ch7弯曲变形
第七章 弯曲变形
7-2 图示外伸梁AC ，承受均布载荷q 作用。已知弯曲刚度EI 为常数，试计算横截面
C 的挠度与转角，。
题7-2图
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座A 与B 的支反力分别为
2
3 ,2qa
F qa F By Ay =
=
AB 段（0≤x 1≤a ）：
12
1
122d d x EI qa x w -=
12
1114d d C x EI
qa x w +-= (a)
1113
1112D x C x EI
qa w ++-
= (b)
BC 段（0≤x 2≤a ）：
2
22
2
222d d x EI q x w -=
23
2226d d C x EI
q x w +-= (c)
2224
2224D x C x EI
q w ++-
= (d)
2. 确定积分常数 梁的位移边界条件为
0 0 11==w x 处，在
(1)
0 11==w a x 处，在
(2)
连续条件为
2121 w w a x x ===处，在
(3)
2
21121d d d d x w x w a x x -===处，在
(4)
由式（b ）、条件（1）与（2），得
01=D ， EI
qa C 123
1=
由条件（4）、式（a ）与（c ），得
EI
qa C 33
2= 由条件（3）、式（b ）与（d ），得
EI
qa D 2474
2-
= 3. 计算截面C 的挠度与转角
将所得积分常数值代入式（c ）与（d ），得CB 段的转角与挠度方程分别为 EI qa x EI q 363
32+
-=2θ
EI
qa x EI qa x EI q w 2473244234
22-
+-= 将x 2=0代入上述二式，即得截面C 的转角与挠度分别为
() 33EI qa C =θ
()↓
-= 2474
EI
qa w C
7-3 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的
大致形状。
题7-3图
解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图7-3。
图7-3
7-6 图示简支梁，左、右端各作用一个力偶矩分别为M 1
与M 2
的力偶。如欲使挠曲轴
的拐点位于离左端l /3处，则力偶矩M 1与M 2应保持何种关系。
题7-6图
解：梁的弯矩图如图7-6所示。
依题意，拐点或M =0的截面，应在3/l x =处，即要求
3
:32:12l l M M =
由此得
122M M =
图7-6
7-7 在图示悬臂梁上，载荷F 可沿梁轴移动。如欲使载荷在移动时始终保持相同的
高度，则此梁应预弯成何种形状。设弯曲刚度EI 为常数。
题7-7图
解：在位于截面x 的载荷F 作用下，该截面的挠度为
()↓-= 3)(3
EI
Fx x w
因此，如果将梁预弯成
EI
Fl x w 3)(3
= 的形状，则当载荷F 沿梁轴移动时，载荷始终保持同样高度。
7-8 图示悬臂梁，弯曲刚度EI 为常数。在外力作用下，梁的挠曲轴方程为
3ax w =
式中，a 为已知常数。试画梁的剪力与弯矩图，并确定梁所承受的载荷。
题7-8图
解：1. 内力分析
EIax x
w
EI M 6d d 22==
EIa x
M
F 6d d S ==
梁的剪力、弯矩图如图7-8所示。
图7-8
2. 外力分析
0d d 2
2==x M q
在区间A ＋B －内，由上式与剪力、弯矩图的连续性可知，在该区间内既无分布载荷，也无集中载荷。
由剪力、弯矩图可知，截面B －的剪力与弯矩分别为
EIa F B 6-S,= EIal M B 6=-
在梁端切取微段B －B ，并研究其平衡，得作用在截面B 的集中力与集中力偶矩分别为
EIa F 6= （）
EIal M 6e = （）
7-9 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。试用奇异函数法计算截面B 的转角与截面C
的挠度。
题7-9图
(a)解：1.求支反力
由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得
)( 2 )( 2↓=↑=
a
M F a M F e By e Ay ， 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
e e 2a x M x a
M M --=
挠曲轴的通用近似微分方程为
0e e 222d d a x M x a M x
w EI --=
将其相继积分两次，得 C a x M x a M x w EI
+--=e 2
e 4d d (a)
D Cx a x M x a M EIw ++--=2
e 3e 212
(b)
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在0=x 处，0=w (c)
在a x 2=处，0=w
(d)
将条件(c)代入式(b)，得
0=D
将条件(d)代入式(b)，得
12
e a
M C -
=
4．建立挠曲轴方程
将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
]12
212[1e 2
e 3e x a M a x M x a M EI w ---=
由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为 )12
12(1e 3e 1x a
M x a M EI w -=
]12
)(212[1e 2e 3e 2x a M a x M x a M
EI w ---=
5．计算C w 和B θ
将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为
0=C w
将以上所得C 值和a x 2=代入式(a)，得截面B 的转角为
EI
a M a M a M a a
M EI θB 12)1244(1e e e 2
e -=--= )(
(b)解：1.求支反力
由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得
)(4
1
)(43↑=↑=qa F qa F By Ay ，
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
2
22
243a x q x q x qa M -+-=
挠曲轴的通用近似微分方程为
2
2222243d d a x q x q x qa x
w EI -+-=
将其相继积分两次，得 C a x q x q x qa x w EI
+-+-=3
326683d d (a)
D Cx a x q x q x qa EIw ++-+-=4
4324248
(b)
3．确定积分常数
梁的位移边界条件为： 0 0==w x 处，在 (c)
0 2==w a x 处，在
(d)
将条件(c)与(d)分别代入式(b)，得
16
303
qa C D -==， 4．建立挠曲轴方程
将所得C 与D 值代入式(b),得挠曲轴的通用方程为
]16
324248[134
43x qa a x q x q x qa EI w --+-=
由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为
)16
3248(13
431x qa x q x qa EI w --=
]16
3)(24248[13
4432x qa a x q x q x qa EI w --+-= 5．计算C w 和B θ
将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为
)(4854
↓-=EI
qa w C
将以上所得C 值和a x 2=代入式（a ），得截面B 的转角为
)( 487]163)2(6)2(6)2(83[133
332?EI
qa qa a a q a q a qa EI θB =--+-= (c)解：1.求支反力 由梁的平衡方程∑=0y
F
和∑=0A M ，得
)( 2
1
)( Fa M F F A Ay =↓=，
2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
a x F a x Fa Fx Fa M 22
320
-+-+-=
挠曲轴的通用近似微分方程为
a x F a x Fa Fx Fa x
w EI 2232d d 022-+-+-=
将其相继积分两次，得
D
Cx a x F a x Fa x F x Fa EIw C a x F a x Fa x F x Fa x w EI
++-+-+-=+-+-+-=3
2322
226
436422
2322d d
(b)
(a)
3．确定积分常数 该梁的位移边界条件为： 0 0==w x 处，在 (c)
0d d 0==
=x
w
x θ处，在 (d)
将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得
00==C D ，
4．建立挠曲轴方程
将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
]26
4364[13232a x F a x Fa x F x Fa EI w -+-+-=
由此得AC 段、CD 段和DB 段的挠曲轴方程依次为
]
)2(6)(4364[1])(4364[1 )64(1 3232323223
21a x F a x Fa x F x Fa EI w a x Fa
x F x Fa EI w x F x Fa EI w -+-+-=-+-=-=
5．计算w C 和B θ
将a x =代入上述1w 或2w 的表达式中，得截面C 的挠度为
)( 123
↑=EI
Fa w C
将以上所得C 值和a x 3=代入式(a)，得截面B 的转角为
)( 2])(2)2(23)3(2)3(2[122
2 EI
Fa a F a Fa a F a Fa EI θB =++-=
(d)解：1.求支反力
由梁的平衡方程0=∑B M 和0=∑y F ，得
)( 12
11 )( 127↑=↑=
qa F qa F By Ay ， 2．建立挠曲轴近似微分方程并积分
自A 向右取坐标x ，由题图可见，弯矩的通用方程为
3
366127a x a
q x a q x qa M -+-=
挠曲轴的通用近似微分方程为
3
32266127d d a x a q x a q x qa x
w EI -+-=
将其相继积分两次，得 C a x a q x a q x qa x w EI
+-+-=4
422424247d d (a)
D Cx a x a q x a q x qa EIw ++-+-=5
53120120727
(b)
3．确定积分常数 梁的位移边界条件为： 在0=x 处， 0=w (c)
在a x 2=处， 0=w
(d)
将条件(c)代入式(b)，得
0=D
将条件(d)代入式(b)，得
3
720
187qa C -
= 4．建立挠曲轴方程
将所得C 与D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
]720
187120120727[13
553x qa
a x a q x a q x qa EI w --+-=
由此得AC 段与CB 段的挠曲轴方程分别为 )720
187120727(13
531x qa x a q x qa EI w --=
]720
187)(120120727[13
5532x qa a x a q x a q x qa EI w --+-= 5．计算C w 和B θ
将a x =代入上述21w w 或的表达式中，得截面C 的挠度为
)(
240414
↓-=EI
qa w C
将以上所得C
值和a x 2=代入式(a)，得截面B 的转角为
)( 720203]72018724124162447[33?EI
qa EI qa θB =-+-?=
7-10 图示各梁，弯曲刚度EI 均为常数。试用叠加法计算截面B 的转角与截面C 的
挠度。
题7-10图
(a)解：由F 产生的位移为
)( 48 )( 163
121↓==EI
Fl w EI Fl θC B ，?
由e M 产生的位移为
)( 16 )( 32
e 2e 2↓==EI
l M w EI l M θC B ，?
应用叠加法，得截面B 的转角及截面C 的挠度分别为
)
( 1648)
( 316 2e 3
21e 221↓+=+=+=+=EI
l M EI Fl
w w w EI
l M EI Fl θθθC C C B B B ? (b)解：AB 梁段及BC 梁段的受力情况示如图7-10b(1)和(2)。
图7-10b
由图(1)可得截面B 的转角为
)( 4)2)(2(12
?EI
Fl l Fl EI θB ==
由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面C 的挠度为
)( 481124816)2(3
3333↑=++=++=EI
Fl EI Fl EI Fl EI Fl w l θw w C B B C
(c)解：AB 梁段及BC 梁段的受力情况示如图7-10c(1)和(2)。
图7-10c
由图(1)可得截面B 的转角为
)4(24)2(3242223a b EI
qb qa EI b EI qb θB -=-=
由图(1)和图(2)，应用叠加法得截面C 的挠度为
)3b 4(248)4(2432342
22a a b EI
qa EI qa a b EI qab w a θw C B C --=--=+?=
(d)解：求B θ时可以书中附录E 的7号梁为基础，以x 代替a ，以q (x )d x 代替F ，写出B
端截面的微转角
x lEI
x q x l x B d 6)()(d 22-=θ (a)
式中，q (x )为截面x 处的载荷集度，其值为
x l
q x q 0
)(=
(b) 将式(b)代入式(a)后两边积分，即得截面B 的转角为
)( 45d 6)(3
0022220
?EI
l q x EI l x l x q l B =
-=?
θ
求w C 可以教材附录E 中8号梁为基础，所求截面C 的挠度为表中所列δ的一半，即
)( 768521
40↓-==EI
l q δw C
7-12 图示外伸梁，两端承受载荷F 作用，弯曲刚度EI 为常数。试问：
(a) 当x / l 为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等； (b) 当x / l 为何值时，梁跨度中点的挠度最大。
题7-12图
解：在端点力偶矩M e 作用下，跨度为a 的简支梁的中点挠度为
EI
a M w C 162
e =
将梁端载荷F 简化到截面D 与G ，得简支梁DG 的受力如图b 所示,梁端各作用一附加力偶矩
Fx 。根据上述公式，简支梁DG 中点的挠度为
()
↑-=-= 8)2(16)2(22
2EI
x l Fx EI x l Fx f C
(a)
在上述二力偶矩作用下，截面D 的转角为
EI
x l Fx EI x l Fx EI x l Fx D 2)
2(6)2(3)2(-=
-+-=
θ （） 所以，外伸梁端点A 的挠度为
()
↓-+=+= 2)2(3333x EI
x l Fx EI Fx x EI Fx f D A θ
(b)
为使梁跨度中点C 与梁端A 的挠度数值相等，即使 x EI
x l Fx EI Fx EI x l Fx 2)
2(38)2(32-+=-
得
l x 152.0=
为使梁跨度中点C 的挠度最大，由式（a ），并令
()
01288d d 2=+-=x lx EI
F
x f C 得
6
l x =
7-14 图示各刚架，各截面的弯曲刚度与扭转刚度分别为EI 与GI t
，试用叠加法计
算自由端形心C 的水平与铅垂位移。
题7-14图
(a)解：由图7-14a 可以看出，在力偶矩Fa 作用下,杆段AB 的截面B 产生水平位移Bx
与转角B θ，其值分别为
)
( )( )
( 22)(2
2 EI
Fah EI h Fa θEI Fah EI h Fa ΔB Bx ==→== 由此得截面C 的水平与铅垂位移分别为
)( 22
→==EI
Fah ΔΔBx Cx
)( )3(3 32
3↓+=+=h a EI
Fa a θEI Fa ΔB Cy
图7-14
(b)解：由图7-14b 可以看出，杆段AB 处于弯扭受力状态，截面B 的铅垂位移与转角分别为
)
( )
( 3t
3
GI Fal θEI
Fl ΔB By =↓=
由此得截面C 的水平与铅垂位移分别为
0=Cx Δ
)( 3 3 3 33
t 2333↓++=++=EI
Fa GI Fal EI Fl EI Fa a θEI Fl ΔB Cy
7-16 试用叠加法计算图示各阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I 2
= 2I 1
。
题7-16图
(a)解：容易判断，最大挠度发生在截面C 处（见下图）。 如图7-16a(1)所示，梁段AB 在F 和Fa 作用下，有
)(
432321
2
2
2222 EI Fa EI Fa EI a Fa EI Fa θB ==?+=
和
)( 12565231
3232223↓==?+=EI Fa EI Fa EI a Fa EI Fa ΔB
图7-16a
由图(2)可得
)( 31
3
↓='EI Fa ΔC 最后，应用叠加法求得最大挠度为
C
B B
C Δa θΔΔΔ'+?+==
)( 23343125 1
3
131213↓=+?+=EI Fa EI Fa a EI Fa EI Fa (a)
(b)解：不难判断，最大挠度发生在中间截面G 处。
图7-16b
如图7-16b(1)所示，由于左右对称，截面G 的转角必然为零。由此可将图(1)求G Δ的问题转化为图(2)所示悬臂梁求挠度B Δ的问题，并可利用本题(a)中所得的结果，只需将式(a)中的F 更换为2/F 即可。最后求得的最大挠度为
)(
43)2(231
3
1
3↓====EI Fa F EI a ΔΔΔB G
(b)
7-17 图示悬臂梁，承受均布载荷q 与集中载荷ql 作用。材料的弹性模量为E ，试
计算梁端的挠度及其方向。
题7-17图
解：
)( 163)2(812844
344↑===Eb ql b Eb ql EI ql Δz Cy
)( 2)2(3123)(4
4
343←===Eb ql b b E ql EI l ql Δy Cz
梁端的总挠度为
4
42
2442201.22)163(Eb
ql Eb ql ΔΔΔCz
Cy
=+=+
=
其方向示如图7-17，由图可知，
36.5 323tan ==
=
θΔΔθCz
Cy
图7-17
7-19 试求图示各梁的支反力。设弯曲刚度EI 为常数。
题7-19图
(a)解：此为三度静不定问题，但有反对称条件可以利用。
此题以解除多余内约束较为方便。在e M 作用面B 处假想将梁切开，并在其左、右面各施加一2/e M ，在切开截面仅有反对称内力B F S 存在，示如图7-19a 。
图7-19a
变形协调条件为
0==+-B B w w
(a)
截面B 的挠度之所以为零，这是由反对称条件决定的。
利用叠加法，得
3
S 2e )2
(3)2)(2(21l EI F l M EI w B B -=
- (b)
将式(b)代入式(a)，于是得
l
M F B 23e
S =
方向如图所示。
据此可求得其它支反力为
)
(
4 )( 4)(
23 )( 23e
e e
e ??M M M M l M F l M F C A Cy Ay ==↓=↑=
，， (b)解：此为两度静不定问题。可在梁间铰B 处解除多余约束，得该静不定结构的相当系统如图7-19b 所示。
图7-19b
变形协调条件为 +-=B B w w
(d)
物理关系为
EI
a F w EI a
F EI qa w By B By B 3 3833
4=
-=+-
， (e)
将式(e)代入式(d)，得
16
3qa
F By =
由相当系统的平衡条件，求得其它支反力为
)
( 163 )( 165)( 16
3 )( 16132
2 ?qa M qa M qa
F qa F C A Cy Ay ==↑=↑=
，， 7-21 题7-20所示传动轴，由于加工误差，轴承C 处的位置偏离轴线δ= ，试计算
安装后轴内的最大弯曲正应力。已知轴的弹性模量E = 200GPa 。
解：此为一度静不定问题。
传动轴的相当系统示如图7-21。变形协调条件为
δw C =
(a)
图7-21
在多余支反力Cy F 作用下，截面C 的挠度为
EI
l F w Cy C 323=
(b)
将式(b)代入式(a)，得
δEI
l F Cy =323
由此得
323l
EI δ
F Cy =
由图可知，梁内的最大弯矩发生在截面B ，其值为
2max 23l
EI δ
l F M Cy =
= 由此得梁内的最大弯曲正应力为
MPa
9.46Pa 1069.4m 200.04N 050.000025.0102003 4d
3)(237
2
29
2
2max max =?=?????=
===
l E δW I l E δW M σz z
7-22图示结构，梁AB 与DG 用No18工字钢制成，BC 为圆截面钢杆，直径d = 20 mm ，
梁与杆的弹性模量均为E = 200 GPa 。若载荷F = 30 kN ，试计算梁与杆内的最大正应力，以及横截面C 的挠度。
题7-22图
解：设杆BC 受拉，轴力为F N 。在载荷F 与轴力F N 作用下，梁DG 中点C 的铅垂位移为
三角函数恒等变换(整理)
高考数学（文）难题专项训练：三角函数及三角恒等变换 1.已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心，且θ=∠A 若 AO m AC B C AB C B 2sin cos sin cos =+则=m （ ） A ．θsin B. θcos C. θtan D. 不能确定 2.设函数)(x f 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意)(D M M x ?∈，有 D l x ∈+，且)()(x f l x f ≥+，则称)(x f 为M 上的高调函数. 现给出下列命题： ①函数x x f -=2 )(为R 上的1高调函数； ②函数x x f 2sin )(=为R 上的高调函数； ③如果定义域为),1[+∞-的函数2 )(x x f =为),1[+∞-上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是),2[+∞； ④函数)12lg()(+-=x x f 为),1[+∞上的2高调函数. 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3. 已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30< 4. 在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且c b a b 2sin 2sin log log ,22<>， bc a c b 3222+=+,若0 三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限 三角函数题型分类总结 一．求值 1、sin330?= tan690° = o 585sin = 2、（1）(07全国Ⅰ) α是第四象限角，12 cos 13 α= ，则sin α= （2）（09北京文）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . （3）（09全国卷Ⅱ文）已知△ABC 中，12 cot 5 A =- ，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) (07陕西) 已知sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . (2)（04全国文）设(0,)2 π α∈，若3sin 5α= )4 π α+= . （3）（06福建）已知3( ,),sin ,25π απα∈=则tan()4 π α+= 4（07重庆）下列各式中，值为 2 3 的是( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5. (1)(07福建) sin15cos75cos15sin105+o o o o = (2)（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167o o o o += 。 （3）sin163sin 223sin 253sin 313+=o o o o 。 6.(1) 若sin θ＋cos θ＝ 1 5 ，则sin 2θ= （2）已知3 sin()45 x π-=，则sin 2x 的值为 (3) 若2tan =α ,则 α αα αcos sin cos sin -+= 7. （08北京）若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 8．（07浙江） 已知cos( )2 π ?+= ，且||2 π ?<，则tan ?＝ 9. 若 cos 2π2sin 4αα=- ?? - ? ? ?cos sin αα+= §1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结： 提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。 §6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）. 5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15 +-等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++= （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则. 13、f （x ）= x x x x cos sin 1cos sin ++的值域为 （ ） A.（－3 －1，－1）∪（－1， 3 －1） B. （21 3-- ，2 13-） C.［2 1 2--，－1］∪（－1， 2 12-） D. ［21 2-- ，2 12-］ 14、已知∈（0，2 π），β∈（2 π，π），（α+β）=65 33，β=－ 13 5 ，则α. 15、下列各式中，值为2 1的是 ( ) 15°15° B.2 2 12 π－ 1 C. 2 30cos 1? + D. ? -?5.22tan 15.22tan 2 16、已知2θ 2θ3 32，那么θ的值为，2θ的值为. 17、=000080cos 60cos 40cos 20cos 。 三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变， 符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换 第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max 3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲 §4.2 多项式的恒等变形 教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是 解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。 教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的 常用方法。 课时安排：2课时。 教学内容如下： 一、 多项式的基本概念 多项式是由数与字母进行+、—、?运算而构成。 定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。 所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式。 二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理） 定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所 有系数都等于零。 证明 用数学归纳法 （1）当n=1时，10()f x a x a =+。因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得0 0a =。由此得1()0f x a x =≡， 再令x=1，则有10a =。因此，命题对于一次多项式成立。 （2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于 n 次多项式也成立。 如果对于x 的任意值，都有 1 11 ()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ① 在等式①中，以2x 代x ，得 11 110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ② ①2n ?—②，得1 12221202 (21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③ 这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即 122 122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-= 02(21)0,,(21)0n k k n n k a a ---=-= 因为 20,210( 1,2,n k k k n -≠-≠= 所以 12100,0,,0,0 n n a a a a --=== = 代入①得，0n n a x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。 定理2 两个多项式 1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠） 1m 110 g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即 ,(1,2,,)i i n m a b i n === 证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。 为了确定起见，不妨设n ≥m 。若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使 三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α -± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][2 1 )()(C C C C βαβαβ α-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-= （2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α += T T C 22 2 211α α α+-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++=+x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① ) 4 sin(2cos sin π + =+x x x 三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2 θ+sin 2 θ=tanx ·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2 x ；配凑角：α=（α+β）－β，β= 2 β α+－ 2 β α-等。 （3）降次与升次。（4）化弦（切）法。 （4）引入辅助角。asin θ+bcos θ=2 2 b a +sin(θ+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?= a b 确定。 1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得???=+=，1 cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 52sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(ο ο ο οοο----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o οοοοοοοοοο--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=ο οοοοο 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，?????? ?=-=?? ? ????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 弯曲变形的强度条件和强度计算 当梁受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时，梁的轴线由一条直线变为曲线，称为弯曲变形。如果梁的几何形状材料性能和外力都对称于梁的纵向对称面则称为对称弯曲。如果梁变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本课程中主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲，如图1所示。 图1 平面弯曲 一、梁弯曲时的内力——剪力和弯矩 梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩，它们都随着截面位置的变化而变化，可表示为F S=F S(x)和M=M (x)，称为剪力方程和弯矩方程。 为了研究方便，通常对剪力和弯矩都有正负规定：使微段梁发生顺时针转动的剪力为正，反之为负，如图2所示；使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正，反之为负，如图3所示。 图2 剪力的正负 图3 弯矩的正负 例1：试写出下图所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。 解：（ 1 ）求支反力 = ∑C M：0 3 10 12 6= ? - - ? Ay F，kN 7 = Ay F = ∑Y：0 10= - +By Ay F F，kN 3 = By F （2）列内力方程 剪力： ? ? ? < < - < < = 6 3 kN 3 3 kN 7 ) ( S x x x F 弯矩： ? ? ? ≤ ≤ ≤ ≤ ? - ? - = 6 3 3 m kN ) 6(3 m kN 12 7 ) ( x x x x x M （3）作剪力图和弯矩图 二、梁弯曲时的正应力 在一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。若梁上只有弯矩没有剪力，称为纯弯曲。本讲主要讨论纯弯曲时横截面上的应力——正应力。梁横截面上的正应力大小与该点至中性轴的距离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布，如图4所示。 图4 梁弯曲时的正应力分布图 即有y I x M z ) ( = σ（1） 授课主题 三角函数诱导公式及恒等变换 教学目的 掌握三角函数的诱导公式和恒等变换公式 灵活运用三角函数公式 教学重点 三角函数公式的运用 教学内容 1、象限角 （1）各象限角的范围 （2）三角函数值在各象限的符号 αsin αcos αtan 2、角度与弧度之间的转换 3、同角三角函数的基本关系 ()()122=+ ()() = αtan 练习：（1、（2011全国，14）已知），（ππα23∈，tan α=2，则cos α= ； （2、若=?+=+α ααααcos sin 2cos 1 0cos sin 32 ，则 ； （3、若==+ααααtan 1sin cos sin 2，则 ； （一）诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限 例题赏析 例题1、（2013广东，4）已知==??? ??+ααπcos 51 25sin ，那么（）； A ：52- B ：51- C ：51 D ：5 2 例题2、已知31sin -=+）（απ，则[]？）（）（）（=-+-?-+--?+) 2cos(cos cos ) 2cos(1cos cos cos πααπαπααπααπ 达标训练 （1、已知=+=+）（是锐角，则，）（απααπsin 5 3 2sin （）． 53.A 53.-B 54.C 5 4.-D 正弦 余弦 正切 α- απ-2 απ+2 απ-2 2 απ +2 2 απ-23 απ+23 （2、若=+）（）（是第二象限角，则θπθπθ-23 sin sin 2-1（） ． θθcos sin -、A θθsin cos .-B )cos sin (.θθ-±C θθcos sin .+D （二）三角函数的求值与化简 1、两角和差公式 =+）（βαsin ；=-）（βαsin ； =+）（βαcos ；=-）（βαcos ； =+）（βαtan ；=-）（βαtan ； 记忆口诀：正弦角大值大，角小值小；余弦角大值小，角小值大；正切的与正弦相同。 公式拓展 =+ααcos sin b a ，其中 ； =+ααcos sin b a ，其中 。 例题精讲 例题1、（2012重庆，5）=? ? ?-?17cos 30cos 17sin 47sin （） A. 23- B.21- C.21 D.2 3 例题3、（2014全国大纲，14）函数x x y 2sin 22cos +=的最大值为 。 达标训练 （1、（2014江苏，15）已知?? ? ??∈ππα，2，55sin =α. 求（1））（ απ +4 sin 的值； 3.2三角函数化简及恒等变换 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【四川省绵阳市2020届高三上期第一次诊断性考试数学（理）试题】 函数)0)(6sin()(>+ =w wx x f π 在?? ? ??22- ππ，上单调递增，且图像关于π-=x 对称，则w 的值为（ ） A. 32 B.35 C.2 D.3 8 【答案】A 【解析】 函数)0)(6 sin()(>+ =w wx x f π的递增区间)(22 622 -Z k k x k ∈+≤ + ≤+ππ πωππ ，化简得： ).(23232-Z k k x k ∈+≤≤+ωπωπωπωπ已知在??? ??22-ππ，单增，所以.320.2 32-32-<ω此时k=-1,所以3 2= ω 【方法总结】此题考查三角函数的对称轴和单调区间，涉及在知识的交叉点命题思路，这是高考命题的思路。题目综合性强，需要逆向思维。题目属于中等难度。 2. 【湖北省华中师大一附中2017级高三上学期理科数学期中考试试题】 已知函数()2sin()(0,||)f x x ω?ω?π=+><的部分图像如右图所示，且(,1),(,1)2 A B π π-，则?的值为 （ ） A. 56 π B. 6 π C. 56π- D. 6 π - 【答案】C 【解析】由已知得：1,2==ωπT ，图像经过(,1),(,1)2A B π π-6 5-π?= 3. 【2019-2020学年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三年级上学期期中考试理科数学】 WOIRD格式 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理 【最新整理，下载后即可编辑】 两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(Cα－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(Tα－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(Tα＋β) 2．二倍角公式 sin 2α＝α αcos sin 2； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝2tan α 1－tan2α. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式 的正用、逆用和变形用等．如T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β －1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α ＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等． 热身训练 1． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tan α tan β的值为_______． 2． 函数 f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )的单调增区间为 ______________________． 3． (2012·江苏)设α为锐角，若 cos ??? ? ?+6πα＝4 5，则 弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26- 题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27- 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]三角恒等变换公式大全
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