≠1C．k＜5，且k≠1D．k＜5 10．（3分）点P（x，y）在第一象限内，且x+y=6，点A的坐标为（4，0）．设△OPA的面积为S，则下列图象中，能正确反映S与x之间的函数关系式的是（） 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标, 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2019-2020学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合 题意的 1．（3分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056 用科学记数法表示为（） A．5.6×10﹣1B．5.6×10﹣2C．5.6×10﹣3D．0.56×10﹣1 2．（3分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、 扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传 人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（） A．B．C．D． 3．（3分）下列式子为最简二次根式的是（） A．B．C．D． 4．（3分）若分式的值为0，则x的值等于（） A．0B．2C．3D．﹣3 5．（3分）下列运算正确的是（） A．b5÷b3=b2B．（b5）2=b7 C．b2?b4=b8D．a?（a﹣2b）=a2+2ab 6．（3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1， 则AC的长为（） A．2B．C．4D． 7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与 ∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条 射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 8．（3分）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（） A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a+b）=a2+ab 9．（3分）如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（） A．AE=EC B．AE=BE C．∠EBC=∠BAC D．∠EBC=∠ABE 10．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）2018年高三数学模拟试题理科
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