电法勘探 勘探 物探

1.1.2 均匀介质中的稳定电流场

一、稳定电流场的性质

（一）稳定电流场中的欧姆定律

在稳定电流场中的任意点上，电流密度矢量j 与电场强度E 在数量上成正比，比例系

数为该点岩石的电阻率，即

σρ==E

j E (1.2.1)

这便是稳定电流场欧姆定律的微分形式。无论介质均匀与否，这个公式都适用。因为在

介质不均匀的情况下，我们总能选取一个足够小的体积元，并将其电阻率看作不变。在各向

同性介质中，ρ为标量。

（二）稳定电流场电流的连续性

对于稳定电流场，包含电流为I 的电流源的任意闭合面的通量表达式为

d s

S Ι?=? j n (1.2.2)

式中S 为包围电流源的闭合曲面，n 为面元的单位法向矢量。如果S 中不包含电流源，上式

成为

d s

S 0?=? j n (1.2.3)

此式是电流连续性的积分表达式。即除去场源点外，流入流出任一闭合面的电流的代数和为

零。它说明在稳定电流场中电流是连续的。其微分形式为

div 0=j (1.2.4)

它表明，电流密度矢量j 沿空间直角坐标系的三个方向的变化率的总和为零。即在稳定电流

场中，不含电源的任一点处不会有正或负电荷的堆积；或者说，电流线总是连续的，不会在

场中无原处消失，也不会无源而生。

（三）稳定电流场的势场性质

从稳定电场的上述性质可知，电流在空间的分布是稳定的，即不随时间而改变。因此，

它和静电场一样是一种势场。在稳定电场中任一点M 处的电位U ，等于将单位正电荷从M

点移到无限远处，电场力所做的功：

d M U ∞

=? E l (1.2.5) 故电场强度与电位有关系：

grad U =-E (1.2.6)

势场是一种无旋场，在地中由导电岩石组成的任一闭合回路中，电流场所做的功恒等于

零，即

d 0L

?=? E l (1.2.7) 上式的微分形式为

rot 0E = (1.2.8)

二、均匀介质中稳定电流场的微分方程及边界条件

由于稳定电流场是势场，它应是标量位的梯度，即

U =-?E (1.2.9) 由(1.2.1)和(1.2.8)式可得

10U ρ?????= ???

(1.2.10)

在电阻率均匀的介质中，ρ为常数，上式变为

20U ?= (1.2.11) 上式称为拉普拉斯方程。

在理论研究中，根据问题的需要，常将拉普拉斯方程转换成为不同坐标系中的表达式。最常用的有：

（1）在直角坐标系(),,x y z 中，

222222

0U U U x y z ???++=??? (1.2.12) （2）在圆柱坐标系(),,r z ?中

2222222110U U U U r r r r z

?????+++=???? (1.2.13) （3）在球坐标系(),,r θ?中

222211sin 0sin sin U U U r r r θθθθθ?

?????????++= ? ?????????? (1.2.14) 稳定电流场的边界条件：

（1）第一类边界条件（极限条件）

当观测点远离点()A I （r →∞）时，0U =。

当观测点离点()A I 点很近（r 0→）时，12I U r

≈

ρπ。 （2）第二类边界条件（地面条件） 110n U j n

?=-=?ρ 即在地面上（除A 点外），电流密度法向量等于零。

（3）衔接边界条件（界面两边ρ为有限值时）

12U U =

12n n j j = 或 121211U U n n

ρρ??=?? 12t t E E = 或 1122t t j j ρρ=

1221

tg tg ρθρθ= 电流密度在分界面上的变化，见图1.2.1。

图 1.2.1 分界面上电流密度折向图

三、均匀大地中的点电流源电场的分布特点

为建立地下直流电场，总是需要将电源两端分别经两个(或两组)电极()A I +和()B I -接地。电流由A 输入地下，通过B 又从地中流出，构成闭合回路。这两个电极称为供电电极。供电电极的尺寸与其到观测点的距离相比很小，以至可以视为两个“点”，因此又称A 、B 为点电流源。如果我们只着眼于把电流输入到地下的A 极，则可以把B 极置于相距很远(可以认为是“无穷远”)的地方，那么A 极附近的电场将不受B 极电场的影响，或影响甚微，可以忽略不计。这时我们就获得了一个点电流源的电场。

（一）地表一个点电流源的电流场

如图1.2.2所示，地下半空间充满电阻率为ρ的均匀各向同性介质。在水平的地表面A 点处有一点电流源I 。求距A 为r 的任一点M 处的电位表达式及电场强度表达式。

图 1.2.2 地面上一个点电源的电场

由于点电源电位分布有球对称性，故对2

0U ?=式采用球坐标形式，并令A 点为原点，则因电位U 与方位角?、极角θ都无关，球坐标拉普拉斯方程简化为 20U r r r ????= ?????

(1.2.15) 对(1.2.15)式用两次积分得

121U C C r

=-+ (1.2.16) 为确定待定系数1C 和2C ，根据第一边界条件，当r →∞时0U =,因此有20C =。另据M 点电流密度

22I

j r π= (1.2.17)

及欧姆定律

1211C E

U j r r ρρρ?????==-=- ? ??????

从而知12I C ρπ

=-，将1C 、2C 代入(1.2.15)式中得 12I U r

ρπ=? (1.2.18) 2

12I E r ρπ=? (1.2.19) 可见，地中点电源电流场的电位、电流密度和电场强度均与供电电流I 成正比，而U 与r 成反比，E 及j 与r 的平方成反比。

（二）地表两个异性点电流源的电流场

如图？？？所示，设点电流源()A I +和()B I -相距2L ，根据电势叠加原理，由（1.2.18）式便可写出A 、B 两电极在M 点的电位

设A 极处的电流强度为I ，M 为地下任意一点，ρ为地下介质的电阻率，AM r =，

则M 点的电位及电场强度为

112AB M I U AM BM ??=- ???

ρπ (1.2.20) 式中AM 、BM 分别为A 到M 和B 到M 的距离。

22112A B I E E E AM BM ρπ??=+=?+? ???

AM BM AM BM （1.2.21） 由（1.2.20）及（1.2.21）式计算的两个点电流源的电位及电场分布如图1.2.3所示。由图可见，靠近电极处电位变化快，即向着A 极方向电位迅速增高，向B 极方向电位迅速降低；AB 中段AB 3

121-处电位变化较慢，其中点处电位为零。在电极附近电位梯度大的地方，电场强度的绝对值也大。AB 中部电位梯度变化不大，电场强度值也变化不大，电流线基本与地表平等，呈现均匀的特点。

图 1.2.3 两个异性点电源的电场

图（b ）和图（c ）中实线为等位线，虚线为电流线

勘探深度概念:

了解电场在深处的分布情况，对于电法勘查来说是十分重要的。为此我们研究电流沿AB 中垂面的分布。在AB 中点O 处，点电源A 、B 产生的电流密度0j 为

0000212A B A I j j j j L

π=+==?

(1.2.22) 而在AB 中垂线上深度为h 处，点源A 、B 产生得电流密度为： 223/21

22cos ()A B A A h h h h h L j j j j j L h απ=+===?+ (1.2.23) 故23/20j 1[1()]

h h j =+ (1.2.24) 当L 一定时，图1.2.4（b ）显示了0/h j j 随h /L 的变化规律。由图可见，随着深度增加，电流密度逐渐减少，在地表浅处()0.3h L =，电流密度减小缓慢，愈往深处，减少愈快。当3h L =时，0 3.2h j j =％。在沿z 轴向下到等于h 并沿走向无限延展的水平层中，通过

AB 中垂面内矩形面的电流为

2223/20()h h IL

dxdz I x y z π∞-∞=++?? 1I

h tg L

π-= (1.2.25) 由（1.2.25）式计算所得之h I L 与h L

的关系曲线见图1.2.4（b ）。当h=2L 时，0.9h I I ≈。说明在地表供电时，地表电流密度最大，且集中于AB 连线附近不太深的范围内。

当深度一定时，图1.2.4（c ）显示了0/h j j 随2L /h 的变化规律。当L=0或∞时，h j =0。存在一个极大值点，令 22

223/2

120()h j h L L L h π?-=?=?+

L =或2AB L ==

即当AB =，h 深度电流密度最大。

电法勘探中，人们是从测量地表电场的分布了解地下情况的。地下目标的存在和分布必须引起地表电场有明显改变才能被发现，因此，必须有较多的电流流入地下。为此应适当选

择电极距，使所要了解的深度上电流密度最大。前面AB =的结论是在均匀无限介质条件下得出。对不均匀介质，问题较复杂，最佳极距与地电断面有关，一般说，要勘查的深度越大，电极距也越大。

图1.2.4 电流密度随深度和电极距的变化（图C 横坐标为h/L ）

根据上述均匀断面电流密度垂向分布的讨论，以及目前电测仪器压制干扰的能力，再考虑电法勘探体积探测的特点，实践中，人们常把/2AB 的深度看作电阻率法的影响深度，而把/4AB 的深度看作勘探深度。并定义：能够在地表产生可靠地异常的最大深度是所用电极排列（或电极距）的勘探深度。而影响深度可以理解为，在该深度上地质体对观测结果有影响，即有异常，但该异常不足以作为可靠异常。在电法规范中规定，大于均方误差3倍的异常方可认为是可靠异常。

上述讨论均属于均匀半空间而言，若地电断面非均匀，电流密度的垂向分布受断面电阻率的影响而发生改变，因而电阻率的差异将影响勘探深度。

（三）电偶极源电流场

如图1.2.5所示，当偶极源在地面时，地中任一点电位为

2cos 22A B I I U m r r r =

-=ππρρθ (1.2.26) 式中：2I m a ρ=π

为偶极源的偶极矩；a 为AB 间的距离。

图 1.2.5 地面偶极源的地下电场计算图

M 点的电场强度可分解为沿向径OM 的r E 和垂直向径方向的E θ：

32cos r U m E r r

?=-

=?θ (1.2.27) 3

1sin U U m E S r r ??=-=-=??θθθ (1.2.28) 于是

E == (1.2.29) 为了解电场在地中分布的方向变化，设E 和r E 的夹角为β，E 和地面夹角为α（βθ=+）便可以写出：

1tg tg 2

r E E ==θβθ ()23tg tg tg 2tg θαβθθ

=+=- 分析上式可见：当2020tg θ-=

，即05444θ'=±≈±?时，2απ=

；若将该θ角记作0θ，则当0θθ＜时，2απ＜

；当0θθ＞时，2απ＞；当=2

θπ时，=0α和π。称0θ为变向角。

图 1.2.6 地面偶极源的地下电流及地面电场分布图

根据电流密度与电场强度的关系可得：

32cos R m j r

=θρ (1.2.30) 3sin m j r =

θθρ (1.2.31)

j = (1.2.32) 可见，电流密度在地中的分布特征与上述电场强度相同。于是，便可作出如图1.2.6（a ）所示的地中电流分布。

当测点M 位于地面时，则有

2

1U m x = (1.2.33) 31E m x

= (1.2.34) 3

1m j x ρ= (1.2.35) 其中坐标原点选在AB 中点。由图1.2.6（b ）看出，电场强度（电流密度也一样）随测点远离偶极源时衰减很快（与3x 成反比），而电位则衰减较慢（与2

x 成反比）。但均较一个点电源的电场衰减快。